2018屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 不等式、推理與證明 第四節(jié) 基本不等式學(xué)案 文

1、 1.了解基本不等式的證明過程2會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題知識點一基本不等式 1基本不等式(1)基本不等式成立的條件：_.(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)_時取等號2算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a0，b0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為_，幾何平均數(shù)為_，基本不等式可敘述為：_ _.3幾個重要的不等式a2b2_(a，bR)；_(a，b同號)ab2(a，bR)；2_(a，bR)答案1(1)a0，b0(2)ab2.兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)32ab21判斷正誤(1)函數(shù)yx的最小值是2.()(2)x0且y0是2的充分不必要條件()(3)若a0，則a2的最小值為2.()答案：(1)(

2、2)(3)知識點二利用基本不等式求最值問題 已知x0，y0，則1如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)_時，xy有最_值是_(簡記：積定和最小)2如果和xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)_時，xy有最_值是_(簡記：和定積最大)答案1xy小22.xy大2(必修P100習(xí)題3.4A組第1(2)題改編)設(shè)x0，y0，且xy18，則xy的最大值為()A80 B77C81 D82解析：xy2281，當(dāng)且僅當(dāng)xy9時等號成立，故選C.答案：C3(必修P100習(xí)題3.4A組第2題改編)若把總長為20 m的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是_解析：設(shè)一邊長為x m，則另一邊長可表示為(10x)m，由題知0x0，

3、n0,2mn1，則的最小值為_.解析：2mn1，()(2mn)4428.當(dāng)且僅當(dāng)，即n，m時，“”成立答案：8熱點一配湊法求最值 【例1】(1)已知x，求f(x)4x2的最大值；(2)已知x為正實數(shù)且x21，求x的最大值【解】(1)因為x0，則f(x)4x23231.當(dāng)且僅當(dāng)54x，即x1時，等號成立故f(x)4x2的最大值為1.(2)因為x0，所以x.又x2，所以x，即(x)max.【總結(jié)反思】應(yīng)用基本不等式解題一定要注意應(yīng)用的前提：“一正”“二定”“三相等”所謂“一正”是指正數(shù)，“二定”是指應(yīng)用基本不等式求最值時，和或積為定值，“三相等”是指滿足等號成立的條件.(1)設(shè)0x1，則函數(shù)y的最

4、小值為_解析：(1)因為0x0，所以y4x(52x)22x(52x)22，當(dāng)且僅當(dāng)2x52x，即x時等號成立，故函數(shù)y4x(52x)的最大值為.(2)因為x1，所以x10，所以yx15259，當(dāng)且僅當(dāng)x1，即x1時等號成立，故函數(shù)y的最小值為9.答案：(1)(2)9熱點二 常值代換法求最值 【例2】已知a0，b0，ab1，則的最小值為_【解析】a0，b0，ab1，2224，即的最小值為4，當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立【答案】41本例的條件不變，則的最小值為_.解析：52549，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，取等號答案：92若將本例中的“ab1”換為“a2b3”，如何求解？解：a2b3，ab1.121.當(dāng)且僅當(dāng)ab

5、33時，取等號故的最小值為1.【總結(jié)反思】在求解含有兩個變量的代數(shù)式的最值問題時，通常采用“變量替換”或“常數(shù)1”的替換，構(gòu)造不等式求解.若正數(shù)x，y滿足x3y5xy，則3x4y的最小值是_解析：因為x3y5xy，且x0，y0.所以5，所以3x4y(3x4y)(1312)5.當(dāng)且僅當(dāng)即時取“”所以3x4y的最小值是5.答案：5熱點三 換元法求最值 【例3】已知正實數(shù)x，y滿足xy2xy4，則xy的最小值為_【解析】因為xy2xy4，所以x，由x0，得2y0，則0y4，所以xyy(y2)323，當(dāng)且僅當(dāng)y2(0y0，y0，x3yxy9，則x3y的最小值為_解析：由已知得x.方法1：(消元法)x0

6、，y0，y0，y0,9(x3y)xyx(3y)()2，當(dāng)且僅當(dāng)x3y時等號成立，設(shè)x3yt0，則t212t1080，(t6)(t18)0，又t0，t6.故當(dāng)x3，y1時，(x3y)min6.答案：6熱點四 基本不等式與函數(shù)的綜合應(yīng)用 【例4】(1)已知f(x)32x(k1)3x2，當(dāng)xR時，f(x)恒為正值，則k的取值范圍是()A(，1) B(，21)C(1,21) D(21,21)(2)已知函數(shù)f(x)(aR)，若對于任意xN*，f(x)3恒成立，則a的取值范圍是_【解析】(1)由32x(k1)3x20恒成立，得k13x.3x2，k12，即kf(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立a0，b0，1，所以ab(ab)1010216.由題意，得16x24x18m，即x24x2m對任意實數(shù)x恒成立，而x24x2(x2)26，所以x24x2的最小值為6，所以6m，即m6.答案：D1運用公式解題時，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2b22ab逆用就是ab；(a，b0)逆用就是ab2(a，b0)等，還要注意“添”“拆”項技巧和公式等號成立的條件等2利用基本不等式求最值應(yīng)注意的問題(1)使用基本不等式求最值，其失誤的真正原因是對其存在前提“一正、二定、三相等”的忽視要利用基本不等