高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)《第15課時(shí) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1》學(xué)案

1、第15課時(shí) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（一）【考點(diǎn)概述】 了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值.【重點(diǎn)難點(diǎn)】：了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和函數(shù)的極大值、極小值。【基礎(chǔ)梳理】1. 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系：如果 ，那么函數(shù)為該區(qū)間上的增函數(shù).如果 ，那么函數(shù)為該區(qū)間上的減函數(shù).用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性其一般步驟為：（1） 確定函數(shù)y=f（x）的定義域；（2) 求導(dǎo)數(shù)；(3) 在函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)解不等式0和0

2、；(4) 根據(jù)(3)的結(jié)果確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.2 函數(shù)的極值（1）定義：如果在函數(shù)f(x)的定義域I內(nèi)存在x0，使得在x0附近的所有點(diǎn)x，都有_，則稱函數(shù)f（x）在點(diǎn)x=x0處取得極大值，記作_，如果在x0附近都有_，則稱函數(shù)f（x）在點(diǎn)x=x0處取得極小值，記作_ _， 和 統(tǒng)稱為極值.（2）求函數(shù)極值的方法解方程,當(dāng)時(shí)， 如果在附近左側(cè) ，右側(cè) ，那么是極大值. 如果在附近左側(cè) ，右側(cè) ，那么是極小值.求函數(shù)極值的步驟：(1) 求導(dǎo)數(shù).(2) 求方程=0的所有實(shí)數(shù)根.(3) 觀察在每個(gè)根x0附近，從左到右，如果的符號由正變負(fù)，則f（x0）是極大值；如果由負(fù)變正，則f（x0）是極小值；如果的

3、符號在x0的兩側(cè)附近相同，則函數(shù)f（x）在點(diǎn)x=x0處不存在極值.3.設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，用填空：（1） 在上遞增(遞減)(2) 在上遞增(遞減)（3）都不恒等于0 在上遞增(遞減)【熱身練習(xí)】1（2009江蘇卷）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為 .2函數(shù)的極小值是 。 3. 函數(shù)，已知在時(shí)取到極值，則 4函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是 。（選修1-1習(xí)題2(2)改編）5. 已知有極大值和極小值，則的取值范圍為 。6已知可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如右圖所示，給出下列四個(gè)結(jié)論： 是的極小值點(diǎn)；在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，其中正確的結(jié)論是 （寫出所有正確結(jié)論的編號）【典例導(dǎo)航】【例1】設(shè)函數(shù)，已知是奇函數(shù)

4、。（1）求、的值。 （2）求的單調(diào)區(qū)間與極值?！咀兪接?xùn)練】已知函數(shù)圖像上的點(diǎn)處的切線方程為 ，函數(shù)是奇函數(shù)（1）求函數(shù)的表達(dá)式； （2）求函數(shù)的極值.【例2】（2009南京市質(zhì)量檢測）已知函數(shù) （1）若函數(shù)在處的切線方程為，求的值； （2）若函數(shù)在為增函數(shù)，求的取值范圍?！纠?】(2009浙江卷)已知函數(shù) （I）若函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線斜率是，求的值； （II）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍【例4】已知函數(shù)f（x）=x3-3ax-1,a0.（1） 求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2） 若f（x）在x=-1處取得極值，直線y=m與y=f（x）的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍.總結(jié)規(guī)

5、律1 要注意有兩個(gè)(或兩個(gè)以上)單調(diào)增(減)區(qū)間的寫法.2 利用導(dǎo)數(shù)解決含有參數(shù)的單調(diào)性問題是將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.3=0是可導(dǎo)函數(shù)f（x）在x=x0處取得極值的必要條件，而不是充分條件.4 極大值未必大于極小值，極值僅僅體現(xiàn)在x0處附近函數(shù)值的變化情況.5 要掌握將不等式的證明、方程根的個(gè)數(shù)的判定、求作函數(shù)的圖象等問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極值問題的處理.【應(yīng)用提升】1. (2009鹽城市聯(lián)考)奇函數(shù)在處有極值，則的值為 2. (2010常州市期末)已知是實(shí)數(shù)，函數(shù)，若，則函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是 .3. (2009東臺市期末)已知函數(shù)在點(diǎn)處有極小值-1，

6、則的單調(diào)增區(qū)間為 ，的單調(diào)減區(qū)間為 。4. (2010佛山市質(zhì)檢)若函數(shù)yx3x2mx1是R上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 。5. (2010威海市質(zhì)檢)函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為 。6已知函數(shù)處取得極值。 （1）求曲線在點(diǎn)（1，0）處取得極值。 （2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。7已知函數(shù)f(x)=alnx+x2（a為實(shí)常數(shù)）.(1) 若a=-2，求證：函數(shù)f(x)在（1,+）上是增函數(shù)；(2) 若存在x1,e，使得f(x)(a+2)x成立，求a的取值范圍.第15課時(shí) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（一）參考答案【熱身練習(xí)】1. 答案：考解析： 考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性。，由得單調(diào)減區(qū)間為。亦可填寫閉區(qū)間或半開半閉

7、區(qū)間。2.答案：解析：當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞增；當(dāng)時(shí)，3.答案：4解析：，在時(shí)取到極值，解得。4. 答案：解析：，由，得，又，。5.答案：解析：，要使有極大值和極小值，只需有兩個(gè)不同的根即可。即：，解得：?！镜淅龑?dǎo)航】【例1】解:（1），。1分從而是一個(gè)奇函數(shù)，4分所以得，由奇函數(shù)定義得；7分（2）由（1）知，從而，由此可知，和是函數(shù)是單調(diào)遞增區(qū)間；是函數(shù)是單調(diào)遞減區(qū)間；11分在時(shí)，取得極大值，極大值為，在時(shí)，取得極小值，極小值為。14分【變式訓(xùn)練】解:(1) ， 函數(shù)在處的切線斜率為-3，即，又得,又函數(shù)是奇函數(shù)， ， （2），令得或，-遞減極小遞增極大遞減 【例2】解

8、：（1）因?yàn)椋?，又在處的切線方程為 ， 所以 解得： 。（2）若函數(shù)在上為增函數(shù),則在上恒成立， 即：在上恒成立。所以有 ?！纠?】解：（）由題意得 又 ，解得，或 （）函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，等價(jià)于 導(dǎo)函數(shù)在既能取到大于0的實(shí)數(shù)，又能取到小于0的實(shí)數(shù) 即函數(shù)在上存在零點(diǎn)，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，有 ， 即： 整理得：，解得。【例4】（1）=3x2-3a=3(x2-a). 1分當(dāng)a0,當(dāng)a0時(shí)，由0,解得x；由0,解得x0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-,-a）,（a,+）,f（x）的單調(diào)減區(qū)間為(-a,a). 6分（2） f（x）在x=-1處取得極值，=3（-1）2-3a=0,a=1. 8分f（x）=x

9、3-3x-1, =3x2-3.由=0解得x1=-1,x2=1. 10分由（1）中f（x）的單調(diào)性可知，f（x）在x=-1處取得極大值f(-1)= 1，在x=1處取得極小值f(1)=-3. 12分直線y=m與函數(shù)y=f（x）的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，又f(-3)=-191，結(jié)合f（x）的單調(diào)性可知，m的取值范圍是(-3,1).14分要點(diǎn)反思要使直線y=m與y=f（x）的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，只要求直線y=m夾在兩平行線y=y極大值和y=y極小值之間即可，要注意數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用.【應(yīng)用提升】1. 答案：0解析：由奇函數(shù)知，, 。2.答案： 解析：，由，得，解得。令，解得。3.答案：，；解析：， 。 ，增區(qū)間， ， 減區(qū)間。4答案：，)解析：若函數(shù)yx3x2mx1是R上的單調(diào)函數(shù)，只需y3