2018版高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的應(yīng)用 3.1.2 用二分法求方程的近似解學(xué)案 新人教A版必修1

1、3.1.2用二分法求方程的近似解1通過具體實(shí)例理解二分法的概念及其使用條件(重點(diǎn))2了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助計(jì)算器用二分法求方程的近似解(難點(diǎn))3會(huì)用二分法求一個(gè)函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)，從而求得方程的近似解(易混點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理二分法的概念及用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值的步驟閱讀教材P89P90“例2”以上部分，完成下列問題1二分法的概念對(duì)于在區(qū)間a，b上連續(xù)不斷且f(a)f(b)0的函數(shù)yf(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法由函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程根的關(guān)系，可用二分法來求方程的近似

2、解2用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值的步驟(1)確定區(qū)間a，b，驗(yàn)證f(a)f(b)0，給定精確度；(2)求區(qū)間(a，b)的中點(diǎn)c；(3)計(jì)算f(c)；若f(c)0，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；若f(a)f(c)0，則令bc(此時(shí)零點(diǎn)x0(a，c)；若f(c)f(b)0，則令ac(此時(shí)零點(diǎn)x0(c，b)(4)判斷是否達(dá)到精確度：即若|ab|，則得到零點(diǎn)近似值a(或b)；否則重復(fù)(2)(4)判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)二分法所求出的方程的解都是近似解()(2)函數(shù)f(x)|x|可以用二分法求零點(diǎn)()(3)用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值時(shí)，每次等分區(qū)間后，零點(diǎn)必定在右側(cè)區(qū)間內(nèi)()【解析】(1).如

3、函數(shù)x20用二分法求出的解就是精確解(2).對(duì)于函數(shù)f(x)|x|，不存在區(qū)間(a，b)，使f(a)f(b)0，所以不能用二分法求其零點(diǎn)(3).函數(shù)的零點(diǎn)也可能是區(qū)間的中點(diǎn)或在左側(cè)區(qū)間內(nèi)【答案】(1)(2)(3)小組合作型二分法的概念(1)已知函數(shù)f(x)的圖象如圖311所示，其中零點(diǎn)的個(gè)數(shù)與可以用二分法求解的個(gè)數(shù)分別為()A4,4B3,4C5,4D4,3圖311(2)用二分法求方程2x3x70在區(qū)間1,3內(nèi)的根，取區(qū)間的中點(diǎn)為x02，那么下一個(gè)有根的區(qū)間是_【精彩點(diǎn)撥】(1)依據(jù)二分法的概念求解(2)依據(jù)f(1)，f(2)，f(3)的符號(hào)作出判斷【自主解答】(1)圖象與x軸有4個(gè)交點(diǎn)，所以解

4、的個(gè)數(shù)為4；左、右函數(shù)值異號(hào)的有3個(gè)零點(diǎn)，所以可以用二分法求解的個(gè)數(shù)為3.(2)設(shè)f(x)2x3x7，f(1)23720，f(3)100，f(2)30，f(x)零點(diǎn)所在的區(qū)間為(1,2)，方程2x3x70有根的區(qū)間是(1,2)【答案】(1)D(2)(1,2)二分法求函數(shù)零點(diǎn)的依據(jù)：其圖象在零點(diǎn)附近是連續(xù)不斷的，且該零點(diǎn)為變號(hào)零點(diǎn)，因此，用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的方法僅對(duì)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)適用，對(duì)函數(shù)的不變號(hào)零點(diǎn)不適用.再練一題1下列函數(shù)中能用二分法求零點(diǎn)的是() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】【解析】在A和D中，函數(shù)雖有零點(diǎn)，但它們均是不變號(hào)零點(diǎn)，因此它們都不能用二分法求零點(diǎn)在B中，函數(shù)無零點(diǎn)在C中，函數(shù)圖象是連續(xù)

5、不斷的，且圖象與x軸有交點(diǎn)，并且其零點(diǎn)為變號(hào)零點(diǎn)，所以C中的函數(shù)能用二分法求其零點(diǎn)【答案】C用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值證明函數(shù)f(x)2x3x6在區(qū)間(1,2)內(nèi)有唯一一個(gè)零點(diǎn)，并求出這個(gè)零點(diǎn)(精確度為0.1)【精彩點(diǎn)撥】判斷f(1)f(2)0是否成立，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，確定零點(diǎn)的唯一性，最后用二分法求零點(diǎn)【自主解答】設(shè)函數(shù)f(x)2x3x6.f(1)10.f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)有零點(diǎn)又f(x)是增函數(shù)，函數(shù)f(x)2x3x6在區(qū)間(1,2)內(nèi)有唯一的零點(diǎn)設(shè)該零點(diǎn)為x0，則x0(1,2)，取x11.5，f(1.5)1.330，f(1)f(1.5)0，f(1)f(1.25)0，x0(1,1

6、.25)取x31.125，f(1.125)0.440，f(1.125)f(1.25)0，x0(1.125,1.25)取x41.187 5，f(1.187 5)0.160，f(1.187 5)f(1.25)0.x0(1.187 5,1.25)|1.251.187 5|0.062 50.1，可取x01.25，則該函數(shù)的零點(diǎn)近似解可取x01.25.用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是初始區(qū)間的選取，符合條件(包括零點(diǎn))，又要使其長度盡量小；二是進(jìn)行精確度的判斷，以決定是停止計(jì)算還是繼續(xù)計(jì)算.再練一題2求函數(shù)f(x)x32x23x6的正數(shù)零點(diǎn)(精確度為0.1)【解】因?yàn)閒(0)60，f(1)60

7、，所以可以取區(qū)間(1,2)作為計(jì)算的初始區(qū)間用二分法逐次計(jì)算，列表如下：中點(diǎn)端點(diǎn)或中點(diǎn)函數(shù)值取值區(qū)間f(1)60(1,2)x11.5f(1.5)2.6250(1.5,1.75)x31.625f(1.625)1.302 70(1.625,1.75)x41.687 5f(1.687 5)0.561 80(1.6875,1.75)因?yàn)閨1.751.687 5|0.062 50.1，所以函數(shù)的正數(shù)零點(diǎn)的近似值為1.687 5.探究共研型用二分法求方程的近似解探究1函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)與方程f(x)0的解有何關(guān)系？【提示】函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)0的解探究2如何把求方程的近似解轉(zhuǎn)化為求函數(shù)零

8、點(diǎn)的近似解？【提示】設(shè)方程為f(x)g(x)，構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)g(x)，求方程f(x)g(x)的近似解問題就可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)F(x)f(x)g(x)零點(diǎn)的近似解問題用二分法求方程2x33x30的一個(gè)正實(shí)數(shù)近似解(精確度為0.1)【精彩點(diǎn)撥】構(gòu)造函數(shù)f(x)2x33x3確定初始區(qū)間(a，b)二分法求方程的近似解驗(yàn)證|ab|0.1是否成立下結(jié)論【自主解答】令f(x)2x33x3，經(jīng)計(jì)算，f(0)30，f(0)f(1)0，所以函數(shù)f(x)在(0,1)內(nèi)存在零點(diǎn)，即方程2x33x3在(0,1)內(nèi)有解取(0,1)的中點(diǎn)0.5，經(jīng)計(jì)算f(0.5)0，所以方程2x33x30在(0.5,1)內(nèi)有解如此繼

9、續(xù)下去，得到方程的正實(shí)數(shù)根所在的區(qū)間，如表：(a，b)中點(diǎn)cf(a)f(b)f(0,1)0.5f(0)0f(0.5)0(0.5,1)0.75f(0.5)0f(0.75)0(0.5,0.75)0.625f(0.5)0f(0.625)0(0.625,0.75)0.687 5f(0.625)0f(0.687 5)0由于|0.687 50.75|0.062 50.1，所以方程2x33x30的一個(gè)精確度為0.1的正實(shí)數(shù)近似解可取為0.687 5.1根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程的解的關(guān)系，求函數(shù)的零點(diǎn)與求相應(yīng)方程的解是等價(jià)的求方程f(x)0的近似解，即按照用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟求解2對(duì)于求形如f(x)

10、g(x)的方程的近似解，可以通過移項(xiàng)轉(zhuǎn)化成求形如F(x)f(x)g(x)0的方程的近似解，然后按照用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟求解再練一題3用二分法求2xx4在1,2內(nèi)的近似解(精確度為0.2)參考數(shù)據(jù)：x1.1251.251.3751.51.6251.751.8752x2.182.382.592.833.083.363.67【解】令f(x)2xx4，則f(1)2140.區(qū)間區(qū)間中點(diǎn)值xnf(xn)的值及符號(hào)(1,2)x11.5f(x1)0.330(1,1.5)x21.25f(x2)0.370(1.25,1.5)x31.375f(x3)0.0350(1.375,1.5)|1.3751.5|0

11、.1250.2，2xx4在(1,2)內(nèi)的近似解可取為1.375.1觀察下列函數(shù)的圖象，判斷能用二分法求其零點(diǎn)的是()【解析】由圖象可知A中零點(diǎn)左右兩側(cè)的函數(shù)符號(hào)不同，故可用二分法求零點(diǎn)【答案】A2用二分法求函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)的唯一零點(diǎn)時(shí)，精確度為0.001，則結(jié)束計(jì)算的條件是()A|ab|0.1B|ab|0.001 D|ab|0.001【解析】據(jù)二分法的步驟知當(dāng)區(qū)間長度|ba|小于精確度時(shí)，便可結(jié)束計(jì)算【答案】B3用“二分法”求解關(guān)于x的方程ln x2x60的近似解時(shí)，能確定為解所在的初始區(qū)間的是() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】A(2,3) B(0,2)C(1,2) D(0，)【解析】令函數(shù)f(x)ln x2x6，f(1)40，f(2)ln 220，f(3)ln 30，函數(shù)f(x)在(2,3)內(nèi)有零點(diǎn)，方程ln x2x60的近似解在(2,3)內(nèi)故選A.【答案】A4某方程有一無理根在區(qū)間D(1,3)內(nèi)，若用二分法求此根的近似值，將D等分_次后，所得近似值可精確到0.1.【解析】由10，n14，即n5.【答案】55用二分法求方程ln(2x6)23x的根的近似值時(shí)，令f(x)ln(2x6)23x，并用計(jì)算器得到下表：x1.001.251.3751.50f(x)1.079 40.191 80.