西農概率論第一章.ppt

1、2020/7/27,1,概率論與數(shù)理統(tǒng)計,主講人： 朱志勇 西北農林科技大學理學院,Probability A,B出現(xiàn), C不出現(xiàn); 三個事件都出現(xiàn); 三個事件至少有一個出現(xiàn); 三個事件都不出現(xiàn); 不多于一個事件出現(xiàn); 不多于兩個事件出現(xiàn); 三個事件至少有兩個出現(xiàn); A, B 至少有一個出現(xiàn), C 不出現(xiàn); A，B，C 中恰好有兩個出現(xiàn)。,2020/7/27,61,解,2020/7/27,62,概率論研究的一個基本任務就是給隨機事件發(fā)生的可能性大小一個合理而科學的測度。,1.2事件發(fā)生的概率,這也就意味著我們需要找到一個定義在一個由隨機試驗的所有隨機事件構成的集合上的集函數(shù)使得它能科學合理的反

2、映集合當中每個元素發(fā)生的可能性大小。,2020/7/27,63,1.2.1 古典概型中的概率定義,我們稱具有下列兩個特點的隨機試驗為古典概型：,（1）試驗只有有限個可能的的基本結果;,（2）每次試驗中，每個樣本點出現(xiàn)的可能性相同。,古典概型中的概率定義，只適用于古典概型。,2020/7/27,64,例1.7 將一枚硬幣拋擲3次。（1）設事件A1為恰有一次出現(xiàn)正面，求P(A1)。（2）設事件A2為至少有一次出現(xiàn)正面，求P(A2)。,解：,該實驗的樣本空間=HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT。,（1）因為A1=HTT，THT，TTH，,故 P(A1)=3/8。,2020

3、/7/27,65,例1.8,設一批產品有a件次品，b件合格品，隨機從中抽取n件產品，求抽到的n件產品中正好有k件是次品的概率。,考慮如下兩種情況:,（1）有放回抽取 （2）不放回抽取,記 A=抽到的n件產品正好有k件次品,2020/7/27,66,樣本空間中的樣本點總數(shù)為,（1）有放回抽取,概率論中稱為是二項分布的概率公式,2020/7/27,67,（2）無放回抽取,概率論中稱為超幾何分布的概率公式,恰好取出k個紅球的組合數(shù),2020/7/27,68,例1.8 30只元件中有27只一等品，3只二等品。隨機將30只元件平均分裝入三盒，求： （1）每盒有一只二等品的概率； （2）有一盒有3只二等品

4、的概率。,解： （1）把3只二等品平均分到三個盒子有：,1,2,3,3x2x1種分法。,余下的27只應該平 均分到3個盒子中；,2020/7/27,69,第2個問題，首先從3個盒子中任選一個 出來放3只二等品，這個盒子的另7只從 余下的27個一等品中選；,2020/7/27,70,2020/7/27,71,1.2.2幾何概型中的概率定義,若隨機試驗E的樣本空間是某一有界可測量的區(qū)域（可以是一維，二維，n維空間的），此區(qū)域中每個點都是E的樣本點，其樣本點具有所謂的“均勻性質”，即樣本點落入中任意一子區(qū)域（事件）A的概率與A的長度（面積，體積，,n維體積）成正比，而與A的形狀和位置無關，我們稱這種

5、隨機試驗為幾何概率模型。為方便起見，我們統(tǒng)稱長度，面積，,n維體積為測度。,定義 設E為幾何概型,A為其任意一個事件，它的樣本空間的測度為()， (A)為事件A的測度，則事件A的概率為,2020/7/27,72,例1.8 隨機在單位圓內擲一點M，求M點到原點距離小于1/4的概率。,1,1/4,解：,2020/7/27,73,例1.8 某貨運碼頭僅能容一船卸貨，而甲、乙兩船在碼頭卸貨時間分別為1小時和2小時，設甲、乙兩船在24小時內隨時可能到達，求它們中任何一船都不需要等待碼頭空出的概率。,解：,2020/7/27,74,24,Y=x+1,Y=x-2,2020/7/27,75,2020/7/27

6、,76,零概率事件不一定不發(fā)生,例如在0,1區(qū)間上任意取一個隨機數(shù),則這個隨機數(shù)恰好等于0.5的概率是多少?,P=點(0.5)的長度/0,1區(qū)間的長度=0,2020/7/27,77,1.2.3概率的統(tǒng)計定義,大量實踐表明：頻率有波動性，但隨著試驗次數(shù)增加，頻率總穩(wěn)定在某個值附近。,設A是隨機試驗E的一個隨機事件，若在n次重復試驗中，事件A發(fā)生了k次，則稱k/n為事件A在n次試驗中發(fā)生的頻率，記為fn(A)=k/n。,在歷史上，為了驗證這一點，許多學者對拋硬幣進行了觀察，一些記錄如下表所示:,2020/7/27,78,正面出現(xiàn)的頻率,拋擲次數(shù)的增加,1/2,2020/7/27,79,容易驗證，頻

7、率具有下列性質：,2020/7/27,80,概率的統(tǒng)計定義,設在相同條件下重復進行的n次試驗, 事件A出現(xiàn)了K次。若隨著試驗次數(shù)n的增大，事件A發(fā)生的頻率f（）穩(wěn)定地在某一常數(shù)P附近擺動, 且n越大,擺動幅度越小, 則稱P為事件A在一次試驗中發(fā)生的概率, 記作P（A）。,2.以上概率的統(tǒng)計定義對試驗沒有特殊限制，適用于所有隨機試驗。優(yōu)點是易于理解，在試驗次數(shù)足夠大時能給出概率的近似值；不足是粗糙、模糊和不便使用。,注,2020/7/27,81,設E是隨機試驗，是它的樣本空間。對于每一個事件A賦予一個實數(shù) P(A),稱為事件A 的概率，如果集合函數(shù)P()滿足以下三條：,1.2.4 概率的公理化定

8、義,非負性,規(guī)范性,可列可加性,1933年，（前）蘇聯(lián)數(shù)學家柯爾莫哥落夫提出的,2020/7/27,82,1.3 概率的性質,性質1,證明：因,，由可列可叫性，,所以，,概率的有限可加性,這里的概率是公理化定義中的概率,2020/7/27,83,證明：,且,則由可列可加性，有,2020/7/27,84,性質3 設A，B是隨機試驗E的兩個事件，且,證明：,2020/7/27,85,性質4,證明：,性質5,2020/7/27,86,證明：,由圖可得,又由性質3得,因此得,2020/7/27,87,加法公式可以推廣到有限個事件的情況，下面給出三個事件的情況,2020/7/27,88,例1.7 A，B

9、為兩事件，已知,解：,A,AB,B,2020/7/27,89,2020/7/27,90,1.4 條件概率與事件的獨立性,2020/7/27,91,1.4.1 條件概率,例1.8 在有兩個小孩家庭中,按年齡大小排好序后考慮其性別，已知其中一個是女孩,問另一個也是女孩的概率是多少?(假定生男生女是等可能的),解: 由題意,樣本空間為: 男，女），（女，男），（女，女）,分析：在有兩個小孩的家庭中，按年齡大小排好序后觀察兩個孩子性別時，其樣本空間為（男，男），（男，女），（女，男），（女，女），在已知其中一個是女孩的前提下，按年齡大小排好序后觀察孩子性別時，其樣本空間為（男，女），（女，男），（女，

10、女）。,記A=另一個也是女孩,則 P(A)=1/3.,2020/7/27,92,如果記B=兩個孩子中至少有一個是女孩，C=兩個都是女孩。,則已知一個是女孩，則另一個也是女孩的概率等價于已知B發(fā)生的條件下，C發(fā)生的概率。,記為P(C|B),2020/7/27,93,定義1,設A，B是兩個事件，且P(B)0，則稱,為已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率。,有兩種計算P(A|B)的方法，一是條件概率的定義，二是考慮在已知事件B發(fā)生的條件下的樣本空間計算A發(fā)生的概率。,2020/7/27,94,例1.9 袋中有7個白球和3個黑球，從中無放回地隨機摸3個球，已知其中之一是黑球，試求其余兩球都是白球

11、的概率。,解：設A=取出的3個球中至少有一個是黑球，B=取出的3個球中至少有兩個白球。故所求事件的概率為P(BA)。,方法1.利用條件概率定義計算。此時樣本空間的樣本點總數(shù)為 ,事件A包含的樣本點數(shù) 。,事件AB包含的樣本點數(shù) 。,2020/7/27,95,方法2. 考慮已知A發(fā)生的條件下的樣本空間，則,易知,條件概率具有如下性質:,2020/7/27,96,例1.10 某種動物由出生算起活20歲以上的概率0.8, 活到25歲以上的概率為0.4, 如果現(xiàn)在有一個20歲的這種動物, 問它能活到25歲以上的概率是多少?,解：設A表示“一動物能活20歲以上”，B表示“一動物能活25歲以上”,則有,2

12、020/7/27,97,5.乘法公式,2020/7/27,98,抓鬮是否與次序有關?,例1.11 五個鬮, 其中兩個鬮內寫著“有”字， 三個鬮內不寫字，五人依次抓取,問每個人抓到“有”字鬮的概率是否相同?,則有,2020/7/27,99,依此類推,故抓鬮與次序無關。,2020/7/27,100,1.4.2事件的獨立性,先看一個例子 一個盒子中有只黑球、只白球，從中有放回地摸球。求（1）第一次摸到黑球的條件下，第二次摸到黑球的概率；（2）第二次摸到黑球的概率。設A表示“第一次摸到黑球”；B表示“第二次摸到黑球”。,從結果可以看出：第一次抽到黑球并沒有影響到第二次抽到黑球的概率，即在這個試驗中，有

13、P(BA)=P(B)。,所以，P（AB）=P(A)P(B),容易計算得：,2020/7/27,101,定義2 設A,B是任意兩個事件，若P(AB)=P(A)P(B),則稱事件A與事件B相互獨立。,事件A與事件B相互獨立的實質是： “事件A發(fā)生與事件B發(fā)生互不影響”,定理 下列四組事件相互獨立性等價。,2020/7/27,102,證明：只證明,另一方面,2020/7/27,103,事件獨立性的推廣,有限個事件的獨立性,2020/7/27,104,2020/7/27,105,例1.12 設一均勻堆成的四面體，第一面涂為紅色，第二面涂為黃色，第三面涂為籃色，第四面紅黃藍三種顏色各涂一部分。旋轉上拋，

14、下落到地面后，觀察接觸地面面的顏色。記A1表示接觸地面面有紅色；A2表示接觸地面面有黃色；A3表示接觸地面面有藍色。試判斷的獨立性。,解：由題設條件與古典概率定義有,2020/7/27,106,直覺未必可信 必須深入研究,從而,但是,2020/7/27,107,例1.13 3人獨立地破譯一組密碼，他們各自能破譯密碼的概率分別為1/5，1/3，1/4。試求此密碼能被破譯出的概率。,解：設Ai=第i個人破譯出密碼,i=1,2,3。,解法一：,解法二：,則密碼能被破譯出這一事件可表示為A1+A2+A3。,2020/7/27,108,1.5全概率公式與貝葉斯公式,例1.14 一在線計算機系統(tǒng),有3條輸

15、入線,其性質如下表:,通訊線,通訊量份額,無誤差的訊息份額,1,2,3,0.4,0.35,0.25,0.9998,0.9999,0.9997,(1)求一隨機選擇的進入訊號無誤差地被 接受的概率;,2020/7/27,109,例1.14 (續(xù)),解: 設事件B:“一訊號無誤差地被接受”,Ai：“訊號來自于第i條通訊線”，i=1,2,3,由題意，問題轉化為B=BA1+BA2+BA3，所以，,思考：引起事件B發(fā)生的因素,2020/7/27,110,例1.14 (續(xù)),我們的思路：是把樣本 空間分割成了3個不相 交的部分，這樣，事件 B也被分割成3部分：,利用乘法 公式可得,2020/7/27,111

16、,例1.14 (續(xù)),(2)已知一訊號是有誤差地被接受,則這一 訊號最有可能來自哪條通訊線路?,（本質是一個條件概率）,2020/7/27,112,全概率與Bayes公式,設A1,A2, ，An是隨機試驗E的一個互斥事件完備群，若P(Ai)0，i=1，n，則對E的任意事件B，有,全概率公式,Bayes公式,2020/7/27,113,圖示,證明,化整為零 各個擊破,全概率公式的證明,2020/7/27,114,例1.15 一盒中裝有12個球,其中8個是新球,第一次比賽從盒中任取兩球,使用后放入盒中,第二次比賽時再從盒中任取兩球,求:,(1)第2次取出兩個新球的概率,(2)已知第2次取出兩個新球

17、,而第一次 僅取出1個新球的概率.,解:把第1次取球的所有可能情況,作為樣本空間的劃分。 記Ai=第1次取出i個新球,i=0,1,2. B=第二次取出兩個新球。則由全概率公式和貝葉斯公式,2020/7/27,115,例1.15(續(xù)),=0.5333,2020/7/27,116,1.5貝努利概型,定義 如果試驗E0僅有兩個可能的結果：,其中0P1。我們稱將E0獨立重復地做n次的,試驗E為n重貝努利試驗,有時簡稱貝努利試驗或貝努利概型。,例如，假設每個同學到圖書館去只有兩個結果：借書或不借書。顯然,每個同學是否借書是相互獨立的,如果每個同學借書的概率是p,那么觀察n個同學到圖書館的借書情況就構成一個n重貝努利試驗.,記n重貝努利試驗E的一個基本事件為：,2020/7/27,117,對n重貝努利試驗，我們關心的是在n次重復試驗中，事件A發(fā)生k次的概率問題。,分析：記Bk=n次重復試驗中，事件A發(fā)生k次,2020/7/27,118,二項式概率定理,設試驗E是由試驗E0形成的n重貝努利概型。,例1.16 將一枚均勻硬幣拋擲1