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文檔簡介
1、3.1.2用二分法求方程的近似解1通過具體實(shí)例理解二分法的概念及其使用條件(重點(diǎn))2了解二分法是求方程近似解的常用方法,能借助計算器用二分法求方程的近似解(難點(diǎn))3會用二分法求一個函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn),從而求得方程的近似解(易混點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理二分法的概念及用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值的步驟閱讀教材P89P90“例2”以上部分,完成下列問題1二分法的概念對于在區(qū)間a,b上連續(xù)不斷且f(a)f(b)0的函數(shù)yf(x),通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn),進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法由函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程根的關(guān)系,可用二分法來求方程的近似
2、解2用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值的步驟(1)確定區(qū)間a,b,驗(yàn)證f(a)f(b)0,給定精確度;(2)求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn)c;(3)計算f(c);若f(c)0,則c就是函數(shù)的零點(diǎn);若f(a)f(c)0,則令bc(此時零點(diǎn)x0(a,c);若f(c)f(b)0,則令ac(此時零點(diǎn)x0(c,b)(4)判斷是否達(dá)到精確度:即若|ab|,則得到零點(diǎn)近似值a(或b);否則重復(fù)(2)(4)判斷(正確的打“”,錯誤的打“”)(1)二分法所求出的方程的解都是近似解()(2)函數(shù)f(x)|x|可以用二分法求零點(diǎn)()(3)用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值時,每次等分區(qū)間后,零點(diǎn)必定在右側(cè)區(qū)間內(nèi)()【解析】(1).如
3、函數(shù)x20用二分法求出的解就是精確解(2).對于函數(shù)f(x)|x|,不存在區(qū)間(a,b),使f(a)f(b)0,所以不能用二分法求其零點(diǎn)(3).函數(shù)的零點(diǎn)也可能是區(qū)間的中點(diǎn)或在左側(cè)區(qū)間內(nèi)【答案】(1)(2)(3)小組合作型二分法的概念(1)已知函數(shù)f(x)的圖象如圖311所示,其中零點(diǎn)的個數(shù)與可以用二分法求解的個數(shù)分別為()A4,4B3,4C5,4D4,3圖311(2)用二分法求方程2x3x70在區(qū)間1,3內(nèi)的根,取區(qū)間的中點(diǎn)為x02,那么下一個有根的區(qū)間是_【精彩點(diǎn)撥】(1)依據(jù)二分法的概念求解(2)依據(jù)f(1),f(2),f(3)的符號作出判斷【自主解答】(1)圖象與x軸有4個交點(diǎn),所以解
4、的個數(shù)為4;左、右函數(shù)值異號的有3個零點(diǎn),所以可以用二分法求解的個數(shù)為3.(2)設(shè)f(x)2x3x7,f(1)23720,f(3)100,f(2)30,f(x)零點(diǎn)所在的區(qū)間為(1,2),方程2x3x70有根的區(qū)間是(1,2)【答案】(1)D(2)(1,2)二分法求函數(shù)零點(diǎn)的依據(jù):其圖象在零點(diǎn)附近是連續(xù)不斷的,且該零點(diǎn)為變號零點(diǎn),因此,用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的方法僅對函數(shù)的變號零點(diǎn)適用,對函數(shù)的不變號零點(diǎn)不適用.再練一題1下列函數(shù)中能用二分法求零點(diǎn)的是() 【導(dǎo)學(xué)號:】【解析】在A和D中,函數(shù)雖有零點(diǎn),但它們均是不變號零點(diǎn),因此它們都不能用二分法求零點(diǎn)在B中,函數(shù)無零點(diǎn)在C中,函數(shù)圖象是連續(xù)
5、不斷的,且圖象與x軸有交點(diǎn),并且其零點(diǎn)為變號零點(diǎn),所以C中的函數(shù)能用二分法求其零點(diǎn)【答案】C用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值證明函數(shù)f(x)2x3x6在區(qū)間(1,2)內(nèi)有唯一一個零點(diǎn),并求出這個零點(diǎn)(精確度為0.1)【精彩點(diǎn)撥】判斷f(1)f(2)0是否成立,再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,確定零點(diǎn)的唯一性,最后用二分法求零點(diǎn)【自主解答】設(shè)函數(shù)f(x)2x3x6.f(1)10.f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)有零點(diǎn)又f(x)是增函數(shù),函數(shù)f(x)2x3x6在區(qū)間(1,2)內(nèi)有唯一的零點(diǎn)設(shè)該零點(diǎn)為x0,則x0(1,2),取x11.5,f(1.5)1.330,f(1)f(1.5)0,f(1)f(1.25)0,x0(1,1
6、.25)取x31.125,f(1.125)0.440,f(1.125)f(1.25)0,x0(1.125,1.25)取x41.187 5,f(1.187 5)0.160,f(1.187 5)f(1.25)0.x0(1.187 5,1.25)|1.251.187 5|0.062 50.1,可取x01.25,則該函數(shù)的零點(diǎn)近似解可取x01.25.用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值關(guān)鍵有兩點(diǎn):一是初始區(qū)間的選取,符合條件(包括零點(diǎn)),又要使其長度盡量?。欢沁M(jìn)行精確度的判斷,以決定是停止計算還是繼續(xù)計算.再練一題2求函數(shù)f(x)x32x23x6的正數(shù)零點(diǎn)(精確度為0.1)【解】因?yàn)閒(0)60,f(1)60
7、,所以可以取區(qū)間(1,2)作為計算的初始區(qū)間用二分法逐次計算,列表如下:中點(diǎn)端點(diǎn)或中點(diǎn)函數(shù)值取值區(qū)間f(1)60(1,2)x11.5f(1.5)2.6250(1.5,1.75)x31.625f(1.625)1.302 70(1.625,1.75)x41.687 5f(1.687 5)0.561 80(1.6875,1.75)因?yàn)閨1.751.687 5|0.062 50.1,所以函數(shù)的正數(shù)零點(diǎn)的近似值為1.687 5.探究共研型用二分法求方程的近似解探究1函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)與方程f(x)0的解有何關(guān)系?【提示】函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)0的解探究2如何把求方程的近似解轉(zhuǎn)化為求函數(shù)零
8、點(diǎn)的近似解?【提示】設(shè)方程為f(x)g(x),構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)g(x),求方程f(x)g(x)的近似解問題就可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)F(x)f(x)g(x)零點(diǎn)的近似解問題用二分法求方程2x33x30的一個正實(shí)數(shù)近似解(精確度為0.1)【精彩點(diǎn)撥】構(gòu)造函數(shù)f(x)2x33x3確定初始區(qū)間(a,b)二分法求方程的近似解驗(yàn)證|ab|0.1是否成立下結(jié)論【自主解答】令f(x)2x33x3,經(jīng)計算,f(0)30,f(0)f(1)0,所以函數(shù)f(x)在(0,1)內(nèi)存在零點(diǎn),即方程2x33x3在(0,1)內(nèi)有解取(0,1)的中點(diǎn)0.5,經(jīng)計算f(0.5)0,所以方程2x33x30在(0.5,1)內(nèi)有解如此繼
9、續(xù)下去,得到方程的正實(shí)數(shù)根所在的區(qū)間,如表:(a,b)中點(diǎn)cf(a)f(b)f(0,1)0.5f(0)0f(0.5)0(0.5,1)0.75f(0.5)0f(0.75)0(0.5,0.75)0.625f(0.5)0f(0.625)0(0.625,0.75)0.687 5f(0.625)0f(0.687 5)0由于|0.687 50.75|0.062 50.1,所以方程2x33x30的一個精確度為0.1的正實(shí)數(shù)近似解可取為0.687 5.1根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程的解的關(guān)系,求函數(shù)的零點(diǎn)與求相應(yīng)方程的解是等價的求方程f(x)0的近似解,即按照用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟求解2對于求形如f(x)
10、g(x)的方程的近似解,可以通過移項(xiàng)轉(zhuǎn)化成求形如F(x)f(x)g(x)0的方程的近似解,然后按照用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟求解再練一題3用二分法求2xx4在1,2內(nèi)的近似解(精確度為0.2)參考數(shù)據(jù):x1.1251.251.3751.51.6251.751.8752x2.182.382.592.833.083.363.67【解】令f(x)2xx4,則f(1)2140.區(qū)間區(qū)間中點(diǎn)值xnf(xn)的值及符號(1,2)x11.5f(x1)0.330(1,1.5)x21.25f(x2)0.370(1.25,1.5)x31.375f(x3)0.0350(1.375,1.5)|1.3751.5|0
11、.1250.2,2xx4在(1,2)內(nèi)的近似解可取為1.375.1觀察下列函數(shù)的圖象,判斷能用二分法求其零點(diǎn)的是()【解析】由圖象可知A中零點(diǎn)左右兩側(cè)的函數(shù)符號不同,故可用二分法求零點(diǎn)【答案】A2用二分法求函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)的唯一零點(diǎn)時,精確度為0.001,則結(jié)束計算的條件是()A|ab|0.1B|ab|0.001 D|ab|0.001【解析】據(jù)二分法的步驟知當(dāng)區(qū)間長度|ba|小于精確度時,便可結(jié)束計算【答案】B3用“二分法”求解關(guān)于x的方程ln x2x60的近似解時,能確定為解所在的初始區(qū)間的是() 【導(dǎo)學(xué)號:】A(2,3) B(0,2)C(1,2) D(0,)【解析】令函數(shù)f(x)ln x2x6,f(1)40,f(2)ln 220,f(3)ln 30,函數(shù)f(x)在(2,3)內(nèi)有零點(diǎn),方程ln x2x60的近似解在(2,3)內(nèi)故選A.【答案】A4某方程有一無理根在區(qū)間D(1,3)內(nèi),若用二分法求此根的近似值,將D等分_次后,所得近似值可精確到0.1.【解析】由10,n14,即n5.【答案】55用二分法求方程ln(2x6)23x的根的近似值時,令f(x)ln(2x6)23x,并用計算器得到下表:x1.001.251.3751.50f(x)1.079 40.191 80.
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