12 1 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念和性質(zhì)ppt課件

1、無窮級數(shù),無窮級數(shù),無窮級數(shù)是研究函數(shù)的工具,表示函數(shù),研究性質(zhì),數(shù)值計算,數(shù)項(xiàng)級數(shù),冪級數(shù),付氏級數(shù),第12章,常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念和性質(zhì),一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念,二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì),三、級數(shù)收斂的必要條件,*四、柯西審斂原理,第一節(jié),第12章,教學(xué)目的與要求：,理解常數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和的概念； 掌握級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件； 掌握幾何級數(shù)(等比級數(shù))的收斂性 重點(diǎn)： 無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念 幾何級數(shù)(等比級數(shù))的收斂性,一、問題的提出,引例1. 用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積.,依次作圓內(nèi)接正,邊形,這個和逼近于圓的面積 A .,設(shè) a0 表示,即,內(nèi)接正三角形

2、面積,ak 表示邊數(shù),增加時增加的面積,則圓內(nèi)接正,引例2.,小球從 1 米高處自由落下, 每次跳起的高度減,少一半, 問小球是否會在某時刻停止運(yùn)動? 說明道理.,由自由落體運(yùn)動方程,知,則小球運(yùn)動的時間為,( s ),設(shè) tk 表示第 k 次小球落地的時間,二、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念,定義：,給定一個數(shù)列,將各項(xiàng)依,即,稱上式為無窮級數(shù)，,其中第 n 項(xiàng),叫做級數(shù)的一般項(xiàng),次相加, 簡記為,部分和數(shù)列,級數(shù)的部分和,2. 級數(shù)的收斂與發(fā)散:,當(dāng)級數(shù)收斂時, 稱差值,為級數(shù)的余項(xiàng).,余項(xiàng),無窮級數(shù)收斂性舉例：Koch雪花.,做法：先給定一個正三角形，然后在每條邊上對 稱的產(chǎn)生邊長為原邊長的1/3的小

3、正三角形如此 類推在每條凸邊上都做類似的操作，我們就得到 了面積有限而周長無限的圖形“Koch雪花”,觀察雪花分形過程,第一次分叉：,依次類推,播放,周長為,面積為,第 次分叉：,于是有,結(jié)論：雪花的周長是無界的，而面積有界,雪花的面積存在極限（收斂）,解,收斂,發(fā)散,發(fā)散,發(fā)散,綜上,解,已知級數(shù)為等比級數(shù)，,解,技巧:,利用 “拆項(xiàng)相消” 求和,例4.,判別級數(shù),的斂散性 .,解:,故原級數(shù)收斂 , 其和為,解,等比級數(shù),三、無窮級數(shù)的基本性質(zhì),結(jié)論: 級數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個不為零的常數(shù), 斂散性不變.,結(jié)論: 收斂級數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減.,說明:,(2) 若兩級數(shù)中一個收斂一個發(fā)散 ,

4、 則,必發(fā)散 .,但若二級數(shù)都發(fā)散 ,不一定發(fā)散.,例如,(1) 性質(zhì)2 表明收斂級數(shù)可逐項(xiàng)相加或減 .,(用反證法可證),解,證明,類似地可以證明在級數(shù)前面加上（或去掉）有限項(xiàng)不影響級數(shù)的斂散性.,證明,注意,收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂.,收斂,發(fā)散,例6.判斷級數(shù)的斂散性:,解: 考慮加括號后的級數(shù),發(fā)散 ,從而原級數(shù)發(fā)散 .,四、收斂的必要條件,證明,級數(shù)收斂的必要條件:,注意,1.如果級數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零,則級數(shù)發(fā)散;,發(fā)散,2.必要條件不充分.,討論,8項(xiàng),4項(xiàng),2項(xiàng),2項(xiàng),項(xiàng),由性質(zhì)4推論,調(diào)和級數(shù)發(fā)散.,例5. 判斷下列級數(shù)的斂散性, 若收斂求其和:,解: (1) 令,則,故,從而,這說明級數(shù)(1) 發(fā)散.,因,進(jìn)行拆項(xiàng)相消,這說明原級數(shù)收斂 ,其和為,(2),這說明原級數(shù)收斂, 其和為 3 .,(3),的充要條件是:,*五、柯西審斂原理,定理.,有,證:,設(shè)所給級數(shù)部分和數(shù)列為,因?yàn)?所以, 利用數(shù)列,的柯西審斂原理(第一章,第六節(jié)) 即得本定理的結(jié)論 .,例7.,解:,有,利用柯西審斂原理判別級數(shù),當(dāng) nN 時,都有,由柯西審斂原理可知, 級數(shù),六、小結(jié),常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的基本概念,基本審斂法,思考題,思考題解答,能由柯西審斂原理即知,練習(xí)題,練習(xí)題答案,觀察雪花分形過程,第一次分叉：,依次類推,觀察雪花分形過程,第一次分叉：,依次類推,觀察雪花分形