2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 第50講 橢圓學(xué)案

1、第50講橢圓考綱要求考情分析命題趨勢(shì)1.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)2了解圓錐曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用，了解橢圓的實(shí)際背景3理解數(shù)形結(jié)合的思想.2017全國(guó)卷，102017浙江卷，22016江蘇卷，101.求解與橢圓定義有關(guān)的問(wèn)題，利用橢圓的定義求軌跡方程，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，確定橢圓焦點(diǎn)的位置2求解與橢圓的范圍、對(duì)稱性有關(guān)的問(wèn)題；求解橢圓的離心率，求解與橢圓的焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問(wèn)題.分值：512分1橢圓的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)(大于)的點(diǎn)的軌跡叫做_橢圓_這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的_焦點(diǎn)_，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的_焦距_集合PM|2a，2c，其中a0，c0，且a，

2、c為常數(shù)(1)若_ac_，則集合P為橢圓；(2)若_ac_，則集合P為線段；(3)若_ac_，則集合P為空集2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(ab0)1(ab0)圖形性質(zhì)范圍_a_x_a_，_b_y_b_b_x_b_，_a_y_a_對(duì)稱性對(duì)稱軸：_坐標(biāo)軸_，對(duì)稱中心：_(0,0)_頂點(diǎn)A1_(a,0)_，A2_(a,0)_，B1_(0，b)_，B2_(0，b)_A1_(0，a)_，A2_(0，a)_，B1_(b,0)_，B2_(b,0)_軸長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為_(kāi)2a_，短軸B1B2的長(zhǎng)為_(kāi)2b_焦距_2c_離心率e_，e_(0,1)_a，b，c的關(guān)系c2_a2b2_1思維辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”

3、或“”)(1)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓()(2)橢圓上一點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成PF1 F2的周長(zhǎng)為2a2c(其中a為橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，c為橢圓的半焦距)()(3)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓()(4)橢圓既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形()解析 (1)錯(cuò)誤由橢圓的定義知，當(dāng)該常數(shù)大于時(shí)，其軌跡才是橢圓，而常數(shù)等于時(shí)，其軌跡為線段F1F2，常數(shù)小于時(shí)，不存在圖形(2)正確由橢圓的定義得，2a，又2c，所以2a2c.(3)錯(cuò)誤因?yàn)閑，所以e越大，則越小，橢圓就越扁(4)正確由橢圓的對(duì)稱性知，其關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱也關(guān)于兩坐標(biāo)軸對(duì)稱2(2017浙江卷)橢圓1的離心

4、率是(B)ABCD解析 根據(jù)題意知，a3，b2，則c，橢圓的離心率e，故選B3設(shè)P是橢圓1上的點(diǎn)，若F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則(C)A4B8C6D18解析 依定義知2a6.4若方程1表示橢圓，則m的范圍是(C)A(3,5)B(5,3)C(3,1)(1,5)D(5,1)(1,3)解析 由方程表示橢圓知解得3m5且m1.5已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且滿足2，PF1F230，則橢圓的離心率為_(kāi).解析 在PF1F2中，由正弦定理得sin PF2F11，即PF2F1，設(shè)1，則2，所以離心率e.一橢圓的定義橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個(gè)方面：一是確認(rèn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)有關(guān)的軌跡是否為橢圓

5、；二是當(dāng)P在橢圓上時(shí)，與橢圓的兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2組成的三角形通常稱為“焦點(diǎn)三角形”，利用定義可求其周長(zhǎng)，利用定義和余弦定理可求，通過(guò)整體代入可求其面積等【例1】 (1)如圖所示，一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，M是圓周上一動(dòng)點(diǎn)，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是(A)A橢圓B雙曲線C拋物線D圓(2)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：1(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)，且.若PF1F2的面積為9，則b_3_.解析 (1)由折疊過(guò)程可知點(diǎn)M與點(diǎn)F關(guān)于直線CD對(duì)稱，故，所以r，由橢圓的定義可知，P點(diǎn)的軌跡為橢圓(2)設(shè)r1，r2，則2r1r2(r

6、1r2)2(rr)4a24c24b2.又SPF1F2r1r2b29，b3.二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法，具體過(guò)程是先定形，再定量即首先確定焦點(diǎn)所在位置，然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組如果焦點(diǎn)位置不確定，要考慮是否有兩解，有時(shí)為了解題方便，也可把橢圓方程設(shè)為mx2ny21(m0，n0，mn)的形式【例2】 求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)過(guò)點(diǎn)(，)，且與橢圓1有相同的焦點(diǎn)；(2)已知點(diǎn)P在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上，且P到兩焦點(diǎn)的距離分別為5,3，過(guò)P且與長(zhǎng)軸垂直的直線恰過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)；(3)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，(，)解析 (1)橢圓1的焦點(diǎn)為(0，

7、4)，(0,4)，即c4.由橢圓的定義知，2a.解得a2.由c2a2b2可得b24.所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)，焦距分別為2a,2b,2c，由已知條件得解得a4，c2，b212.故橢圓方程為1或1.(3)設(shè)橢圓方程為mx2ny21(m，n0，mn)，由解得m，n.橢圓方程為1.三橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓離心率的方法(1)直接求出a，c，從而求解e，通過(guò)已知條件列方程組，解出a，c的值(2)構(gòu)造a，c的齊次式，解出e，由已知條件得出a，c的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的一元二次方程求解(3)通過(guò)特殊值或特殊位置，求出離心率【例3】 (1)(2017全國(guó)卷)已

8、知橢圓C：1(ab0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bxay2ab0相切，則C的離心率為(A)ABCD(2)已知F1(c,0)，F(xiàn)2 (c,0)為橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P在橢圓1上，且滿足c2，則此橢圓離心率的取值范圍是(C)ABCD解析 (1)以線段A1A2為直徑的圓的方程為x2y2a2，由原點(diǎn)到直線bxay2ab0的距離a，得a23b2，所以C的離心率e，故選A(2)由橢圓的定義得2a，平方得2224a2.又c2，cos F1PF2c2.由余弦定理得222cos F1PF224c2.由，得cos F1PF2.又0cos F1PF21，e.2a2，2a23c2a2

9、，a23c2，e，故橢圓離心率的取值范圍是，故選C四直線與橢圓的綜合問(wèn)題直線與橢圓綜合問(wèn)題的常見(jiàn)題型及解題策略(1)求直線方程可依題設(shè)條件，尋找確定該直線的兩個(gè)條件，進(jìn)而得到直線方程(2)求面積先確定圖形的形狀，再利用條件尋找確定面積的條件，進(jìn)而得出面積的值(3)判斷圖形的形狀可依據(jù)平行、垂直的條件判斷邊角關(guān)系，再依據(jù)距離公式得出邊之間的關(guān)系(4)弦長(zhǎng)問(wèn)題利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式求解(5)中點(diǎn)弦或弦的中點(diǎn)一般利用點(diǎn)差法求解，注意判斷直線與橢圓是否相交【例4】 已知點(diǎn)A(0，2)，橢圓E：1(ab0)的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求E的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)

10、A的動(dòng)直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程解析 (1)設(shè)F(c,0)，由條件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故E的方程為y21.(2)當(dāng)lx軸時(shí)不合題意，故設(shè)l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)將ykx2代入y21，得(14k2)x216kx120.當(dāng)16(4k23)0，即k2時(shí)，x1,2，從而.又點(diǎn)O到直線PQ的距離d，所以O(shè)PQ的面積SOPQd，設(shè)t，則t0，SOPQ，因?yàn)閠4，當(dāng)且僅當(dāng)t2，即k時(shí)等號(hào)成立，且滿足0，所以當(dāng)OPQ面積最大時(shí)，l的方程為yx2或yx2.1已知橢圓mx24y21的離心率為，則實(shí)數(shù)m(D)A2B2或C2或6D2或8解析

11、 顯然m0且m4，當(dāng)0m4時(shí)，橢圓長(zhǎng)軸在x軸上，則，解得m2；當(dāng)m4時(shí)，橢圓長(zhǎng)軸在y軸上，則，解得m8.2橢圓C：1(ab0)的右焦點(diǎn)為F，雙曲線x21的一條漸近線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且AFBF，則橢圓C的離心率為_(kāi)1_.解析 不妨取雙曲線x21的一條漸近線的方程為yx，則AOF60，記橢圓C的左焦點(diǎn)為F1(c,0)，依題意得c，所以四邊形AFBF1為矩形，AFO是正三角形，所以c，c，則橢圓C的離心率為e1.3(2018甘肅蘭州模擬)已知橢圓C：1(ab0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(2,0)，離心率為.直線yk(x1)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N.(1)求橢圓C的方程；(2)當(dāng)AMN的面積為時(shí)，求

12、k的值解析 (1)由題意得解得b，所以橢圓C的方程為1.(2)由得(12k2)x24k2x2k240.設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則y1k(x11)，y2k(x21)，x1x2，x1x2，所以|MN|.又因?yàn)辄c(diǎn)A(2,0)到直線yk(x1)的距離d，所以AMN的面積為S|MN|d，由，解得k1.4(2018湖北武漢起點(diǎn)調(diào)研)如圖，已知橢圓：1左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別作兩條平行直線AB，CD交橢圓于點(diǎn)A，B，C，D.(1)求證：|AB|CD|；(2)求四邊形ABCD面積的最大值解析 (1)設(shè)直線AB的方程為：xmy1，A(x1，y1)，B(x2，y

13、2)，將xmy1代入3x24y212中得(3m24)y26my90，設(shè)C(x3，y3)，D(x4，y4)，ABCD，CD的方程為xmy1，代入3x24y212中得(3m24)y26my90，由知|y1y2|y3y4|，|AB|y1y2|，|CD|y3y4|，|AB|CD|.(2)由(1)知四邊形ABCD是平行四邊形，SABCD4SAOB，SAOB|OF1|y1y2|，SABCD2|y1y2|22424，設(shè)t1m2，f(t)9t6(t1)，則f(t)90，f(t)在1，)上遞增，f(t)minf(1)16，故m0時(shí)，四邊形ABCD面積取最大值6.易錯(cuò)點(diǎn)忽略橢圓中x，y的取值范圍錯(cuò)因分析：忽略橢圓

14、1(ab0)上的點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)滿足axa，byb這一條件可能致錯(cuò)【例1】 設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率e，已知點(diǎn)P到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是，求這個(gè)橢圓的方程解析 依題意，可設(shè)橢圓方程為1(ab0)，則e21，所以，即a2b.設(shè)橢圓上的點(diǎn)(x，y)到點(diǎn)P的距離為d，則d2x22a2y23y324b23.由于點(diǎn)(x，y)在橢圓上，所以有byb，若b，則當(dāng)yb時(shí)，d2有最大值，于是()22，從而解得b，與b矛盾，所以必有b，此時(shí)當(dāng)y時(shí)，d2有最大值，所以4b23()2，解得b21，a24，于是所求橢圓的方程為y21.【跟蹤訓(xùn)練1】 (2018湖北黃岡高三調(diào)考)若點(diǎn)O和點(diǎn)F分

15、別為橢圓1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為(C)A2B3C6D8解析 由橢圓1，可得點(diǎn)F(1,0)，設(shè)P(x，y)，2x2，則(x，y)(x1，y)x2xy2x2x3x2x3(x2)22，當(dāng)且僅當(dāng)x2時(shí)，取得最大值6.課時(shí)達(dá)標(biāo)第50講解密考綱對(duì)橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)的考查，以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)一、選擇題1如果x2ky22表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是(A)A(0,1)B(0,2)C(1，)D(0，)解析 x2ky22轉(zhuǎn)化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得1，x2ky22表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，2，解得0kb0)的左、右焦點(diǎn)，P為直線x上一點(diǎn)，F(xiàn)2PF1是底角

16、為30的等腰三角形，則E的離心率為(C)ABCD解析 由題意可得|PF2|F1F2|，所以22c，所以3a4c，所以e.4(2018福建廈門模擬)橢圓E：1(a0)的右焦點(diǎn)為F，直線yxm與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，若FAB的周長(zhǎng)的最大值是8，則m(B)A0B1CD2解析 設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F，則FAB的周長(zhǎng)為|AF|BF|AB|AF|BF|AF|BF|4a8，所以a2，當(dāng)直線AB過(guò)焦點(diǎn)F(1,0)時(shí)，F(xiàn)AB的周長(zhǎng)取得最大值，所以01m，所以m1.故選B5已知橢圓C：1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，橢圓C上點(diǎn)A滿足AF2F1F2.若點(diǎn)P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為(B)ABCD解析 設(shè)向量，的夾角

17、為.由條件知|AF2|，則|cos ，于是要取得最大值，只需在向量上的投影值最大，易知此時(shí)點(diǎn)P在橢圓短軸的上頂點(diǎn)，所以|cos .故選B6從橢圓1(ab0)上一點(diǎn)P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點(diǎn)F1，A是橢圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，B是橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn)，且ABOP(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，則該橢圓的離心率是(C)ABCD解析 由題意可設(shè)P(c，y0)(c為半焦距)，kOP，kAB，由于OPAB，y0，把P代入橢圓方程得1，即2，e.故選C二、填空題7若F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x21(0bb0)，B1PA2為鈍角，即，所夾的角為鈍角，(a，b)(c，b)0，得b2ac，即a2c20，即e2e10，e或e

18、，又0e1，eb0)過(guò)點(diǎn)(0,4)，離心率為.(1)求C的方程；(2)求過(guò)點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)解析 (1)將(0,4)代入C的方程得1，b4，由e，得，即1，a5，C的方程為1.(2)過(guò)點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線方程為y(x3)，設(shè)直線與橢圓C的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，線段AB的中點(diǎn)為M(x0，y0)將y(x3)代入橢圓C的方程，得1，即x23x80，x0，y0(x1x26)，即線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為.11(2018廣州五校聯(lián)考)已知橢圓E：1(ab0)的離心率e，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(，1)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)圓O是以橢圓E的長(zhǎng)軸為直徑的圓，M是直線x4在x軸上方的一點(diǎn)，過(guò)M作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為P，Q，當(dāng)PMQ60，求直線PQ的方程解析 (1)，a22c2，a22b2，又橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)(，1)，1，解得a2，b2，橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)連接O