2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4章 平面向量 4.1 平面向量的概念及線性運(yùn)算學(xué)案 文_第1頁
2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4章 平面向量 4.1 平面向量的概念及線性運(yùn)算學(xué)案 文_第2頁
2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4章 平面向量 4.1 平面向量的概念及線性運(yùn)算學(xué)案 文_第3頁
2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4章 平面向量 4.1 平面向量的概念及線性運(yùn)算學(xué)案 文_第4頁
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文檔簡介

1、41平面向量的概念及線性運(yùn)算 知識梳理1向量的有關(guān)概念2向量的線性運(yùn)算3共線向量定理向量a(a0)與b共線,當(dāng)且僅當(dāng)有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù),使得ba.特別提醒:(1)限定a0的目的是保證實(shí)數(shù)的存在性和唯一性(2)零向量與任何向量共線(3)平行向量與起點(diǎn)無關(guān)(4)若存在非零實(shí)數(shù),使得或或,則A,B,C三點(diǎn)共線 診斷自測1概念思辨(1)ABC中,D是BC中點(diǎn),E是AD的中點(diǎn),則()()(2)若ab,bc,則ac.()(3)向量與向量是共線向量,則A,B,C,D四點(diǎn)在一條直線上()(4)當(dāng)兩個(gè)非零向量a,b共線時(shí),一定有ba,反之成立()答案(1)(2)(3)(4) 2教材衍化(1)(必修A4P78A組T

2、5)設(shè)D為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),3,則()A. B.C. D.答案A解析().故選A.(2)(必修A4P92A組T12)已知ABCD的對角線AC和BD相交于O,且a,b,則_,_(用a,b表示)答案baab解析如圖,ba,ab.3小題熱身(1)(2017周口模擬)設(shè)a0為單位向量,若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量,則a|a|a0;若a與a0平行,則a|a|a0;若a與a0平行且|a|1,則aa0.上述命題中,假命題的個(gè)數(shù)是()A0 B1 C2 D3答案D解析向量是既有大小又有方向的量,a與|a|a0的模相等,但方向不一定相同,故是假命題;若a與a0平行,則a與a0的方向有兩種情況:一是同向,二是反向,反

3、向時(shí)a|a|a0,故也是假命題綜上所述,假命題的個(gè)數(shù)是3.故選D.(2)設(shè)e1,e2是兩個(gè)不共線的向量,且ae1e2與be2e1共線,則實(shí)數(shù)_.答案解析ae1e2與be2e1共線,存在實(shí)數(shù)t,使得bta,即e2e1t(e1e2),e2e1te1te2,t1,t, 即.題型1平面向量的基本概念 判斷下列各命題是否正確:(1)單位向量都相等;(2)|a|與|b|是否相等,與a,b的方向無關(guān);(3)若A,B,C,D是不共線的四點(diǎn),則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件;(4)若a與b共線,b與c共線,則a與c也共線;(5)兩向量a,b相等的充要條件是|a|b|且ab.根據(jù)向量的相關(guān)概念判定解(1)

4、不正確(2)正確,兩個(gè)向量的長度相等,但它們的方向不一定相同(3)正確,|且ABDC.又A,B,C,D是不共線的四點(diǎn),四邊形ABCD是平行四邊形反之,若四邊形ABCD是平行四邊形,則AB綊DC,且與方向相同因此.(4)不正確,當(dāng)b0時(shí),a與c可以不共線(5)不正確,當(dāng)ab,但方向相反時(shí),即使|a|b|,也不能得到ab.方法技巧解決向量的概念問題應(yīng)關(guān)注五點(diǎn)1相等向量具有傳遞性,非零向量的平行也具有傳遞性2共線向量即平行向量,它們均與起點(diǎn)無關(guān)相等向量不僅模相等,而且方向要相同,所以相等向量一定是平行向量,而平行向量則未必是相等向量3向量可以平移,平移后的向量與原向量是相等向量解題時(shí),不要把它與函數(shù)

5、圖象移動(dòng)混為一談4非零向量a與的關(guān)系:是a方向上的單位向量5向量與數(shù)量不同,數(shù)量可以比較大小,向量則不能,但向量的模是非負(fù)實(shí)數(shù),故可以比較大小沖關(guān)針對訓(xùn)練下列4個(gè)命題:(1)若向量a與b同向,且|a|b|,則ab;(2)由于零向量方向不確定,故零向量不能與任意向量平行;(3),為實(shí)數(shù),若ab,則a與b共線;(4)兩向量平行是這兩個(gè)向量相等的必要不充分條件其中錯(cuò)誤命題的序號為_答案(1)(2)(3)解析(1)不正確因?yàn)橄蛄渴遣煌跀?shù)量的一種量,它由兩個(gè)因素來確定,即大小與方向,所以兩個(gè)向量不能比較大小(2)不正確由零向量方向性質(zhì)可得0與任一向量平行(3)不正確當(dāng)0時(shí),a與b可能不共線(4)正確題

6、型2平面向量的線性運(yùn)算(2017長沙模擬)若O,E,F(xiàn)是不共線的任意三點(diǎn),則以下各式中成立的是()A. B.C. D.向量加、減法定義答案B解析利用向量加、減法的運(yùn)算性質(zhì)易知,選B.如圖所示,在正方形ABCD中,點(diǎn)E是DC的中點(diǎn),點(diǎn)F是BC的一個(gè)三等分點(diǎn),那么等于()A.B.C.D.綜合利用向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算答案D解析在CEF中,有.因?yàn)辄c(diǎn)E是DC的中點(diǎn),所以.因?yàn)辄c(diǎn)F為BC的一個(gè)三等分點(diǎn),所以.所以.故選D.條件探究若典例1中加入,則如何用,表示.解如圖,()方法技巧平面向量線性運(yùn)算問題的求解策略1進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí),要盡可能地將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中,充分利用相等向量、相反向量

7、,三角形的中位線及相似三角形對應(yīng)邊成比例等性質(zhì),把未知向量用已知向量表示出來2向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算,實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在線性運(yùn)算中同樣適用3用幾個(gè)基本向量表示某個(gè)向量問題的基本技巧:觀察各向量的位置;尋找相應(yīng)的三角形或多邊形;運(yùn)用法則找關(guān)系;化簡結(jié)果沖關(guān)針對訓(xùn)練1(2017濰坊模擬)在ABC中,P,Q分別是AB,BC的三等分點(diǎn),且APAB,BQBC.若a,b,則()A.ab BabC.ab Dab答案A解析()ab.故選A.2(2018昆明模擬)在ABC中,AB2,BC3,ABC60,AD為BC邊上的高,O為AD的中點(diǎn),若,則等于()A1

8、 B. C. D.答案D解析,2,即.故.故選D.題型3共線向量定理及其應(yīng)用角度1解決三點(diǎn)共線問題 已知O,A,B是不共線的三點(diǎn),且mn(m,nR)(1)若mn1,求證:A,P,B三點(diǎn)共線;(2)若A,P,B三點(diǎn)共線,求證:mn1.本題用轉(zhuǎn)化法、向量問題實(shí)數(shù)化證明(1)若mn1,則m(1m)m(),m(),即m,與共線又B與B有公共點(diǎn)B,A,P,B三點(diǎn)共線(2)若A,P,B三點(diǎn)共線,存在實(shí)數(shù),使,()又mn.故有m(n1),即(m)(n1)0.O,A,B不共線,不共線,mn1.角度2利用共線求參數(shù)的取值(2018南京模擬)已知如圖,平行四邊形ABCD中,E,F(xiàn)分別是BC,CD的中點(diǎn),連接AE,

9、BF相交于P,連接DP,并延長交AB的延長線于點(diǎn)G,若x,y,z,則x_,y_,z_.本題需作輔助線答案解析如圖,過E作EQ平行于AB,交BF于點(diǎn)Q,因?yàn)镋為BC的中點(diǎn),所以EQ平行于CD,且EQCF,又因?yàn)辄c(diǎn)F為CD的中點(diǎn),所以,所以,所以x.因?yàn)辄c(diǎn)Q為FB的中點(diǎn),所以,所以y.因?yàn)椋?,所以,即z.所以x,y,z.角度3共線定理與三角形的面積(2017沈陽一模)在ABC中,O為其內(nèi)部一點(diǎn),且滿足30,則AOB和AOC的面積比是()A34 B32 C11 D13本題采用并項(xiàng)法答案D解析根據(jù)題意,如圖,在ABC中,M為AC的中點(diǎn),則2,又由30,則有23;從而可得B,O,M三點(diǎn)共線,且2OM

10、3BO;由2OM3BO可得,SAOBSBOCSABC,又由SAOBSBOC,則SAOBSABC,則.故選D.方法技巧1證明向量共線,對于向量a,b(b0),若存在實(shí)數(shù),使ab,則a與b共線見角度1典例2證明三點(diǎn)共線,若存在實(shí)數(shù),使,則A,B,C三點(diǎn)共線見角度1典例3利用共線定理解決幾何問題要注意兩直線相交必然存在兩組三點(diǎn)共線,通過列方程組往往能把問題解決沖關(guān)針對訓(xùn)練1已知點(diǎn)D為ABC所在平面上一點(diǎn),且滿足AAC,若ACD的面積為1,則ABD的面積為()A1 B2 C3 D4答案D解析由AAC,得5A4A,所以AA4(AA),即B4D.所以點(diǎn)D在邊BC上,且|B|4|D|,所以SABD4SACD

11、4.2(2017大觀區(qū)校級期末)設(shè)D為ABC的邊AB的中點(diǎn),P為ABC內(nèi)一點(diǎn),且滿足,則()A. B. C. D.答案C解析如圖,DB,ADPABC,D是AB的中點(diǎn),ADAB.故選C.1(2017郴州三模)在ABC中,M為邊BC上任意一點(diǎn),N為AM中點(diǎn),則的值為()A. B. C. D1答案A解析設(shè)t,則()t(),.故選A.2(2018淮南模擬)在ABC中,點(diǎn)D在線段BC的延長線上,且3,點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C、D不重合),若x(1x),則x的取值范圍是()A. B.C. D.答案D解析設(shè)Cy,則yy()y(1y),3,點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C、D不重合),y,x(1x),x.故選D.3(

12、2018湖北模擬)若M為ABC內(nèi)一點(diǎn),則ABM和ABC的面積之比為()A. B. C. D.答案A解析設(shè),以AD,AE為鄰邊作平行四邊形ADME,延長EM交BC與F,連接BM.則EFAB,.故選A.4(2014全國卷)已知A,B,C為圓O上的三點(diǎn),若(),則與的夾角為_答案90解析由可知O為BC的中點(diǎn),即BC為圓O的直徑,又因?yàn)橹睆剿鶎Φ膱A周角為直角,所以BAC90,所以與的夾角為90. 基礎(chǔ)送分 提速狂刷練一、選擇題1(2018武漢調(diào)研)如圖所示的方格紙中有定點(diǎn)O,P,Q,E,F(xiàn),G,H,則()A.B.C.D.答案D解析在方格紙上作出,如圖所示,則容易看出.故選D.2已知A,B,C三點(diǎn)不共線

13、,且點(diǎn)O滿足0,則下列結(jié)論正確的是()A. B.C. D.答案D解析0,O為ABC的重心,()()()(2).故選D.3(2017衡水中學(xué)三調(diào))在ABC中,P是直線BN上的一點(diǎn),且滿足m,則實(shí)數(shù)m的值為()A4 B1 C1 D4答案B解析根據(jù)題意設(shè)n(nR),則nn()n(1n),又m,解得故選B.4(2018石家莊一模)A,B,C是圓O上不同的三點(diǎn),線段CO與線段AB交于點(diǎn)D(點(diǎn)O與點(diǎn)D不重合),若(,R),則的取值范圍是()A(0,1) B(1,) C(1, D(1,0)答案B解析設(shè)m,則m1,因?yàn)?,所以m,即,又知A,B,D三點(diǎn)共線,所以1,即m,所以1.故選B.5(2018廣東模擬)已

14、知點(diǎn)O,A,B不在同一條直線上,點(diǎn)P為該平面上一點(diǎn),且,則()A點(diǎn)P在線段AB上B點(diǎn)P在線段AB的反向延長線上C點(diǎn)P在線段AB的延長線上D點(diǎn)P不在直線AB上答案B解析(),即,所以點(diǎn)P在線段AB的反向延長線上故選B.6(2017廣東七校聯(lián)考)已知向量i,j不共線,且imj,nij,m1,若A,B,D三點(diǎn)共線,則實(shí)數(shù)m,n應(yīng)滿足的條件是()Amn1 Bmn1Cmn1 Dmn1答案C解析因?yàn)锳,B,D三點(diǎn)共線,所以,存在非零實(shí)數(shù),使得,即imj(nij),所以(1n)i(m)j0,又因?yàn)閕與j不共線,所以則mn1.故選C.7下列命題中是真命題的是()對任意兩向量a,b,均有:|a|b|a|b|;對

15、任意兩向量a,b,ab與ba是相反向量;在ABC中,0;在四邊形ABCD中,()()0;.A B C D答案D解析假命題當(dāng)b0時(shí),|a|b|a|b|.不成立真命題(ab)(ba)a(b)b(a)a(a)b(b)(aa)(bb)0,ab與ba是相反向量成立真命題0,成立假命題,()()0.該命題不成立假命題,該命題不成立故選D.8(2018泉州模擬)已知D,E,F(xiàn)分別為ABC的邊BC,CA,AB的中點(diǎn),且a,b,給出下列命題:ab;ab;ab;0.其中正確的是()A B C D答案D解析由a,b,則ab.ab,()(ab)ab.所以baabba0,所以命題正確故選D.9(2018蘭州模擬)若點(diǎn)M

16、是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),且滿足53,則ABM與ABC的面積比為()A. B. C. D.答案C解析如圖,連接AM,BM,延長AC到D使AD3AC,延長AM到E使AE5AM,因?yàn)?3,所以53.連接BE,則四邊形ABED是平行四邊形(向量AB和向量DE平行且模相等)由于3,所以SABCSABD.因?yàn)?,所以SAMBSABE,在平行四邊形ABED中,SABDSABESABED,故.故選C.10若O為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),且230,則SOBCSAOCSABO()A321 B213 C132 D123答案D解析如圖所示,延長OB到D,使得BDOB,延長OC到E,使得CE2OC.連接AD,DE,AE.2

17、30,點(diǎn)O為ADE的重心SOBCSODESADESADE;SAOCSOAESADESADE;SABOSOADSADESADE.SOBCSAOCSABO123.故選D.二、填空題11(2018廣西模擬)如圖所示,在ABC中,P是BN上的一點(diǎn),若m,則實(shí)數(shù)m的值為_答案解析注意到N,P,B三點(diǎn)共線,因此有mm,從而m1m.12(2017泉州四校聯(lián)考)設(shè)e1,e2是不共線的向量,若e1e2,2e1e2,3e1e2,且A,B,D三點(diǎn)共線,則的值為_答案2解析2e1e2,3e1e2,(3e1e2)(2e1e2)e12e2,又A,B,D三點(diǎn)共線,則與共線,存在R使得,即e1e2(e12e2),由e1,e2

18、是不共線的向量,得解得2.13(2018河北衡水中學(xué)三調(diào))如圖,已知平面內(nèi)有三個(gè)向量,其中與的夾角為120,與的夾角為30,且|1,|2.若(,R),則的值為_答案6解析如圖,作平行四邊形OB1CA1,則,因?yàn)榕c的夾角為120,與的夾角為30,所以B1OC90.在RtOB1C中,OCB130,|OC|2,所以|OB1|2,|B1C|4,所以|OA1|B1C|4,所以42,所以4,2,所以6.14(2018沈陽模擬)如圖所示,在ABC中,點(diǎn)O是BC的中點(diǎn),過點(diǎn)O的直線分別交直線AB,AC于不同的兩點(diǎn)M,N,若m,n,則mn的值為_答案2解析連接AO,O是BC的中點(diǎn),()又m,n,.M,O,N三點(diǎn)共線,1.mn2.三、解答題15設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線(1)若ab,2a8b,3(ab)求證:A,B,D三點(diǎn)共線;(2)試確定實(shí)數(shù)k,使kab和akb共線解(1)證明:ab,2a8b,3(ab),2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5

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