2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 1.1.2 余弦定理（一）學(xué)案 新人教B版必修5

1、1.1.2余弦定理(一)學(xué)習(xí)目標1.掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法.2.會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題知識點一余弦定理的推導(dǎo)思考1根據(jù)勾股定理，若ABC中，C90，則c2a2b2a2b22abcos C試驗證式對等邊三角形還成立嗎？你有什么猜想？思考2在c2a2b22abcos C中，abcos C能解釋為哪兩個向量的數(shù)量積？你能由此證明思考1的猜想嗎？梳理余弦定理的發(fā)現(xiàn)是基于已知兩邊及其夾角求第三邊的需要因為兩邊及其夾角恰好是確定平面向量一組基底的條件，所以能把第三邊用基底表示進而求出模長另外，也可通過構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用勾股定理或建立坐標系利用兩點間的距離公式

2、證明余弦定理知識點二余弦定理的呈現(xiàn)形式1a2_，b2_，c2_.2cos _；cos _；cos _.知識點三適宜用余弦定理解決的兩類基本的解三角形問題思考1觀察知識點二第1條中的公式結(jié)構(gòu)，其中等號右邊涉及幾個量？你認為可用來解哪類三角形？思考2觀察知識點二第2條中的公式結(jié)構(gòu)，其中等號右邊涉及幾個量？你認為可用來解哪類三角形？梳理余弦定理適合解決的問題：(1)已知兩邊及其夾角，解三角形；(2)已知三邊，解三角形類型一余弦定理的證明例1已知ABC，BCa，ACb和角C，求解c.反思與感悟所謂證明，就是在新舊知識間架起一座橋梁橋梁架在哪兒，要勘探地形，證明一個公式，要觀察公式兩邊的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)系已

3、經(jīng)學(xué)過的知識，看有沒有相似的地方跟蹤訓(xùn)練1例1涉及線段長度，能不能用解析幾何的兩點間距離公式來研究這個問題？類型二用余弦定理解三角形命題角度1已知兩邊及其夾角例2如圖，在ABC中，已知a5，b4，C120，求c.反思與感悟已知三角形兩邊及其夾角時，應(yīng)先從余弦定理入手求出第三邊，再利用正弦定理求其余的角跟蹤訓(xùn)練2在ABC中，已知a2，b2，C15，求A.命題角度2已知三邊例3在ABC中，已知a3，b2，c，求此三角形各個角的大小及其面積(精確到0.1)反思與感悟已知三邊求三角，可利用余弦定理的變形cos A，cos B，cos C求一個角，求其余角時，可用余弦定理也可用正弦定理跟蹤訓(xùn)練3在ABC

4、中，sin Asin Bsin C245，判斷三角形的形狀1一個三角形的兩邊長分別為5和3，它們夾角的余弦值是，則三角形的另一邊長為()A52 B2 C16 D42在ABC中，a7，b4，c，則ABC的最小角為()A. B. C. D.3如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍，那么它的頂角的余弦值為()A. B. C. D.4在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則ABC是()A等邊三角形B直角三角形，且有一個角是30C等腰直角三角形D等腰三角形，且有一個角是301利用余弦定理可以解決兩類有關(guān)三角形的問題：(1)已知兩邊和夾角，解三角形(2)已知三邊求三角形的任意一角2余弦定理與

5、勾股定理的關(guān)系：余弦定理可以看作是勾股定理的推廣，勾股定理可以看作是余弦定理的特例(1)如果一個三角形兩邊的平方和大于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是銳角(2)如果一個三角形兩邊的平方和小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角(3)如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是直角答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點一思考1當abc時，C60，a2b22abcos Cc2c22cccos 60c2，即式仍成立，據(jù)此猜想，對一般ABC，都有c2a2b22abcos C.思考2abcos C|C|C|cos，.a2b22abcos C222()22c2.猜想得證知識點二1b2c22bcco

6、s Ac2a22cacos Ba2b22abcos C2ABC知識點三思考1每個公式右邊都涉及三個量，兩邊及其夾角故如果已知三角形的兩邊及其夾角，可用余弦定理解三角形思考2每個公式右邊都涉及三個量，即三角形的三條邊，故如果已知三角形的三邊，也可用余弦定理解三角形題型探究類型一例1解如圖，設(shè)Ca，Cb，Ac，由ACC，知cab，則|c|2cc(ab)(ab)aabb2aba2b22|a|b|cos C.所以c2a2b22abcos C.跟蹤訓(xùn)練1解如圖，以A為原點，邊AB所在直線為x軸建立直角坐標系，則A(0,0)，B(c,0)，C(bcos A，bsin A)，BC2b2cos2A2bccos Ac2b2sin2A，即a2b2c22bccos A.同理可證b2c2a22cacos B，c2a2b22abcos C.類型二命題角度1例2解由余弦定理，得c2a2b22abcos 120，因此c .跟蹤訓(xùn)練2A30命題角度2例3解如圖，由余弦定理，得cos C，因此C120.再由正弦定理，得sin A0.596 0，因此A36.6或A143.