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文檔簡介
1、1.本章教學(xué)目標(biāo):(1)單個正態(tài)總體均值和方差的區(qū)間估計。(2)總體比例的區(qū)間估計。(3)均值和比例置信區(qū)間估計中樣本量的確定。(4)兩個正態(tài)總體均值差和方差比的區(qū)間估計。(5)單側(cè)置信區(qū)間估計。第6章,置信區(qū)間估計,2,2,由于點(diǎn)估計存在誤差,只對總體參數(shù)進(jìn)行點(diǎn)估計是不夠的,還需要知道估計精度及其誤差。參數(shù)的區(qū)間估計是在給定的置信水平下估計未知參數(shù)的可能范圍。被設(shè)置為總體分布的未知參數(shù),如果樣本確定的兩個統(tǒng)計量之和滿足給定的概率(01),則稱為隨機(jī)區(qū)間,即置信度為1-。區(qū)間估計,3,1。總體方差的區(qū)間估計2,1。2分布,讓總體XN (0,1),X1,X2,XN為x,一個樣本,那么它們的平方和
2、服從2分布,自由度為n,記錄為,2 2(n),6.1單個正態(tài)總體均值和方差Xn,有一組常數(shù)c1,c2,cn,它們不都是零,所以c1,X1,c2,X2,cn,Xn=0,那么變量X1,X2,Xn是線性相關(guān)的或者存在于它們之間,這是一個線性約束條件;如果X1,X2,Xn之間有k個獨(dú)立的線性約束,其中只有n-k個獨(dú)立變量,平方和的自由度為n-k,2分布密度函數(shù)的圖“自由度”的含義是,x,f (x),o,n=1,n=4,n=10,6,給定概率和自由度,我們可以查表得到,2分布的正確分位數(shù),它滿足2分布,8,2中的下列公式。總體方差的區(qū)間估計。讓總體XN(,2),/2,/2,1-,這樣2的置信區(qū)間是1-:
3、和S2分別是樣本均值和樣本方差。可以得到X1、X2、Xn是容量為n的x的樣本,并且可以證明,9、示例2在示例1中找到了組件壽命方差2的95%置信區(qū)間。解決方案:從示例1,S2=196.52,n=10,/2=0.025,1-/2=0.975,因此2的置信區(qū)間為(135.22,358.82),(n-1) S2/,(n-1) S2由車床加工的氣缸套的外徑尺寸X N(,2)和10個加工氣缸套的外徑尺寸(mm)隨機(jī)測量如下:90.01,90.01標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的右分位數(shù)Z是滿足以下公式的右分位數(shù):p Z Z=Z、1、-2。人口平均數(shù)的區(qū)間估計,如圖所示,(Z )=1-,因此,Z可以從正態(tài)分布表中得到。例如
4、,如果您想檢查Z0.025,您可以從正態(tài)分布表中找到它:(1.96)=0.975=1-0.025,所以Z0.025=1.96,12,這可以從正態(tài)分布的屬性中獲得。對于給定的置信水平1-,Z/2,/2,為了便于記憶和理解,的置信區(qū)間表示如下:2。2當(dāng)已知時總體均值的區(qū)間估計,是的,其中d被稱為估計的容許誤差。13,z可以通過Excel的統(tǒng)計函數(shù)NORMSINV返回。語法規(guī)則如下:格式:NORMINV(1-)函數(shù):返回z的值。說明:NORMINV()返回Z1-。用電子表格找出Z,14,3的分布。假設(shè)XN(0,1),Y 2(n),x和Y相互獨(dú)立,那么隨機(jī)變量服從自由度為n的t分布,表示為tt(n)。
5、15,t分布密度函數(shù)的圖,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是t分布的極限分布。當(dāng)n較大時,t分布類似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。x、f (x)、0、n=1、n=4、n=10、n=、N (0,1)、16、t分布的右分位數(shù)t(n)是滿足以下公式的t分布的右分位數(shù),根據(jù)t分布的對稱性,可以得到t1-(n)=-t(n)。t (n),t1-(n),=-t (n),17,t (n)可由Excel的統(tǒng)計函數(shù)TINV返回。語法規(guī)則如下:格式:TINV(2,n)函數(shù):返回t (n)的值。說明:TINV(,n)返回t/2(n)的值。當(dāng)t /2(n),18,4時,用電子表格求出總體均值的區(qū)間估計。2是未知的,t(n-1),讓總體XN(,2),和S
6、2分別是樣本均值和樣本方差。由此,可以獲得置信度為1-的置信區(qū)間。因此,對于給定的置信水平為1-,即X1,X2,Xn,容量為n的樣本,可以證明:19,用樣本比例代替總比例,如果總比例為P,那么當(dāng)nP和n (1-P)都大于5,因此,對于給定的置信水平為1-,我們可以得到總數(shù)P的置信水平,置信區(qū)間為1-6.2,總比例的區(qū)間估計,和20。實施例3獲得實施例1中部件平均壽命的95%的置信區(qū)間。因此,95%置信區(qū)間為:解:從例1,/2=0.025,=1423.1,S=196.5,=1-0.95=0.05,n=10,查表,得到t0.025 (9)=2.266,21,類練習(xí)2:車床XN加工的缸套外徑尺寸(,
7、2),以下是隨機(jī)測量的缸套外徑尺寸10(mm),90。為了了解產(chǎn)品質(zhì)量,某廠隨機(jī)抽取300件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗,其中有5件不良品,該廠產(chǎn)品不良品率的置信度為95%。解決方法:產(chǎn)品不良率是成比例的,=1-0.95=0.05,/2=0.025,n=300,查表為Z0.025=1.96,樣本數(shù)為幾個。工廠產(chǎn)品不良率的置信區(qū)間為95%,23。案例思考問題,當(dāng)國外民意調(diào)查機(jī)構(gòu)進(jìn)行民意調(diào)查時,問:需要多少樣本才能滿足本次調(diào)查的準(zhǔn)確性要求?如果要求置信度達(dá)到99%,調(diào)查誤差仍為3%。此時需要多少樣品?24,案例思考問題(1),在這種情況下,所需的樣本量至少為,25,案例思考問題(2),如果要求置信度達(dá)到99%,則
8、確定Z/2=Z0.005=2.575,26,6.3樣本量,并且之前的分析基于給定的樣本量。但是,在實際應(yīng)用中,樣本量應(yīng)在隨機(jī)取樣之前確定。樣本量過大,可以提高統(tǒng)計推斷的準(zhǔn)確性,但會增加不必要的人力、物力、費(fèi)用和時間支出;如果樣本量太小,統(tǒng)計推斷的誤差就會太大,推斷結(jié)果將達(dá)不到必要的精度要求。確定樣本量的原則是在要求置信度和允許誤差(置信區(qū)間的D值)的條件下,確定所需的最小樣本量。27,1??傮w均值區(qū)間估計中樣本量的確定,在給定置信度和允許誤差d的條件下,其中總體標(biāo)準(zhǔn)差或樣本標(biāo)準(zhǔn)差也是未知的,所以通常可以先通過小規(guī)模抽樣進(jìn)行估計。因為使用了近似公式,所以可以看出實際使用的最小樣本量應(yīng)該略大于計算
9、結(jié)果。28,實施例6在實施例3中部件平均壽命的區(qū)間估計中,要求在95%的置信度下,估計的容許誤差不應(yīng)超過平均壽命的10%,并且假設(shè)已經(jīng)獲得了實施例1的預(yù)采樣數(shù)據(jù)。找到所需的最小樣本量。所有其他條件不變,最小樣本量的計算有99%的置信度。解決方案:從例1可以看出,S=196.5,d=1423/10=142.3,n=10可以滿足給定的精度要求??梢钥闯?,n=20可以滿足給定的精度要求。在總體均值的區(qū)間估計中,n=30通常被稱為大樣本。當(dāng)樣本較大時,無論總體服從何種分布,區(qū)間估計都可以用上述公式進(jìn)行。29,2。在估計總體比例區(qū)間時確定樣本量,其中樣本分?jǐn)?shù)p也可以先通過小規(guī)模抽樣來估計,或根據(jù)其他信息
10、,或0.5。30,例7企業(yè)應(yīng)重新建立產(chǎn)品抽樣檢驗標(biāo)準(zhǔn)。眾所周知,過去檢驗的不良率約為3.6%,現(xiàn)在要求允許誤差不超過2%,置信水平為95%。每次至少要取樣多少產(chǎn)品?解決方法:根據(jù)問題的意思,我們應(yīng)該推斷出總數(shù),p=0.036,1-p=0.964,d=0.02,=0.05,z/2=z0.025=1.96,所以每次至少要隨機(jī)選擇334個產(chǎn)品。因此,在總體比例的區(qū)間估計中,樣本量至少要有幾百個才能滿足一定的精度要求。31,實施例5 (1)計算實施例1中部件平均壽命的95%置信下限。(2)找出部件壽命方差的95%置信上限。解是:(1),因此一側(cè)的置信下限是,在這個例子中,t 0.05(9)=1.8331,所以置信下限是1423.1-1.8331196.5/,并且在95%置信下,這個部件的平均壽命長于1309.2小時。=1390
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