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文檔簡介
1、高二二部數(shù)學學案高二二部數(shù)學學案 NO.29NO.29 立體幾何中的向量方法立體幾何中的向量方法利用空間向量求空間角利用空間向量求空間角 【課程標準課程標準】 能用向量法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題,體會向量方法在研究幾何問題 中的作用 【學習目標學習目標】 1、使學生學會求異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的向量方法; 2、使學生能夠應用向量方法解決一些簡單的立體幾何問題; 3、使學生的分析與推理能力和空間想象能力得到提高. 【自主學習自主學習】 1. 異面直線所成的角、線面角、二面角的范圍分別是什么? 2.兩向量的夾角的范圍是什么? 3、向量的有關知識 (1)兩向量數(shù)量積
2、的定義: (2)兩向量夾角公式: (3)什么是直線的方向向量?什么是平面的法向量? 【典型例題典型例題】 例例 1.1.在 RtAOB 中,AOB=90,現(xiàn)將AOB 沿著平面 AOB 的法向量方向平移到A1O1B1 的位置,已知 OA=OB=O O 1,取 A1B1 、A1O1的中點 D1 、F1,求異面直線 BD1與 AF1所成的 角的余弦值。 A B O B1 O1 F1 A1 D1 例例 2 2正方體 ABCD-A1B1C1D1的棱長為 1,點 E、F 分別為 CD、DD1的中點, (1)求直線 B1C1與平面 AB1C 所成的角的正弦值; (2)求二面角 F-AE-D 的余弦值。 A
3、A1 C1 B1 D C B D1 E F 例 3如圖,甲站在水庫底面上的點 A 處,乙站在水壩斜面上的點 B 處.從 A,B 到直線 (庫底與水壩的交線)的距離 AC 和 BD 分別為 a 和 b,CD 的長為 c , AB 的長為 d .求 庫底與水壩所成二面角的余弦值. A C B D 鞏固練習:鞏固練習:如圖,已知:直角梯形 OABC 中,OABC,AOC=90,SO平面 OABC,且 OS=OC=BC=1,OA=2.求 異面直線 SA 和 OB 所成的角的余弦值; OS 與平面 SAB 所成角 的正弦值; 二面角 BASO 的余弦值. O A B C S A C B D 教學過程教學
4、過程 一、復習引入 1、用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲” (1)建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系,用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面, 把立體幾何問題轉化為向量問題; (化為向量問題) (2)通過向量運算,研究點、直線、平面之間的位置關系以及它們之間距離和夾角等 問題; (進行向量運算) (3)把向量的運算結果“翻譯”成相應的幾何意義。 (回到圖形) 二、知識講解與典例分析 知識點 1、異面直線所成的角(范圍: ) (1)定義:過空間任意一點 o 分別作異面直線 a 與 b 的平行線 a與 b,那么直線 a與 b 所成的不大于 90的角 ,叫做異面直線 a 與 b 所成的角。 (2)用
5、向量法求異面直線所成角 設兩異面直線 a、b 的方向向量分別為 和 m , n 問題 1 當與的夾角不大于 90時,異面 mn 直線 a、b 所成的角 與 和 的夾角的關 mn 系? 相等 問題問題 2 2 當與的夾角大于 90時,異面直 mn 線 a、b 所成的角 與和 的夾角的關系? 互補 mn 所以,異面直線 a、b 所成的角的余弦值為 2 , 0 nm,coscos nm nm a b o a b 典型例題 1:在 RtAOB 中,AOB=90,現(xiàn)將AOB 沿著平面 AOB 的法向量方向平 移到A1O1B1 的位置,已知 OA=OB=OO1,取 A1B1 、A1O1 的中點 D1 、F
6、1,求異面直線 BD1 與 AF1 所成的角的余弦值。 解:以點 O 為坐標原點建立空間直角坐標系,并設 OA=1,則 A(1,0,0) B(0,1,0) F1( ,0,1) D1( , ,1) 2 1 2 1 2 1 所以,異面直線 BD1 與 AF1 所成的角的余弦值為 知識點 2、直線與平面所成的角(范圍: ) 據(jù)圖分析出直線與 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 zyxzyx zzyyxx ),1 , 0 , 2 1 ( 1 AF ) 1 , 2 1 , 2 1 ( 1 BD 11 11 11, cos BDAF BDAF BDAF 2 3 4 5 10 4
7、1 2 ,0 10 30 10 30 sin nAB,cos B A O n n B A O n n A1 z C1 AD 平面所成的角的正弦值為 = 典型例題 2:正方體 ABCD-A1B1C1D1 的棱長為 1,點 E、F 分別為 CD、DD1 的中點, (1)求直線 B1C1 與平面 AB1C 所成的角的正弦值; (2)求二面角 F-AE-D 的余弦值。 解: (1)以點 A 為坐標原點建立空間直角坐標系,如圖所示,則: A(0,0,0) B1(1,0,1) C(1,1,0) C1(1,1,1) 0, 0 1 ACnABn則 3、二面角(范圍: ) ),0 , 1 , 0( 11 CB
8、B D1 B1 C y x )0 , 1 , 1 (),1 , 0 , 1 ( 1 ACAB 設平面AB1C的法向量為n =(x1,y1,z1), 所以 X1+z1=0 X1+y1=0 取x1=1,得y1=z1=-1 3 3 31 010 11 11 11 ,cos CBn CBn CBn 故所求直線B1C1與平面AB1C所成的角的正弦值為 3 3 , 0 n n1 1 n n2 2 31 010 3 3 解:(2)由題意知 )0 , 1 , 2 1 (), 2 1 , 1 , 0(FE )0 , 1 , 2 1 (), 2 1 , 1 , 0(AEAF 設平面AEF的法向量為m=(x2,y2
9、,z2), 典型例題 2 (2)點 E、F 分別為 CD、DD1 的中點,求二面角 F-AE-D 的余弦值。 n n1 1 n n2 2 cos 21, cosnn cos 21, cosnn 21, cosnn cos 取y2=1,得x2=z2=-2 所以 0 2 1 22 zy 0 2 1 22 yx 故m=(-2, 1,-2) 又平面AED的法向量為AA1=(0,0,1) 觀察圖形知,二面角F-AE-D為銳角,所以所求二面角F-AE-D 的余弦值為 3 2 0, 0AEmAFm則 3 2 13 2 1 1 1 ,cos AAm AAm AAm 典型例題 3 如圖,甲站在水庫底面上的點 A
10、 處,乙站在水壩 斜面上的點 B 處.從 A,B 到直線 (庫底與水壩的交線)的距離 AC 和 BD 分別為 a 和 b ,CD 的長為 c , AB 的長為 d .求庫底與水壩所成二面角的余弦值. 解:如圖. dABcCDbBDaAC, 根據(jù)向量的加法法則, .DBCDACAB 2 2 2 )(DBCDACABd )(2 222 DBCDDBACCDACBDCDAC DBACbca2 222 DBCAbca2 222 于是,得 2222 2dcbaDBCA 設向量 與 的夾角為,就是庫與水壩所成的二面角.CADB 因此 .cos2 2222 dcbaab 所以 . 2 cos 2222 ab dcba l 庫底與水壩所成二面角的余弦值是 . 2 2222 ab dcba 三、鞏固練習 如圖,已知:直角梯形 OABC 中, OABC,AOC=90,SO平面 OABC,且 OS=OC=BC=1,OA=2.求 異面直線SA 和 OB 所成的角的余弦值; 直線 OS
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