祿豐三中-劉學(xué)鴻-數(shù)學(xué)《數(shù)列求和》.ppt

1、數(shù)列求和,祿豐三中 劉學(xué)鴻,數(shù)列求和的方法,將一個數(shù)列拆成若干個簡單數(shù)列, 然后分別求和.,將數(shù)列相鄰的兩項(xiàng)(或若干項(xiàng))并成一項(xiàng)(或一組)得到一個新數(shù)列(容易求和).,一、拆項(xiàng)求和,二、并項(xiàng)求和,例 求和 Sn=12+23+n(n+1).,例 求和 Sn=1-2+3-4+5-6+(-1)n+1n.,三、裂項(xiàng)求和,將數(shù)列的每一項(xiàng)拆(裂開)成兩項(xiàng)之差, 使得正負(fù)項(xiàng)能相互抵消, 剩下首尾若干項(xiàng).,四、錯位求和,將數(shù)列的每一項(xiàng)都作相同的變換, 然后將得到的新數(shù)列錯動一個位置與原數(shù)列的各項(xiàng)相減.,例 等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo).,五、倒序求和,將數(shù)列的倒數(shù)第 k 項(xiàng)(k=1, 2, 3, )變?yōu)檎龜?shù)第 k

2、項(xiàng), 然后將得到的新數(shù)列與原數(shù)列進(jìn)行變換(相加、相減等).,例 等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo).,典型例題,Sn=(3n+2)2n-1,(4)Sn=1n+2(n-1)+3(n-2)+n1;,法1 Sn=1n+2(n-1)+3(n-2)+nn-(n-1),=n(1+2+3+n)-21+32+n(n-1),=n(1+2+3+n)-12+22+(n-1)2-1+2+(n-1),法2 Sn=1n+2(n-1)+3(n-2)+n1,=1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+n),(5)Sn=3n-1+3n-22+3n-322+2n-1.,課后練習(xí),1.已知數(shù)列 an 是等差數(shù)列, 且 a1=2, a1+a

3、2+a3=12, (1)求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式; (2)令 bn=an3n, 求數(shù)列 bn 前 n 項(xiàng)和的公式.,解: (1)設(shè)數(shù)列 an 的公差為 d,則由已知得 3a1+3d=12,d=2.,an=2+(n-1)2=2n.,故數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為 an=2n.,(2)由 bn=an3n=2n3n 得數(shù)列 bn 前 n 項(xiàng)和,Sn=23+432+(2n-2)3n-1+2n3n ,3Sn=232+433+(2n-2)3n+2n3n+1 ,將 式減 式得:,-2Sn=2(3+32+3n)-2n3n+1=3(3n-1)-2n3n+1.,又 a1=2,2.將上題 (2) 中“ bn=an3n

4、” 改為“ bn=anxn(xR)”, 仍求 bn 的前 n 項(xiàng)和.,解: 令 Sn=b1+b2+bn, 則由 bn=anxn=2nxn 得:,Sn=2x+4x2+(2n-2)xn-1+2nxn ,xSn=2x2+4x3+(2n-2)xn+2nxn+1 ,當(dāng) x1 時, 將 式減 式得:,當(dāng) x=1 時, Sn=2+4+2n=n(n+1);,4.求數(shù)列 n(n+1)(2n+1) 的前 n 項(xiàng)和 Sn.,解: 通項(xiàng) ak=k(k+1)(2k+1)=2k3+3k2+k,Sn=2(13+23+n3)+3(12+22+n2)+(1+2+n),6.已知 lgx+lgy=a, 且 Sn=lgxn +lg(

5、xn-1y)+lg(xn-2y2)+lgyn, 求 Sn.,解: Sn=lgxn+lg(xn-1y)+lg(xn-2y2)+lgyn,又 Sn=lgyn +lg(xyn-1)+lg(xn-1y)+lgxn,2Sn=lg(xnyn)+lg(xnyn)+lg(xnyn)+lg(xnyn),=n(n+1)lg(xy).,lgx+lgy=a, lg(xy)=a.,注: 本題亦可用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解:,Sn=lgxn+(n-1)+3+2+1y1+2+3+(n-1)+n,8.求數(shù)列 1, 2+3, 4+5+6, 7+8+9+10, 的通項(xiàng) an 及前 n 項(xiàng)和Sn.,解: 設(shè)等比數(shù)列 an 的公比為 q,

6、 依題意得:,a1a2a3=512a23=512a2=8.,前三項(xiàng)分別減去 1, 3, 9 后又成等差數(shù)列,an=a2qn-2=82n-2=2n+1.,10.已知數(shù)列 an 中, a1=1, (2n+1)an=(2n-3)an-1(n2, nN*), 求數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 Sn.,Sn=a1+a2+an,解: (2n+1)an=(2n-3)an-1,(2) 歸納概括的結(jié)論為:,n 為正整數(shù). 證明如下:,=a1(1-q)n.,=t(1-1)n -tq(1-q)n,=-tq(1-q)n, 從而有:,=-tq(1-q)n,(1)證: 由已知 S1=a1=a, Sn=aqn-1,當(dāng) n2 時, an=Sn-Sn-1=aqn-1-aqn-2=a(q-1)qn-2.,在 an中, 從第 2 項(xiàng)開始成等比數(shù)列.,bn=51-n(nN*).,當(dāng) 1n51 時