《應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)》第6章：置信區(qū)間估計.ppt

1、1.本章教學(xué)目標(biāo)：(1)單個正態(tài)總體均值和方差的區(qū)間估計。(2)總體比例的區(qū)間估計。(3)均值和比例置信區(qū)間估計中樣本量的確定。(4)兩個正態(tài)總體均值差和方差比的區(qū)間估計。(5)單側(cè)置信區(qū)間估計。第6章，置信區(qū)間估計，2，2，由于點(diǎn)估計存在誤差，只對總體參數(shù)進(jìn)行點(diǎn)估計是不夠的，還需要知道估計精度及其誤差。參數(shù)的區(qū)間估計是在給定的置信水平下估計未知參數(shù)的可能范圍。被設(shè)置為總體分布的未知參數(shù)，如果樣本確定的兩個統(tǒng)計量之和滿足給定的概率(01)，則稱為隨機(jī)區(qū)間，即置信度為1-。區(qū)間估計，3，1。總體方差的區(qū)間估計2，1。2分布，讓總體XN (0，1)，X1，X2，XN為x，一個樣本，那么它們的平方和

2、服從2分布，自由度為n，記錄為，2 2(n)，6.1單個正態(tài)總體均值和方差Xn，有一組常數(shù)c1，c2，cn，它們不都是零，所以c1，X1，c2，X2，cn，Xn=0，那么變量X1，X2，Xn是線性相關(guān)的或者存在于它們之間，這是一個線性約束條件；如果X1，X2，Xn之間有k個獨(dú)立的線性約束，其中只有n-k個獨(dú)立變量，平方和的自由度為n-k，2分布密度函數(shù)的圖“自由度”的含義是，x，f (x)，o，n=1，n=4，n=10，6，給定概率和自由度，我們可以查表得到，2分布的正確分位數(shù)，它滿足2分布，8，2中的下列公式。總體方差的區(qū)間估計。讓總體XN(，2)，/2，/2，1-，這樣2的置信區(qū)間是1-:

3、和S2分別是樣本均值和樣本方差。可以得到X1、X2、Xn是容量為n的x的樣本，并且可以證明，9、示例2在示例1中找到了組件壽命方差2的95%置信區(qū)間。解決方案：從示例1，S2=196.52，n=10，/2=0.025，1-/2=0.975，因此2的置信區(qū)間為(135.22，358.82)，(n-1) S2/,(n-1) S2由車床加工的氣缸套的外徑尺寸X N(，2)和10個加工氣缸套的外徑尺寸(mm)隨機(jī)測量如下：90.01，90.01標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的右分位數(shù)Z是滿足以下公式的右分位數(shù)：p Z Z=Z、1、-2。人口平均數(shù)的區(qū)間估計，如圖所示，(Z )=1-，因此，Z可以從正態(tài)分布表中得到。例如

4、，如果您想檢查Z0.025，您可以從正態(tài)分布表中找到它：(1.96)=0.975=1-0.025，所以Z0.025=1.96，12，這可以從正態(tài)分布的屬性中獲得。對于給定的置信水平1-，Z/2，/2，為了便于記憶和理解，的置信區(qū)間表示如下：2。2當(dāng)已知時總體均值的區(qū)間估計，是的，其中d被稱為估計的容許誤差。13，z可以通過Excel的統(tǒng)計函數(shù)NORMSINV返回。語法規(guī)則如下：格式：NORMINV(1-)函數(shù)：返回z的值。說明：NORMINV()返回Z1-。用電子表格找出Z，14，3的分布。假設(shè)XN(0，1)，Y 2(n)，x和Y相互獨(dú)立，那么隨機(jī)變量服從自由度為n的t分布，表示為tt(n)。

5、15，t分布密度函數(shù)的圖，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是t分布的極限分布。當(dāng)n較大時，t分布類似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。x、f (x)、0、n=1、n=4、n=10、n=、N (0，1)、16、t分布的右分位數(shù)t(n)是滿足以下公式的t分布的右分位數(shù)，根據(jù)t分布的對稱性，可以得到t1-(n)=-t(n)。t (n)，t1-(n)，=-t (n)，17，t (n)可由Excel的統(tǒng)計函數(shù)TINV返回。語法規(guī)則如下：格式：TINV(2，n)函數(shù)：返回t (n)的值。說明：TINV(，n)返回t/2(n)的值。當(dāng)t /2(n)，18，4時，用電子表格求出總體均值的區(qū)間估計。2是未知的，t(n-1)，讓總體XN(，2)，和S

6、2分別是樣本均值和樣本方差。由此，可以獲得置信度為1-的置信區(qū)間。因此，對于給定的置信水平為1-，即X1，X2，Xn，容量為n的樣本，可以證明：19，用樣本比例代替總比例，如果總比例為P，那么當(dāng)nP和n (1-P)都大于5，因此，對于給定的置信水平為1-，我們可以得到總數(shù)P的置信水平，置信區(qū)間為1-6.2，總比例的區(qū)間估計，和20。實施例3獲得實施例1中部件平均壽命的95%的置信區(qū)間。因此，95%置信區(qū)間為：解：從例1，/2=0.025，=1423.1，S=196.5，=1-0.95=0.05，n=10，查表，得到t0.025 (9)=2.266，21，類練習(xí)2:車床XN加工的缸套外徑尺寸(，

7、2)，以下是隨機(jī)測量的缸套外徑尺寸10(mm)，90。為了了解產(chǎn)品質(zhì)量，某廠隨機(jī)抽取300件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗，其中有5件不良品，該廠產(chǎn)品不良品率的置信度為95%。解決方法：產(chǎn)品不良率是成比例的，=1-0.95=0.05，/2=0.025，n=300，查表為Z0.025=1.96，樣本數(shù)為幾個。工廠產(chǎn)品不良率的置信區(qū)間為95%，23。案例思考問題，當(dāng)國外民意調(diào)查機(jī)構(gòu)進(jìn)行民意調(diào)查時，問：需要多少樣本才能滿足本次調(diào)查的準(zhǔn)確性要求？如果要求置信度達(dá)到99%，調(diào)查誤差仍為3%。此時需要多少樣品？24，案例思考問題(1)，在這種情況下，所需的樣本量至少為，25，案例思考問題(2)，如果要求置信度達(dá)到99%，則

8、確定Z/2=Z0.005=2.575，26，6.3樣本量，并且之前的分析基于給定的樣本量。但是，在實際應(yīng)用中，樣本量應(yīng)在隨機(jī)取樣之前確定。樣本量過大，可以提高統(tǒng)計推斷的準(zhǔn)確性，但會增加不必要的人力、物力、費(fèi)用和時間支出；如果樣本量太小，統(tǒng)計推斷的誤差就會太大，推斷結(jié)果將達(dá)不到必要的精度要求。確定樣本量的原則是在要求置信度和允許誤差(置信區(qū)間的D值)的條件下，確定所需的最小樣本量。27，1?？傮w均值區(qū)間估計中樣本量的確定，在給定置信度和允許誤差d的條件下，其中總體標(biāo)準(zhǔn)差或樣本標(biāo)準(zhǔn)差也是未知的，所以通常可以先通過小規(guī)模抽樣進(jìn)行估計。因為使用了近似公式，所以可以看出實際使用的最小樣本量應(yīng)該略大于計算

9、結(jié)果。28，實施例6在實施例3中部件平均壽命的區(qū)間估計中，要求在95%的置信度下，估計的容許誤差不應(yīng)超過平均壽命的10%，并且假設(shè)已經(jīng)獲得了實施例1的預(yù)采樣數(shù)據(jù)。找到所需的最小樣本量。所有其他條件不變，最小樣本量的計算有99%的置信度。解決方案：從例1可以看出，S=196.5，d=1423/10=142.3，n=10可以滿足給定的精度要求?？梢钥闯?，n=20可以滿足給定的精度要求。在總體均值的區(qū)間估計中，n=30通常被稱為大樣本。當(dāng)樣本較大時，無論總體服從何種分布，區(qū)間估計都可以用上述公式進(jìn)行。29，2。在估計總體比例區(qū)間時確定樣本量，其中樣本分?jǐn)?shù)p也可以先通過小規(guī)模抽樣來估計，或根據(jù)其他信息

10、，或0.5。30，例7企業(yè)應(yīng)重新建立產(chǎn)品抽樣檢驗標(biāo)準(zhǔn)。眾所周知，過去檢驗的不良率約為3.6%，現(xiàn)在要求允許誤差不超過2%，置信水平為95%。每次至少要取樣多少產(chǎn)品？解決方法：根據(jù)問題的意思，我們應(yīng)該推斷出總數(shù)，p=0.036，1-p=0.964，d=0.02，=0.05，z/2=z0.025=1.96，所以每次至少要隨機(jī)選擇334個產(chǎn)品。因此，在總體比例的區(qū)間估計中，樣本量至少要有幾百個才能滿足一定的精度要求。31，實施例5 (1)計算實施例1中部件平均壽命的95%置信下限。(2)找出部件壽命方差的95%置信上限。解是：(1)，因此一側(cè)的置信下限是，在這個例子中，t 0.05(9)=1.8331，所以置信下限是1423.1-1.8331196.5/，并且在95%置信下，這個部件的平均壽命長于1309.2小時。=1390