高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 4.7 解三角形的綜合應(yīng)用課件 理 蘇教版

1、4.7解三角形的綜合應(yīng)用,基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí),課時作業(yè),題型分類深度剖析,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí),1.仰角和俯角 與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線 叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線 叫俯角(如圖).,知識梳理,上方,下方,2.方向角 相對于某正方向的水平角，如南偏東30，北偏西45等. 3.方位角 指從 方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如b點的方位角為(如圖).,正北,1.三角形的面積公式,2.坡度(又稱坡比)：坡面的垂直高度與水平長度之比.,判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”) (1)從a處望b處的仰角為，從b處望a處的俯角為，則，的關(guān)系為180

2、.() (2)俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為0， .() (3)方位角與方向角其實質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點與目標(biāo)點之間的位置關(guān)系.() (4)方位角大小的范圍是0，2)，方向角大小的范圍一般是0， ).(),考點自測,1.(教材改編)如圖所示，設(shè)a，b兩點在河的兩岸，一測量者在a所在的同側(cè)河岸邊選定一點c，測出ac的距離為50 m，acb45，cab105后，就可以計算出a，b兩點的距離為_ m.,答案,解析,又b30，,2.輪船a和輪船b在中午12時同時離開海港c，兩船航行方向的夾角為120，兩船的航行速度分別為25 n mile/h，15 n mile/h，則下午2時兩船之間的距離

3、是_n mile.,答案,解析,70,設(shè)兩船之間的距離為d， 則d250230225030cos 1204 900， d70，即兩船相距70 n mile.,3.(教材改編)海面上有a，b，c三個燈塔，ab10 n mile，從a望c和b成60視角，從b望c和a成75視角，則bc_ n mile.,答案,解析,如圖，在abc中，,ab10，a60，b75，,4.如圖所示，d，c，b三點在地面的同一直線上，dca，從c，d兩點測 得a點的仰角分別為60，30，則a點離地面的高度ab_.,答案,解析,5.在一次抗洪搶險中，某救生艇發(fā)動機(jī)突然發(fā)生故障停止轉(zhuǎn)動，失去動力的救生艇在洪水中漂行，此時，風(fēng)向

4、是北偏東30，風(fēng)速是20 km/h；水的流向是正東，流速是20 km/h，若不考慮其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向為北偏東_，速度的大小為_ km/h.,60,如圖，aob60， 由余弦定理知oc2202202800cos 1201 200， 故oc20 ，coy303060.,答案,解析,題型分類深度剖析,題型一求距離、高度問題 例1(1)如圖，從氣球a上測得正前方的河流的兩岸b，c的俯角分別為75，30，此時氣球的高ad是60 m，則河流的寬度bc_ m.,答案,解析,如圖，在acd中，cad903060，ad60 m，,在abd中，bad907515，,(2)如圖，a，b是海平面上的兩

5、個點，相距800 m，在a點測得山頂c的仰角為45，bad120，又在b點測得abd45，其中d是點c到水平面的射影，則山高cd_ m.,答案,解析,在abd中，bda1804512015.,cd平面abd，cad45，,求距離、高度問題應(yīng)注意 (1)理解俯角、仰角的概念，它們都是視線與水平線的夾角；理解方向角的概念. (2)選定或確定要創(chuàng)建的三角形，要首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解. (3)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理.,思維升華,跟蹤訓(xùn)練1 (1)一船以每小時15 km的速度向東航行，船在a

6、處看到一個燈塔b在北偏東60，行駛4 h后，船到達(dá)c處，看到這個燈塔在北偏東15，這時船與燈塔的距離為_ km.,答案,解析,如圖，由題意，bac30，acb105， b45，ac60 km，,(2)如圖所示，為測一樹的高度，在地面上選取a，b兩點，從a，b兩點分別測得樹尖的仰角為30，45，且a，b兩點間的距離為60 m，則樹的高度為_m.,答案,解析,在pab中，pab30，apb15，ab60，,題型二求角度問題 例2甲船在a處，乙船在a處的南偏東45方向，距a有9海里的b處，并以20海里每小時的速度沿南偏西15方向行駛，若甲船沿南偏東的方向，并以28海里每小時的速度行駛，恰能在c處追上

7、乙船.問用多少小時追上乙船，并求sin 的值.(結(jié)果保留根號，無需求近似值),解答,設(shè)用t小時，甲船追上乙船，且在c處相遇，那么在abc中，ac28t，bc20t，ab9，abc1801545120， 由余弦定理，,128t260t270，,所以ac21(海里)，bc15(海里)，,又abc120，bac為銳角， 所以45bac， sin sin(45bac) sin 45cosbaccos 45sinbac,解決測量角度問題的注意事項 (1)首先應(yīng)明確方位角或方向角的含義； (2)分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步； (3)將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)

8、方法解決的問題后，注意正弦、余弦定理的“聯(lián)袂”使用.,思維升華,跟蹤訓(xùn)練2 (1)(2016蘇州模擬)如圖所示，位于a處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的b處有一艘漁船遇險，在原地等待營救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的c處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東 的方向沿直線cb前往b處救援，則cos 的值為_.,答案,解析,在abc中，ab40，ac20，bac120， 由余弦定理得,由acb30，得cos cos(acb30),題型三三角形與三角函數(shù)的綜合問題 例3(2016揚州調(diào)研)在斜三角形abc中，tan atan btan atan b1. (1)求c的值；,解答,方

9、法一因為tan atan btan atan b1， 即tan atan b1tan atan b， 因為在斜三角形abc中，1tan atan b0，,即tan(180c)1，即tan c1， 因為0c180，所以c135.,方法二由tan atan btan atan b1，,化簡得sin acos bsin bcos asin asin b cos acos b， 即sin(ab)cos(ab)， 所以sin ccos c， 因為斜三角形abc，所以c135.,(2)若a15，ab ，求abc的周長.,解答,在abc中，a15，c135，則b180ac30.,故bc2sin 152sin

10、(4530),ca2sin 301.,三角形與三角函數(shù)的綜合問題，要借助三角函數(shù)性質(zhì)的整體代換思想，數(shù)形結(jié)合思想，還要結(jié)合三角形中角的范圍，充分利用正弦定理、余弦定理解題.,思維升華,跟蹤訓(xùn)練3 (2016南京學(xué)情調(diào)研)在abc中，角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，且acos bbcos a. (1)求 的值；,解答,方法一由acos bbcos a， 即sin(ab)0.,結(jié)合正弦定理得sin acos bsin bcos a，,方法二由acos bbcos a，,因為a，b(0，)，所以ab(，)，,解答,典例(14分)某港口o要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上.在小艇出發(fā)

11、時，輪船位于港口o北偏西30且與該港口相距20海里的a處，并正以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時與輪船相遇. (1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？ (2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時，試設(shè)計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由.,函數(shù)思想在解三角形中的應(yīng)用,思想與方法系列10,思想方法指導(dǎo),規(guī)范解答,已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可以設(shè)出第三邊，利用余弦定理列方程求解；對于三角形中的最值問題，可建立函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為函

12、數(shù)最值問題解決.,返回,解(1)設(shè)相遇時小艇航行的距離為s海里， 1分,即小艇以30 海里/小時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小. 7分,(2)設(shè)小艇與輪船在b處相遇. 則v2t2400900t222030tcos(9030)，,0v30，,此時，在oab中，有oaobab20.13分 故可設(shè)計航行方案如下： 航行方向為北偏東30，航行速度為30海里/小時.14分,返回,課時作業(yè),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1.(2017蘇北四市聯(lián)考)一艘海輪從a處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)b處，在c處有一座燈塔，海輪在a處

13、觀察燈塔，其方向是南偏東70，在b處觀察燈塔，其方向是北偏東65，那么b，c兩點間的距離是_海里.,答案,解析,如圖所示，易知， 在abc中，ab20海里，cab30，acb45，,2.在高出海平面200 m的小島頂上a處，測得位于正西和正東方向的兩船的俯角分別是45與30，此時兩船間的距離為_ m.,答案,解析,過點a作ahbc于點h， 由圖易知bah45，cah60，ah200 m，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,3.江岸邊有一炮臺高30 m，江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水平面上，由炮臺頂部測得俯角分別為45和60，而且兩條船與炮臺底部連線成30角，

14、則兩條船相距_m.,答案,解析,如圖，omaotan 4530 (m)，,在mon中，由余弦定理得，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,4.(2016南京模擬)如圖，兩座相距60 m的建筑物ab，cd的高度分別為20 m，50 m，bd為水平面，則從建筑物ab的頂端a看建筑物cd的張角為_.,答案,解析,45,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,又cd50(m)，所以在acd中，,又0cad180，所以cad45， 所以從頂端a看建筑物cd的張角為45.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,5.如圖所示

15、，測量河對岸的塔高ab時可以選與塔底b在同一水平面內(nèi)的兩個測點c與d，測得bcd15，bdc30，cd30，并在點c測得塔頂a的仰角為60，則塔高ab_.,答案,解析,在bcd中，cbd1801530135.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,6.某校運動會開幕式上舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度為15的看臺的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60和30，第一排和最后一排的距離為10 米(如圖所示)，旗桿底部與第一排在一個水平面上.若國歌長度約為50秒，升旗手應(yīng)以_(米/秒)的速度勻速升旗.,答案,解析,0.6,1,2,3,4,5,

16、6,7,8,9,10,11,12,13,14,在bcd中，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,7.如圖，cd是京九鐵路線上的一條穿山隧道，開鑿前，在cd所在水平面上的山體外取點a，b，并測得四邊形abcd中，abc ，bad ，abbc400米，ad250米，則應(yīng)開鑿的隧道cd的長為_米.,答案,解析,350,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,在cad中，由余弦定理，得cd2ac2ad22acadcoscad,cd350米.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,8.如圖，一艘船上午930在a處測得燈塔

17、s在它的北偏東30處，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午1000到達(dá)b處，此時又測得燈塔s在它的北偏東75處，且與它相距8 n mile.此船的航速是_ n mile/h.,答案,解析,32,設(shè)航速為v n mile/h，,bsa45，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,9.如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120的扇形aob，c是該小區(qū)的一個出入口，且小區(qū)里有一條平行于ao的小路cd.已知某人從o沿od走到d用了2分鐘，從d沿dc走到c用了3分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑為_米.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11

18、,12,13,14,如圖，連結(jié)oc，在ocd中，od100，cd150，cdo60. 由余弦定理得oc2100215022100150cos 6017 500， 解得oc50 .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,*10.在rtabc中，c90，a、b、c所對的邊分別為a、b、c，且滿足abcx，則實數(shù)x的取值范圍是_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,11.要測量電視塔ab的高度，在c點測得塔頂a的仰角是45，在d點測得塔頂a的仰角是30，并測得水平面上的bcd120，cd40 m，求電視塔的高度.,解答,1,2,

19、3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,中,如圖，設(shè)電視塔ab高為x m， 則在rtabc中，由acb45，得bcx. 在rtadb中，adb30，,在bdc中，由余弦定理得， bd2bc2cd22bccdcos 120，,解得x40，所以電視塔高為40 m.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,(1)求a和sin c的值；,解答,得bc24，又由bc2，解得b6，c4. 由a2b2c22bccos a，可得a8.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,*13.在海岸a處發(fā)現(xiàn)北偏東45方向，距a處( 1)海里的b處有一艘走私船.在a處北偏西75方向，距a處2海里的c處的我方緝私船奉命以10 海里/小時的速度追截走私船，此時走私船正以10海里/小時的速度從b處向北偏東30方向逃竄.問：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時間.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,如圖，設(shè)緝私船應(yīng)沿cd方向行駛t小時，才能