3.1.1 方程的根與函數(shù)的零點 課件(人教A版必修1)

1、3.1函數(shù)與方程,31.1方程的根與函數(shù)的零點,研 習 新 知,新 知 視 界 1方程的根與函數(shù)的零點 (1)函數(shù)零點的概念 對于函數(shù)yf(x)，我們把使f(x)0的實數(shù)x叫函數(shù)yf(x)的零點函數(shù)的零點是一個實數(shù),(2)方程的根與函數(shù)零點的關系 求函數(shù)yf(x)的零點，就是求方程f(x)0的實數(shù)根方程f(x)0有實數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點函數(shù)yf(x)有零點 2函數(shù)零點的判斷 如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)0，那么，函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c(a，b)，使得f(c)0，這個c也就是方程f(x)0的根,思考感

2、悟 1函數(shù)的零點就是點，任何函數(shù)都有零點，對嗎？ 提示：函數(shù)的零點不是點，而是對應方程的根；并不是任何函數(shù)都有零點，如函數(shù)yx2x1就沒有零點 2如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)0，在區(qū)間(a，b)上就沒有零點嗎？,提示：當f(a)f(b)0時，在(a，b)上就沒有零點，當f(a)f(b)0時，(a，b)上亦可能有零點并且當f(a)f(b)0時，(a，b)上也不一定只有一個零點，若另有f(x)在(a，b)上單調(diào)，可說明f(x)在(a，b)上有一個零點,答案：B,2函數(shù)yx23x1的零點個數(shù)是() A0 B1 C2 D不確定 答案：C 3已知函數(shù)

3、f(x)在區(qū)間a，b上單調(diào)，且f(a)f(b)0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上() A至少有三個零點 B可能有兩個零點 C沒有零點 D必有唯一的零點 答案：D,4若函數(shù)f(x)x22xa沒有零點，則實數(shù)a的取值范圍是() Aa1 Ca1 Da1 解析：函數(shù)f(x)x22xa沒有零點，就是方程x22xa0沒有實數(shù)根，故判別式44a1. 答案：B,5已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，其圖象與x軸有四個交點，則該函數(shù)所有零點之和為_ 解析：f(x)為偶函數(shù)， f(x)的圖象關于y軸對稱， f(x)的零點也關于y軸對稱， 即零點之和為0. 答案：0,互 動 課 堂,典 例 導 悟 類型一函數(shù)零點的概念及求

4、法 例1求函數(shù)yx22x3的零點，并指出y0，y0時，x的取值范圍,解如圖1所示，解二次方程 x22x30，得x13，x21， 函數(shù)yx22x3的零點為3,1. yx22x3(x1)24，畫出這個函數(shù)的簡圖，從圖象上可以看出當30；當x1時，y0. 函數(shù)yx22x3的零點是3,1.,當y0時，x的取值范圍是(3,1)； 當y0(0)的解集，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法,變式體驗1(1)若函數(shù)f(x)x2axb的零點是2和4，求a、b的值 (2)若f(x)axb(b0)有一個零點3，則函數(shù)g(x)bx23ax的零點是_,類型二函數(shù)零點的判斷 例2判斷下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否存在零點 (1)f(x)x

5、23x18，x1,8； (2)f(x)x3x1，x1,2； (3)f(x)log2(x2)x，x1,3 分析零點的存在性判斷可依據(jù)零點的存在性定理，有時也可以結(jié)合圖象進行判斷,解(1)法1：f(1)200. f(1)f(8)0， f(1)f(2)0， 函數(shù)f(x)在1,2內(nèi)存在零點,變式體驗2求函數(shù)f(x)2xlg(x1)2的零點個數(shù) 解：解法1：f(0)10210， f(x)在(0,2)上必定存在實根，,又顯然f(x)2xlg(x1)2在(1，)上為增函數(shù)， 故f(x)有且只有一個實根 解法2：在同一坐標系下作出h(x)22x和g(x)lg(x1)的疊合圖 由圖象知ylg(x1)和y22x有

6、且只有一個交點， 即f(x)2xlg(x1)2有且只有一個零點,點評：判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法主要有： 用計算器或計算機計算并描點作出函數(shù)f(x)g(x)h(x)的圖象，由圖象、函數(shù)的單調(diào)性及零點的判斷方法作出判定，如本例法一； 由f(x)g(x)h(x)0，得g(x)h(x)，在同一坐標系下作出y1g(x)和y2h(x)的疊合圖，利用圖象判定方程根的個數(shù)，如本例法二；在實際運用中，大多數(shù)選用法二,類型三函數(shù)零點的應用 例3函數(shù)yx22px1的零點一個大于1，一個小于1，求p的取值范圍 分析二次函數(shù)的零點即函數(shù)圖象與x軸的交點，因此借助二次函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合法來研究,解解法1：記f(x)x2

7、2px1，則函數(shù)f(x)的圖象開口向上，當f(x)的零點一個大于1，一個小于1時，即f(x)與x軸的交點一個在(1,0)的左方，另一個在(1,0)的右方， 必有f(1)0，即122p10. p1. p的取值范圍為(，1),變式體驗3已知關于x的二次方程x22mx2m10. 若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(1,0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi)，求m的值 分析：設出二次方程對應的函數(shù)，畫出相應的示意圖，然后用函數(shù)的性質(zhì)加以限制，通過解不等式組來解決,思 悟 升 華 1對于函數(shù)零點的概念，應注意以下幾點問題： (1)函數(shù)的零點是一個實數(shù)，當函數(shù)的自變量取這個實數(shù)時，其函數(shù)值等于零 (2)函數(shù)的零點也就是函數(shù)yf(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標,2對函數(shù)零點的判定定理的理解 (1)函數(shù)零點的判定定理是一個存在性定理，也就是說，當函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上是一條連續(xù)不斷的曲線，并且有f(a)f(b)0，但f(x)0在