彎曲應(yīng)力理論培訓(xùn)課件.ppt

1、第十三章 彎曲應(yīng)力,回顧與比較,內(nèi)力,應(yīng)力分布規(guī)律及公式,均勻分布,線形分布,13-3 彎曲梁的強度計算,13-2 彎曲切應(yīng)力,13-4 提高梁的彎曲強度的措施,13-1 純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力,本章主要內(nèi)容,梁段CD上，只有彎矩，沒有剪力,梁段AC和BD上，既有彎矩，又有剪力,13-1 純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力,純彎曲,橫力彎曲,一、彎曲分類,純彎曲實例,純彎曲,橫截面上只有正應(yīng)力，沒有切應(yīng)力。,橫力彎曲,橫截面上即有正應(yīng)力，也有切應(yīng)力。,二、純彎曲正應(yīng)力,1、變形幾何關(guān)系,2、物理關(guān)系,3、靜力學(xué)關(guān)系,純彎曲的內(nèi)力,剪力Fs=0,橫截面上沒有切應(yīng)力,只有正應(yīng)力。,彎曲正應(yīng)力的 分布規(guī)律和

2、計算公式,（一）變形幾何關(guān)系,1、實驗觀察現(xiàn)象：,施加一對正彎矩，觀察變形,觀察到縱向線與橫向線有何變化？,縱向線,由直線,曲線,橫向線,由直線,直線,相對旋轉(zhuǎn)一個角度后，,仍然與縱向弧線垂直。,變化的是：,1、縱向線的長度,2、兩橫截面的夾角,各縱向線的長度還相等嗎？,各橫向線之間依然平行嗎？,橫截面繞某一軸線發(fā)生了偏轉(zhuǎn)。,2、提出假設(shè)：,1）平面假設(shè)：,變形前為平面的橫截面變形后仍保持為平面；,于1695年提出梁彎曲的平面假設(shè),瑞士科學(xué)家Jacob.貝努力,縱向纖維之間沒有相互擠壓，,2）假設(shè)：,觀察縱向纖維之間有無相互作用力,各縱向纖維只是發(fā)生了簡單的軸向拉伸或壓縮。,凹入一側(cè)纖維,凸出

3、一側(cè)纖維,觀察縱向纖維的變化,在正彎矩的作用下，,偏上的纖維,縮短，,偏下的纖維,伸長。,縮短；,伸長。,纖維長度不變,中性層,中性層,L0,L0,L=0,既不伸長也不縮短,中性軸,中性軸上各點,=0,各橫截面繞,中性軸發(fā)生偏轉(zhuǎn)。,中性軸的位置,過截面形心,中性軸的特點：,平面彎曲時梁橫截面上的中性軸,它與外力作用面垂直；,中性軸是與外力作用面相垂直的形心主軸。,一定是形心主軸；,關(guān)于中性層的歷史,1620年，荷蘭物理學(xué)家、力學(xué)家比克門首先發(fā)現(xiàn)中性層；,英國科學(xué)家胡克于1678年也闡述了同樣現(xiàn)象，,但沒有涉及中性軸的位置問題；,法國科學(xué)家納維于1826年，出版材料力學(xué)講義，,給出結(jié)論：,中性軸

4、,過截面形心。,3、理論分析：,y的物理意義,縱向纖維到中性層的距離；,點到中性軸的距離。,兩直線間的距離,公式推導(dǎo),線應(yīng)變的變化規(guī)律,與纖維到中性層的距離成正比。,從橫截面上看：,點離開中性軸越遠(yuǎn)，,該點的線應(yīng)變越大。,（二）物理關(guān)系,胡克定律,彎曲正應(yīng)力的分布規(guī)律,a、與點到中性軸的距離成正比；,c、正彎矩作用下，,上壓下拉；,當(dāng)P時,沿截面高度,線性分布；,b、沿截面寬度,均勻分布；,d、危險點的位置，,離開中性軸最遠(yuǎn)處.,彎曲正應(yīng)力的分布規(guī)律,可 別 忘 記 啦,沿高度,沿寬度,（三）靜力學(xué)關(guān)系,中性軸過截面形心,坐標(biāo)軸是主軸,中性層的曲率計算公式,EIz,抗彎剛度,（四）彎曲正應(yīng)力計

5、算公式,變形幾何關(guān)系,物理關(guān)系,靜力學(xué)關(guān)系,正應(yīng)力公式,1826年納維在材料力學(xué)講義中給出正確計算公式,彎曲正應(yīng)力分布規(guī)律,彎曲正應(yīng)力計算公式,（五）橫截面上最大彎曲正應(yīng)力,截面的抗彎截面系數(shù),反映了截面的幾何形狀、尺寸對強度的影響,最大彎曲正應(yīng)力計算公式,常見圖形的慣性矩及抗彎截面系數(shù)：,三、橫力彎曲,橫截面上內(nèi)力,剪力+彎矩,橫截面上的應(yīng)力,既有正應(yīng)力，,又有切應(yīng)力,橫力彎曲時的橫截面,橫截面,不再保持為平面,且由于切應(yīng)力的存在，,也不能保證縱向纖維之間沒有正應(yīng)力,純彎曲正應(yīng)力公式,彈性力學(xué)精確分析表明：,橫力彎曲最大正應(yīng)力,橫力彎曲正應(yīng)力,對于跨度 L 與橫截面高度 h 之比 L / h

6、 5的細(xì)長梁，,用純彎曲正應(yīng)力公式計算橫力彎曲正應(yīng)力，,誤差2%,滿足工程中所需要的精度。,彎曲正應(yīng)力公式適用范圍,彎曲正應(yīng)力公式,1、純彎曲或細(xì)長梁的橫力彎曲;,2、橫截面有縱向?qū)ΨQ軸;,3、彈性變形階段;,推導(dǎo)彎曲正應(yīng)力計算公式的方法總結(jié),（1）理想模型法：純彎曲（剪力為零，彎矩為常數(shù)）,（2）“實驗觀察假設(shè)” ：梁彎曲假設(shè),（3）,外力,內(nèi)力,變形幾何關(guān)系 物理關(guān)系 靜力學(xué)關(guān)系,（4）三關(guān)系法,積分,應(yīng)力合成內(nèi)力,橫力彎曲,應(yīng)力法,（5）數(shù)學(xué)方法,注意,（1）計算正應(yīng)力時，必須清楚所求的是哪個截面上的應(yīng)力，,（3）特別注意正應(yīng)力沿高度呈線性分布；,從而確定該截面上的彎矩及該截面對中性軸的

7、慣性矩；,（2）必須清楚所求的是該截面上哪一點的正應(yīng)力，,（4）中性軸上正應(yīng)力為零，,并確定該點到中性軸的距離，,而在梁的上下邊緣處分別是最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。,以及該點處應(yīng)力的符號,（4）必須熟記矩形截面、圓形截面對中性軸的慣性矩 的計算式。,（6）熟記矩形、圓形截面對中性軸的慣性矩的計算式。,（5）梁在中性軸的兩側(cè)分別受拉或受壓;,注意,正應(yīng)力的正 負(fù)號（拉或壓）可根據(jù)彎矩的正負(fù),及梁的變形狀態(tài)來 確定。,1、C 截面上K點正應(yīng)力,2、C 截面上最大正應(yīng)力,3、全梁上最大正應(yīng)力,4、已知E=200GPa，C 截面的曲率半徑,例：矩形截面簡支梁承受均布載荷作用,如圖所示,1、截面幾何性質(zhì)計

8、算,確定形心主軸的位置,確定中性軸的位置,確定形心的位置,2. 求支反力,（壓應(yīng)力）,3、C 截面上K點正應(yīng)力,4、C 截面上最大正應(yīng)力,彎矩,公式,作內(nèi)力圖,5、全梁上最大正應(yīng)力,危險截面,公式,6、已知E=200GPa，C 截面的曲率半徑,作彎矩圖，尋找最大彎矩的截面,分析：,非對稱截面，,例 T型截面鑄鐵梁，截面尺寸如圖。,求最大拉應(yīng)力、最大壓應(yīng)力。,計算最大拉應(yīng)力、最大壓應(yīng)力,要尋找中性軸位置；,（2）計算應(yīng)力：,（1）求支反力，作彎矩圖,B截面應(yīng)力分布,9KN,1m,1m,4KN,1m,A,C,B,FA=2.5KN,應(yīng)用公式,（3）結(jié)論,C截面應(yīng)力計算,C截面應(yīng)力分布,應(yīng)用公式,13

9、-2 彎曲切應(yīng)力,橫力彎曲,橫截面上內(nèi)力,既有彎矩又有剪力；,橫截面上應(yīng)力,既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力。,切應(yīng)力分布規(guī)律和計算公式,FA=FB=P,觀察AC段內(nèi)力,Fs=P,=+常量,+M線性規(guī)律上升,橫截面上的切應(yīng)力合成剪力,橫截面上的剪力產(chǎn)生切應(yīng)力,一、矩形截面梁,關(guān)于切應(yīng)力的兩點假設(shè),目標(biāo)：,距離中性軸為y的直線上各點切應(yīng)力計算公式,距中性軸等遠(yuǎn)的各點處切應(yīng)力大小相等。,1、在AC 段取長為dx的微段,2、分析微段上的應(yīng)力,3、切開微段分析,4、分析微段的平衡條件,5、計算右側(cè)截面正應(yīng)力形成的合力,同理,Sz*,橫截面上距離中性軸為y的橫線以外部分的面積A1對中性軸的靜矩。,6、微元體的平衡方

10、程,距離中性軸為y的直線上點的切應(yīng)力計算公式,7、切應(yīng)力計算公式,各項的物理意義,1、Fs,欲求切應(yīng)力的點所在截面的剪力；,2、Iz,欲求切應(yīng)力的點所在截面對中性軸的慣性矩；,3、b,欲求切應(yīng)力的點處截面的寬度；,4、Sz*,橫截面上距離中性軸為y的橫線以外部分的面積A1對中性軸的靜矩。,8、切應(yīng)力分布規(guī)律,切應(yīng)力沿截面高度按拋物線規(guī)律變化。,中性軸處,最大正應(yīng)力所在的點,二、工字形截面梁切應(yīng)力沿高度的分布規(guī)律,計算公式,切應(yīng)力危險點,中性軸處,最大切應(yīng)力,腹板上的切應(yīng)力呈拋物線變化；,腹板部分的切應(yīng)力合力占總剪力的9597%。,工字形截面的翼緣,翼緣部分的水平切應(yīng)力沿翼緣寬度按直線規(guī)律變化；

11、,翼緣部分的切應(yīng)力強度計算時一般不予考慮。,并與腹板部分的豎向剪力形成“剪應(yīng)力流” 。,三、T形截面梁切應(yīng)力沿高度的分布規(guī)律,計算公式,切應(yīng)力危險點,中性軸處,四、圓形截面梁切應(yīng)力沿高度的分布規(guī)律,計算公式,切應(yīng)力危險點,中性軸處,最大切應(yīng)力,2、橫截面上同一高度各點的切應(yīng)力匯交于一點,3、豎直分量沿截面寬度相等，沿高度呈拋物線規(guī)律變化,1、在截面邊緣上各點的切應(yīng)力的方向與圓周相切。,圓環(huán)截面的最大切應(yīng)力,切應(yīng)力的危險點,能否說：“切應(yīng)力的最大值一定發(fā)生在中性軸上”？,當(dāng)中性軸附近有尺寸突變時,最大切應(yīng)力不發(fā)生在中性軸上；,當(dāng)中性軸附近有沒有尺寸突變時,最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上；,一、彎曲正應(yīng)

12、力強度條件,彎曲正應(yīng)力的分布規(guī)律,危險點：,距離中性軸最遠(yuǎn)處；,分別發(fā)生最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力；,13-3 彎曲梁的強度計算,1、塑性材料,抗拉壓強度相等,無論內(nèi)力圖如何,梁內(nèi)最大應(yīng)力,其強度條件為,將梁做成矩形、圓形、工字形等,對稱于中性軸的截面；,此類截面的最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力相等。,因此：,強度條件可以表示為,2.離中性軸最遠(yuǎn)處。,要綜合考慮彎矩M與截面形狀I(lǐng)z,1.彎矩的絕對值最大的截面上；,塑性材料,c、塑性材料制成的,變截面梁,總之，,梁內(nèi)最大應(yīng)力發(fā)生在：,強度條件為,2、脆性材料,抗拉壓強度不等。,內(nèi)力圖形狀有關(guān)。,梁內(nèi)最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力分別發(fā)生在,最大應(yīng)力通常與截面形狀，

13、,通常將梁做成T形、倒T形等,關(guān)于中性軸不對稱的截面。,離中性軸最遠(yuǎn)的最上邊緣與最下邊緣。,由于脆性材料抗壓不抗拉，,或者, 脆性材料梁的危險截面與危險點,上壓下拉,上拉下壓,危險截面只有一個。,危險截面處分別校核：,二個強度條件表達(dá)式,危險截面有二個；,每一個截面的最上、最下邊緣均是危險點；, 脆性材料梁的危險截面與危險點,各危險截面處分別校核：,四個強度條件表達(dá)式,彎曲正應(yīng)力強度計算的三個方面,1、強度校核,2、設(shè)計截面,3、確定許可載荷,例1：圖示為機車輪軸的簡圖。試校核輪軸的強度。,材料的許用應(yīng)力,分析,（3）危險截面：,（4）危險點,截面關(guān)于中性軸對稱,彎矩 最大的截面,抗彎截面系數(shù)

14、 最小的截面；,危險截面的最上、下邊緣處。,（2）輪軸為塑性材料,公式,（1）簡化為力學(xué)模型,（1）計算簡圖,（2）繪彎矩圖,B截面，C截面,（3）危險截面,（4）強度校核,B截面：,C截面：,（5）結(jié)論,輪軸滿足強度條件,例：某車間欲安裝簡易吊車，大梁選用工字鋼。已知電葫蘆,材料的許用應(yīng)力,起重量,跨度,試選擇工字鋼的型號。,自重,分析,（2）計算最大彎矩, 確定危險截面,計算 ，選擇工字鋼型號,（3）工字鋼截面為關(guān)于中性軸對稱,（1）簡化為力學(xué)模型,計算公式,（1）計算簡圖,（2）繪彎矩圖,（3）危險截面,（4）強度計算,（5）選擇工字鋼型號,36c工字鋼,F=F1+F2,例：T型截面鑄鐵

15、梁，截面尺寸如圖示。,試校核梁的強度。,2、作彎矩圖，確定危險截面,3、確定危險點，進行強度校核,分析：,非對稱截面，且已知形心和,1、脆性材料，,危險截面與內(nèi)力圖、截面形狀有關(guān),公式,（2）確定危險截面,（1）求支反力，作彎矩圖,B截面應(yīng)力強度計算,9KN,1m,1m,4KN,1m,A,C,B,FA=2.5KN,應(yīng)用公式,（3）強度計算,（3）結(jié)論,C截面強度計算,滿足強度條件,例： 一簡支梁受力如圖所示。已知 ，空心圓截面 的內(nèi)外徑之比 ，試選擇截面直徑D；若外徑D增加 一倍，比值不變，則載荷 q 可增加到多大？,2、作彎矩圖，確定危險截面；,分析：,對稱截面；,1、塑性材料，,4、公式,

16、3、確定危險點，進行強度計算,1、求支座反力,FA=FB=ql/2,2、 作彎矩圖確定危險截面,3、強度計算,若外徑D增加一倍，,不變,二、彎曲切應(yīng)力強度條件,對于等寬度截面， 發(fā)生在中性軸上；,在進行梁的強度計算時，需注意以下問題：,1、對于細(xì)長梁的彎曲變形，正應(yīng)力的強度條件是主要的，剪應(yīng) 力的強度條件是次要的。,對于寬度變化的截面， 不一定發(fā)生在中性軸上。,一般情況下，,以正應(yīng)力設(shè)計為主，,切應(yīng)力校核為輔；,(1) 對于較粗短的梁，當(dāng)集中力較大時，,2、以下情況需要校核切應(yīng)力強度,(3) 復(fù)合梁的膠合面，需要校核切應(yīng)力。,截面上的剪力較大，需要校核切應(yīng)力強度條件。,(2) 載荷離支座較近時

17、，,截面上的剪力較大；,(4) 木梁順紋方向，抗剪能力較差;,(5) 工字形截面梁，要進行切應(yīng)力校核;,工字形梁：正應(yīng)力的最大值發(fā)生在橫截面的上下邊緣，,該處的切應(yīng)力為零；,切應(yīng)力的最大值發(fā)生在中性軸上，,該處的正應(yīng)力為零。,對于橫截面上其余各點，同時存在正應(yīng)力、切應(yīng)力。,這些點的強度計算，應(yīng)按強度理論進行計算。,注意,例題：懸臂梁由三塊木板粘接而成。跨度為1m。膠合面的許可切應(yīng)力為0.34MPa，木材的= 10 MPa，=1MPa，求許可載荷F。,1.畫梁的剪力圖和彎矩圖,2.按正應(yīng)力強度條件計算許可載荷,3.按切應(yīng)力強度條件計算許可載荷,4.按膠合面強度條件計算許可載荷,5.梁的許可載荷為

18、,例 鑄鐵梁的截面為T字形，受力如圖。已知材料許用拉應(yīng)力為 ，許用壓應(yīng)力為 ， 。試校核梁的正應(yīng)力強度和剪應(yīng)力強度。若將梁的截面倒置，情況又如何？,(a) 確定中性軸的位置,(c) 最大靜矩：,(b) 計算圖形對形心主軸的慣性矩,(1) 平面圖形幾何性質(zhì)計算,（2）繪剪力圖、彎矩圖,計算約束反力：,作內(nèi)力圖,（3）正應(yīng)力強度計算,對于A截面：,（3）正應(yīng)力強度計算,對于D截面：,正應(yīng)力強度足夠。,結(jié)論,（4）切應(yīng)力強度校核,在A截面左側(cè)：,切應(yīng)力強度足夠。,危險截面,計算公式,（5）若將梁的截面倒置,此時強度不足會導(dǎo)致破壞。,例 ： 已知 材料的 ， ，試校核其強度。,C,4、確定正應(yīng)力危險點

19、，進行正應(yīng)力強度校核,分析：,非對稱截面；,1、塑性材料，,2、尋找形心,確定中性軸位置；,計算圖形對中性軸的主慣性矩,公式,5、確定切應(yīng)力危險點，進行切應(yīng)力強度校核,公式,3、畫內(nèi)力圖，確定危險面,（a）確定中性軸的位置,（b）計算截面對中性軸的慣性矩,(1) 平面圖形幾何性質(zhì)計算,（2）繪剪力圖、彎矩圖,計算約束反力：,作內(nèi)力圖,（3）正應(yīng)力校核,所以正應(yīng)力強度足夠安全。,問題：若材料為鑄鐵，截面這樣放置是否合理？,（4）切應(yīng)力校核,切應(yīng)力分布,所以切應(yīng)力強度足夠安全。,13-4 提高梁的彎曲強度的措施,1、合理布置支座,一、 降低 Mmax,2、合理布置載荷,降低 Mmax,安裝齒輪,靠

20、近軸承一側(cè)；,3、集中力分散,降低 Mmax,二、梁的合理截面,增大抗彎截面系數(shù),截面面積幾乎不變的情況下，,截面的大部分分布在遠(yuǎn)離中性軸的區(qū)域,1、合理設(shè)計截面,抗彎截面系數(shù)WZ越大、橫截面面積A越小，,截面越合理。,來衡量截面的經(jīng)濟性與合理性,合理截面,合理截面,伽利略1638年關(guān)于兩種新科學(xué)的對話和證明,“空心梁能大大提高強度，而無須增加重量，,所以在技術(shù)上得到廣泛應(yīng)用。,在自然界就更為普遍了，,這樣的例子在鳥類的骨骼和各種蘆葦中可以看到，,它們既輕巧而又對彎曲和斷裂具有相當(dāng)高的抵抗能力?！?矩形截面中性軸附近的材料未充分利用，工字形截面更合理。,根據(jù)應(yīng)力分布的規(guī)律：,解釋,合理截面,合理截面要求上下危險點同時達(dá)到各自的許用應(yīng)力。,對于塑性材料,宜設(shè)計成關(guān)于中性軸對稱的截面,對于脆性材料,宜設(shè)計成關(guān)于中性軸不對稱的截面,且使中性軸靠近受拉一側(cè)。,2、合理放置截面,豎放比橫放更合理。,為降低重量，可在中性軸附近開孔。,三、等強度梁,工程中的等強度梁,工程中的等強度梁,工程中的等強度梁,2、T型鑄鐵梁，承受正彎矩的條件下，下列哪一種放置中，強度最高？,討論,1、梁發(fā)生平面彎曲時，橫截面繞 旋轉(zhuǎn) A：軸線； B：中性軸； C：橫截面對稱軸；,3、EA均相同，哪一個截面承擔(dān)的