2018版高中數(shù)學(xué) 第三章 三角恒等變換 3.2 簡(jiǎn)單的三角恒等變換導(dǎo)學(xué)案 新人教A版必修4

1、3.2 簡(jiǎn)單的三角恒等變換學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能用二倍角公式導(dǎo)出半角公式，體會(huì)其中的三角恒等變換的基本思想方法.2.了解三角恒等變換的特點(diǎn)、變換技巧，掌握三角恒等變換的基本思想方法.3.能利用三角恒等變換對(duì)三角函數(shù)式化簡(jiǎn)、求值以及三角恒等式的證明和一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用.知識(shí)點(diǎn)一半角公式思考1我們知道倍角公式中，“倍角是相對(duì)的”，那么對(duì)余弦的二倍角公式，若用2替換，結(jié)果怎樣？答案結(jié)果是cos 2cos2112sin2cos2sin2.思考2根據(jù)上述結(jié)果，試用sin ，cos 表示sin ，cos ，tan .答案cos2，cos ，同理sin ，tan .思考3利用tan 和倍角公式又能得到tan 與sin

2、，cos 怎樣的關(guān)系？答案 tan，tan .梳理sin ，cos ，tan .知識(shí)點(diǎn)二輔助角公式思考1asin xbcos x化簡(jiǎn)的步驟有哪些？答案(1)提常數(shù)，提出得到.(2)定角度，確定一個(gè)角滿足：cos ，sin (或sin ，cos ).一般為特殊角，則得到(cos sin xsin cos x)(或(sin sin xcos cos x).(3)化簡(jiǎn)、逆用公式得asin xbcos xsin(x)(或asin xbcos xcos(x).思考2在上述化簡(jiǎn)過(guò)程中，如何確定所在的象限？答案所在的象限由a和b的符號(hào)確定.梳理輔助角公式：asin xbcos xsin(x).(其中tan

3、)類型一應(yīng)用半角公式求值例1已知sin ，3，求cos和tan .解sin ，且3，cos .由cos 2cos21，得cos2.，cos .tan 2.反思與感悟(1)若沒(méi)有給出角的范圍，則根號(hào)前的正負(fù)號(hào)需要根據(jù)條件討論.(2)由三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)式的值的步驟：先化簡(jiǎn)所求的式子；觀察已知條件與所求式子之間的聯(lián)系(從角和三角函數(shù)名稱入手).跟蹤訓(xùn)練1已知sin ，且，求sin ，cos 和tan .解sin ，cos .又，sin ，cos ，tan 4.類型二三角恒等式的證明例2求證：.證明要證原式，可以證明.左邊tan 2，右邊tan 2，左邊右邊，原式得證.反思與感悟證明三角恒等式

4、的實(shí)質(zhì)是消除等式兩邊的差異，有目的地化繁為簡(jiǎn)、左右歸一或變更論證.對(duì)恒等式的證明，應(yīng)遵循化繁為簡(jiǎn)的原則，從左邊推到右邊或從右邊推到左邊，也可以用左右歸一，變更論證等方法.常用定義法、化弦法、化切法、拆項(xiàng)拆角法、“1”的代換法、公式變形法，要熟練掌握基本公式，善于從中選擇巧妙簡(jiǎn)捷的方法.跟蹤訓(xùn)練2證明：tan .證明左邊tan 右邊，原等式成立.類型三利用輔助角公式研究函數(shù)性質(zhì)例3已知函數(shù)f(x)sin2sin2 (xR).(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)求使函數(shù)f(x)取得最大值的x的集合.解(1)f(x)sin(2x)2sin2sin21cos212sin12sin1，f(x)的最小

5、正周期為T.(2)當(dāng)f(x)取得最大值時(shí)，sin1，有2x2k，即xk (kZ)，所求x的集合為x|xk，kZ.反思與感悟(1)為了研究函數(shù)的性質(zhì)，往往要充分利用三角變換公式轉(zhuǎn)化為正弦型(余弦型)函數(shù)，這是解決問(wèn)題的前提.(2)解此類題時(shí)要充分運(yùn)用兩角和(差)、二倍角公式、輔助角轉(zhuǎn)換公式消除差異，減少角的種類和函數(shù)式的項(xiàng)數(shù)，為討論函數(shù)性質(zhì)提供保障.跟蹤訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)coscos，g(x)sin 2x.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)求函數(shù)h(x)f(x)g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值時(shí)x的集合.解(1)f(x)cos2xsin2xcos 2x，f(x)的最小正周期為

6、T.(2)h(x)f(x)g(x)cos 2xsin 2xcos，當(dāng)2x2k(kZ)時(shí)，h(x)有最大值.此時(shí)x的取值集合為.類型四三角函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用例4如圖，ABCD是一塊邊長(zhǎng)為100 m的正方形地皮，其中AST是半徑為90 m的扇形小山，其余部分都是平地.一開(kāi)發(fā)商想在平地上建一個(gè)矩形停車場(chǎng)，使矩形的一個(gè)頂點(diǎn)P在ST上，相鄰兩邊CQ、CR正好落在正方形的邊BC、CD上，求矩形停車場(chǎng)PQCR面積的最大值和最小值.解如圖連接AP，設(shè)PAB(090)，延長(zhǎng)RP交AB于M，則AM90cos ，MP90sin .所以PQMB10090cos ，PRMRMP10090sin .所以S矩形PQCR

7、PQPR(10090cos )(10090sin )10 0009 000(sin cos )8 100sin cos .令tsin cos (1t)，則sin cos .所以S矩形PQCR10 0009 000t8 100(t)2950.故當(dāng)t時(shí)，S矩形PQCR有最小值950 m2；當(dāng)t時(shí)，S矩形PQCR有最大值(14 0509 000) m2.反思與感悟此類問(wèn)題關(guān)鍵在于構(gòu)建函數(shù)模型，首先要選準(zhǔn)角，有利于表示所需線段，其次要確定角的范圍.跟蹤訓(xùn)練4某工人要從一塊圓心角為45的扇形木板中割出一塊一邊在半徑上的內(nèi)接長(zhǎng)方形桌面，若扇形的半徑長(zhǎng)為1 m，求割出的長(zhǎng)方形桌面的最大面積(如圖).解連接O

8、C，設(shè)COB，則00，cos .2.已知tan3，則cos 等于()A. B. C. D.答案B解析cos .3.函數(shù)f(x)sin2xsin xcos x在區(qū)間上的最大值是()A.1 B.2C. D.3答案C解析f(x)sin 2xsin，x，2x，sin，f(x)max1，故選C.4.函數(shù)f(x)sin xcos x，x的最小值為 .答案1解析f(x)sin，x.x，f(x)minsin1.5.化簡(jiǎn)：.(180360)解原式.因?yàn)?80360，所以90180，所以cos 0，所以原式cos .1.學(xué)習(xí)三角恒等變換，千萬(wàn)不要只顧死記硬背公式，而忽視對(duì)思想方法的理解，要學(xué)會(huì)借助前面幾個(gè)有限的公

9、式來(lái)推導(dǎo)后繼公式，立足于在公式推導(dǎo)過(guò)程中記憶公式和運(yùn)用公式.2.輔助角公式asin xbcos xsin(x)，其中滿足： 與點(diǎn)(a，b)同象限；tan (或sin ，cos ).3.研究形如f(x)asin xbcos x的函數(shù)性質(zhì)，都要運(yùn)用輔助角公式化為一個(gè)整體角的正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的形式.因此輔助角公式是三角函數(shù)中應(yīng)用較為廣泛的一個(gè)重要公式，也是高考?？嫉目键c(diǎn)之一.對(duì)一些特殊的系數(shù)a，b應(yīng)熟練掌握，例如sin xcos xsin；sin xcos x2sin等.課時(shí)作業(yè)一、選擇題1.若cos ，是第三象限角，則等于()A. B. C.2 D.2答案A解析是第三象限角，cos ，sin ，

10、.2.若tan 2tan ，則等于()A.1 B.2 C.3 D.4答案C解析3.3.已知1800，aR)，且f(x)的圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則的值為()A. B. C. D.答案A解析f(x)cos 2xsin 2xasina，依題意得 2.6.設(shè)acos 6sin 6，b2sin 13cos 13，c ，則有()A.cba B.abcC.acb D.bca答案C解析asin 30cos 6cos 30sin 6sin(306)sin 24，b2sin 13cos 13sin 26，csin 25，ysin x在0，上是單調(diào)遞增的，acb.7.已知sin ，cos ()，則

11、tan等于()A. B.5C.5或 D.或5答案B解析由sin2cos21，得()2()21，解得m0或8，當(dāng)m0時(shí)，sin 0，不符合.m0舍去，故m8，sin ，cos ，tan 5.二、填空題8.設(shè)56，cosa，則sin 的值為 .答案 解析sin2，(5，6)，sin .9.sin220sin 80sin 40的值為 .答案解析原式sin220sin(6020)sin(6020)sin220(sin 60cos 20cos 60sin 20)(sin 60cos 20cos 60sin 20)sin220sin260cos220cos260sin220sin220cos220sin2

12、20sin220cos220.10.函數(shù)f(x)sin(2x)2sin2x的最小正周期是 .答案解析f(x)sin 2xcos 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin(2x)，T.三、解答題11.已知sinsin ，0，求cos 的值.解sinsin sin cos cos sin sin sin cos .sin cos ，sin.0，cos.cos coscoscos sinsin .12.求證：tan tan .證明左邊tan tan 右邊.原等式得證.13.已知cos 2，(1)求tan 的值；(2)求的值.解(1)因?yàn)閏os 2，所以，所以，解得tan ，因?yàn)?，所以tan .(2)因?yàn)?，tan ，所以sin ，cos ，所以4.四、探究與拓展14.已知AB，那么cos2Acos2B的最大值是 ，最小值是 .答案解析AB，cos2Acos2B(1cos 2A1cos 2B)1(cos 2Acos 2B)1cos(AB)cos(AB)1coscos(AB)1cos(AB)，當(dāng)cos(AB)1時(shí)，原式取得最大值；當(dāng)cos(AB)1時(shí)，原式取得最小值.15.已知函數(shù)