2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4章 平面向量 4.1 平面向量的概念及線性運(yùn)算學(xué)案 文

1、41平面向量的概念及線性運(yùn)算 知識梳理1向量的有關(guān)概念2向量的線性運(yùn)算3共線向量定理向量a(a0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)，使得ba.特別提醒：(1)限定a0的目的是保證實(shí)數(shù)的存在性和唯一性(2)零向量與任何向量共線(3)平行向量與起點(diǎn)無關(guān)(4)若存在非零實(shí)數(shù)，使得或或，則A，B，C三點(diǎn)共線 診斷自測1概念思辨(1)ABC中，D是BC中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，則()()(2)若ab，bc，則ac.()(3)向量與向量是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上()(4)當(dāng)兩個(gè)非零向量a，b共線時(shí)，一定有ba，反之成立()答案(1)(2)(3)(4) 2教材衍化(1)(必修A4P78A組T

2、5)設(shè)D為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，3，則()A. B.C. D.答案A解析().故選A.(2)(必修A4P92A組T12)已知ABCD的對角線AC和BD相交于O，且a，b，則_，_(用a，b表示)答案baab解析如圖，ba，ab.3小題熱身(1)(2017周口模擬)設(shè)a0為單位向量，若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則a|a|a0；若a與a0平行，則a|a|a0；若a與a0平行且|a|1，則aa0.上述命題中，假命題的個(gè)數(shù)是()A0 B1 C2 D3答案D解析向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相等，但方向不一定相同，故是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反

3、向時(shí)a|a|a0，故也是假命題綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是3.故選D.(2)設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，且ae1e2與be2e1共線，則實(shí)數(shù)_.答案解析ae1e2與be2e1共線，存在實(shí)數(shù)t，使得bta，即e2e1t(e1e2)，e2e1te1te2，t1，t， 即.題型1平面向量的基本概念 判斷下列各命題是否正確：(1)單位向量都相等；(2)|a|與|b|是否相等，與a，b的方向無關(guān)；(3)若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；(4)若a與b共線，b與c共線，則a與c也共線；(5)兩向量a，b相等的充要條件是|a|b|且ab.根據(jù)向量的相關(guān)概念判定解(1)

4、不正確(2)正確，兩個(gè)向量的長度相等，但它們的方向不一定相同(3)正確，|且ABDC.又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，四邊形ABCD是平行四邊形反之，若四邊形ABCD是平行四邊形，則AB綊DC，且與方向相同因此.(4)不正確，當(dāng)b0時(shí)，a與c可以不共線(5)不正確，當(dāng)ab，但方向相反時(shí)，即使|a|b|，也不能得到ab.方法技巧解決向量的概念問題應(yīng)關(guān)注五點(diǎn)1相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性2共線向量即平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān)相等向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量則未必是相等向量3向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量解題時(shí)，不要把它與函數(shù)

5、圖象移動(dòng)混為一談4非零向量a與的關(guān)系：是a方向上的單位向量5向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負(fù)實(shí)數(shù)，故可以比較大小沖關(guān)針對訓(xùn)練下列4個(gè)命題：(1)若向量a與b同向，且|a|b|，則ab；(2)由于零向量方向不確定，故零向量不能與任意向量平行；(3)，為實(shí)數(shù)，若ab，則a與b共線；(4)兩向量平行是這兩個(gè)向量相等的必要不充分條件其中錯(cuò)誤命題的序號為_答案(1)(2)(3)解析(1)不正確因?yàn)橄蛄渴遣煌跀?shù)量的一種量，它由兩個(gè)因素來確定，即大小與方向，所以兩個(gè)向量不能比較大小(2)不正確由零向量方向性質(zhì)可得0與任一向量平行(3)不正確當(dāng)0時(shí)，a與b可能不共線(4)正確題

6、型2平面向量的線性運(yùn)算(2017長沙模擬)若O，E，F(xiàn)是不共線的任意三點(diǎn)，則以下各式中成立的是()A. B.C. D.向量加、減法定義答案B解析利用向量加、減法的運(yùn)算性質(zhì)易知，選B.如圖所示，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的一個(gè)三等分點(diǎn)，那么等于()A.B.C.D.綜合利用向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算答案D解析在CEF中，有.因?yàn)辄c(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，所以.因?yàn)辄c(diǎn)F為BC的一個(gè)三等分點(diǎn)，所以.所以.故選D.條件探究若典例1中加入，則如何用，表示.解如圖，()方法技巧平面向量線性運(yùn)算問題的求解策略1進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí)，要盡可能地將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量

7、，三角形的中位線及相似三角形對應(yīng)邊成比例等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來2向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在線性運(yùn)算中同樣適用3用幾個(gè)基本向量表示某個(gè)向量問題的基本技巧：觀察各向量的位置；尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；運(yùn)用法則找關(guān)系；化簡結(jié)果沖關(guān)針對訓(xùn)練1(2017濰坊模擬)在ABC中，P，Q分別是AB，BC的三等分點(diǎn)，且APAB，BQBC.若a，b，則()A.ab BabC.ab Dab答案A解析()ab.故選A.2(2018昆明模擬)在ABC中，AB2，BC3，ABC60，AD為BC邊上的高，O為AD的中點(diǎn)，若，則等于()A1

8、 B. C. D.答案D解析，2，即.故.故選D.題型3共線向量定理及其應(yīng)用角度1解決三點(diǎn)共線問題 已知O，A，B是不共線的三點(diǎn)，且mn(m，nR)(1)若mn1，求證：A，P，B三點(diǎn)共線；(2)若A，P，B三點(diǎn)共線，求證：mn1.本題用轉(zhuǎn)化法、向量問題實(shí)數(shù)化證明(1)若mn1，則m(1m)m()，m()，即m，與共線又B與B有公共點(diǎn)B，A，P，B三點(diǎn)共線(2)若A，P，B三點(diǎn)共線，存在實(shí)數(shù)，使，()又mn.故有m(n1)，即(m)(n1)0.O，A，B不共線，不共線，mn1.角度2利用共線求參數(shù)的取值(2018南京模擬)已知如圖，平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，連接AE，

9、BF相交于P，連接DP，并延長交AB的延長線于點(diǎn)G，若x，y，z，則x_，y_，z_.本題需作輔助線答案解析如圖，過E作EQ平行于AB，交BF于點(diǎn)Q，因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以EQ平行于CD，且EQCF，又因?yàn)辄c(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，所以，所以，所以x.因?yàn)辄c(diǎn)Q為FB的中點(diǎn)，所以，所以y.因?yàn)椋?，所以，即z.所以x，y，z.角度3共線定理與三角形的面積(2017沈陽一模)在ABC中，O為其內(nèi)部一點(diǎn)，且滿足30，則AOB和AOC的面積比是()A34 B32 C11 D13本題采用并項(xiàng)法答案D解析根據(jù)題意，如圖，在ABC中，M為AC的中點(diǎn)，則2，又由30，則有23；從而可得B，O，M三點(diǎn)共線，且2OM

10、3BO；由2OM3BO可得，SAOBSBOCSABC，又由SAOBSBOC，則SAOBSABC，則.故選D.方法技巧1證明向量共線，對于向量a，b(b0)，若存在實(shí)數(shù)，使ab，則a與b共線見角度1典例2證明三點(diǎn)共線，若存在實(shí)數(shù)，使，則A，B，C三點(diǎn)共線見角度1典例3利用共線定理解決幾何問題要注意兩直線相交必然存在兩組三點(diǎn)共線，通過列方程組往往能把問題解決沖關(guān)針對訓(xùn)練1已知點(diǎn)D為ABC所在平面上一點(diǎn)，且滿足AAC，若ACD的面積為1，則ABD的面積為()A1 B2 C3 D4答案D解析由AAC，得5A4A，所以AA4(AA)，即B4D.所以點(diǎn)D在邊BC上，且|B|4|D|，所以SABD4SACD

11、4.2(2017大觀區(qū)校級期末)設(shè)D為ABC的邊AB的中點(diǎn)，P為ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則()A. B. C. D.答案C解析如圖，DB，ADPABC，D是AB的中點(diǎn)，ADAB.故選C.1(2017郴州三模)在ABC中，M為邊BC上任意一點(diǎn)，N為AM中點(diǎn)，則的值為()A. B. C. D1答案A解析設(shè)t，則()t()，.故選A.2(2018淮南模擬)在ABC中，點(diǎn)D在線段BC的延長線上，且3，點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C、D不重合)，若x(1x)，則x的取值范圍是()A. B.C. D.答案D解析設(shè)Cy，則yy()y(1y)，3，點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C、D不重合)，y，x(1x)，x.故選D.3(

12、2018湖北模擬)若M為ABC內(nèi)一點(diǎn)，則ABM和ABC的面積之比為()A. B. C. D.答案A解析設(shè)，以AD，AE為鄰邊作平行四邊形ADME，延長EM交BC與F，連接BM.則EFAB，.故選A.4(2014全國卷)已知A，B，C為圓O上的三點(diǎn)，若()，則與的夾角為_答案90解析由可知O為BC的中點(diǎn)，即BC為圓O的直徑，又因?yàn)橹睆剿鶎Φ膱A周角為直角，所以BAC90，所以與的夾角為90. 基礎(chǔ)送分 提速狂刷練一、選擇題1(2018武漢調(diào)研)如圖所示的方格紙中有定點(diǎn)O，P，Q，E，F(xiàn)，G，H，則()A.B.C.D.答案D解析在方格紙上作出，如圖所示，則容易看出.故選D.2已知A，B，C三點(diǎn)不共線

13、，且點(diǎn)O滿足0，則下列結(jié)論正確的是()A. B.C. D.答案D解析0，O為ABC的重心，()()()(2).故選D.3(2017衡水中學(xué)三調(diào))在ABC中，P是直線BN上的一點(diǎn)，且滿足m，則實(shí)數(shù)m的值為()A4 B1 C1 D4答案B解析根據(jù)題意設(shè)n(nR)，則nn()n(1n)，又m，解得故選B.4(2018石家莊一模)A，B，C是圓O上不同的三點(diǎn)，線段CO與線段AB交于點(diǎn)D(點(diǎn)O與點(diǎn)D不重合)，若(，R)，則的取值范圍是()A(0,1) B(1，) C(1， D(1,0)答案B解析設(shè)m，則m1，因?yàn)?，所以m，即，又知A，B，D三點(diǎn)共線，所以1，即m，所以1.故選B.5(2018廣東模擬)已

14、知點(diǎn)O，A，B不在同一條直線上，點(diǎn)P為該平面上一點(diǎn)，且，則()A點(diǎn)P在線段AB上B點(diǎn)P在線段AB的反向延長線上C點(diǎn)P在線段AB的延長線上D點(diǎn)P不在直線AB上答案B解析()，即，所以點(diǎn)P在線段AB的反向延長線上故選B.6(2017廣東七校聯(lián)考)已知向量i，j不共線，且imj，nij，m1，若A，B，D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)m，n應(yīng)滿足的條件是()Amn1 Bmn1Cmn1 Dmn1答案C解析因?yàn)锳，B，D三點(diǎn)共線，所以，存在非零實(shí)數(shù)，使得，即imj(nij)，所以(1n)i(m)j0，又因?yàn)閕與j不共線，所以則mn1.故選C.7下列命題中是真命題的是()對任意兩向量a，b，均有：|a|b|a|b|；對

15、任意兩向量a，b，ab與ba是相反向量；在ABC中，0；在四邊形ABCD中，()()0；.A B C D答案D解析假命題當(dāng)b0時(shí)，|a|b|a|b|.不成立真命題(ab)(ba)a(b)b(a)a(a)b(b)(aa)(bb)0，ab與ba是相反向量成立真命題0，成立假命題，()()0.該命題不成立假命題，該命題不成立故選D.8(2018泉州模擬)已知D，E，F(xiàn)分別為ABC的邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，且a，b，給出下列命題：ab；ab；ab；0.其中正確的是()A B C D答案D解析由a，b，則ab.ab，()(ab)ab.所以baabba0，所以命題正確故選D.9(2018蘭州模擬)若點(diǎn)M

16、是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足53，則ABM與ABC的面積比為()A. B. C. D.答案C解析如圖，連接AM，BM，延長AC到D使AD3AC，延長AM到E使AE5AM，因?yàn)?3，所以53.連接BE，則四邊形ABED是平行四邊形(向量AB和向量DE平行且模相等)由于3，所以SABCSABD.因?yàn)?，所以SAMBSABE，在平行四邊形ABED中，SABDSABESABED，故.故選C.10若O為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且230，則SOBCSAOCSABO()A321 B213 C132 D123答案D解析如圖所示，延長OB到D，使得BDOB，延長OC到E，使得CE2OC.連接AD，DE，AE.2

17、30，點(diǎn)O為ADE的重心SOBCSODESADESADE；SAOCSOAESADESADE；SABOSOADSADESADE.SOBCSAOCSABO123.故選D.二、填空題11(2018廣西模擬)如圖所示，在ABC中，P是BN上的一點(diǎn)，若m，則實(shí)數(shù)m的值為_答案解析注意到N，P，B三點(diǎn)共線，因此有mm，從而m1m.12(2017泉州四校聯(lián)考)設(shè)e1，e2是不共線的向量，若e1e2，2e1e2，3e1e2，且A，B，D三點(diǎn)共線，則的值為_答案2解析2e1e2，3e1e2，(3e1e2)(2e1e2)e12e2，又A，B，D三點(diǎn)共線，則與共線，存在R使得，即e1e2(e12e2)，由e1，e2

18、是不共線的向量，得解得2.13(2018河北衡水中學(xué)三調(diào))如圖，已知平面內(nèi)有三個(gè)向量，其中與的夾角為120，與的夾角為30，且|1，|2.若(，R)，則的值為_答案6解析如圖，作平行四邊形OB1CA1，則，因?yàn)榕c的夾角為120，與的夾角為30，所以B1OC90.在RtOB1C中，OCB130，|OC|2，所以|OB1|2，|B1C|4，所以|OA1|B1C|4，所以42，所以4，2，所以6.14(2018沈陽模擬)如圖所示，在ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N，若m，n，則mn的值為_答案2解析連接AO，O是BC的中點(diǎn)，()又m，n，.M，O，N三點(diǎn)共線，1.mn2.三、解答題15設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線(1)若ab，2a8b，3(ab)求證：A，B，D三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使kab和akb共線解(1)證明：ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5