2018版高中數(shù)學 第二章 數(shù)列 2.1.2 數(shù)列的遞推公式（選學）學案 新人教B版必修5

1、2.1.2數(shù)列的遞推公式(選學)1.理解遞推公式的含義.(重點)2.掌握遞推公式的應用.(難點)3.會求數(shù)列中的最大(小)項.(易錯點)基礎初探教材整理數(shù)列的遞推公式閱讀教材P29P30，完成下列問題.1.數(shù)列遞推公式(1)兩個條件：已知數(shù)列的第1項(或前幾項)；從第二項(或某一項)開始的任一項an與它的前一項an1(或前幾項)間的關系可以用一個公式來表示.(2)結(jié)論：具備以上兩個條件的公式叫做這個數(shù)列的遞推公式.2.數(shù)列遞推公式與通項公式的關系遞推公式通項公式區(qū)別表示an與它的前一項an1(或前幾項)之間的關系表示an與n之間的關系聯(lián)系(1)都是表示數(shù)列的一種方法；(2)由遞推公式求出前幾項

2、可歸納猜想出通項公式1.下列說法中正確的有_.(填序號)根據(jù)通項公式可以求出數(shù)列的任意一項；有些數(shù)列可能不存在最大項；遞推公式是表示數(shù)列的一種方法；所有的數(shù)列都有遞推公式.【解析】正確.只需將項數(shù)n代入即可求得任意項.正確.對于無窮遞增數(shù)列，是不存在最大項的.正確.遞推公式也是給出數(shù)列的一種重要方法.錯誤.不是所有的數(shù)列都有遞推公式.例如 精確到1,0.1,0.01,0.001，的近似值排列成一列數(shù)：1，1.4，1.41,1.414，就沒有遞推公式.【答案】2.已知數(shù)列an滿足a11，an2an11(n2)，則a5_.【解析】因為a11，an2an11(n2)，所以a23，a37，a415，所

3、以a52a4131.【答案】313.已知非零數(shù)列an的遞推公式為a11，anan1(n1)，則a4_.【解析】依次對遞推公式中的n賦值，當n2時，a22；當n3時，a3a23；當n4時，a4a34.【答案】44.已知數(shù)列an中，a1，an11，則a5_.【解析】因為a1，an11，所以a21123，a31，a41，a5123.【答案】3小組合作型由遞推關系寫數(shù)列的項(1)已知數(shù)列an滿足關系anan11an1(nN)且a2 0162，則a2 015等于()A.B.C.D.(2)已知數(shù)列an，a11，a22，anan1an2(n3)，則a5_.【精彩點撥】結(jié)合已知項逐步代入遞推公式求解.【自主解

4、答】(1)由anan11an1，得an1，又a2 0162，a2 015，故選C.(2)由題知a3a2a13，a4a3a25，a5a4a38.【答案】(1)C(2)8由遞推公式寫出數(shù)列的項的方法：(1)根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項，首先要弄清楚公式中各部分的關系，依次代入計算即可.(2)若知道的是末項，通常將所給公式整理成用后面的項表示前面的項的形式，如an2an11.(3)若知道的是首項，通常將所給公式整理成用前面的項表示后面的項的形式，如an1.再練一題1.已知數(shù)列an的第一項a11，以后的各項由公式an1給出，試寫出這個數(shù)列的前5項. 【導學號：】【解】a11，an1，a2，a3，a4，

5、a5.故該數(shù)列的前5項為1，.數(shù)列的最大(小)項的求法已知數(shù)列an的通項公式an(n1)n(nN)，試問數(shù)列an有沒有最大項？若有，求最大項和最大項的項數(shù)；若沒有，說明理由.【精彩點撥】【自主解答】法一：an1an(n2)n1(n1)nn，當n0，即an1an；當n9時，an1an0，即an1an；當n9時，an1an0，即an1an，故a1a2a3a11a12，所以數(shù)列中有最大項，最大項為第9、10項，即a9a10.法二：設ak是數(shù)列an的最大項.則即整理得得9k10，k9或10，即數(shù)列an中的最大項為a9a10.求數(shù)列的最大(小)項的兩種方法：一是利用判斷函數(shù)增減性的方法，先判斷數(shù)列的增減

6、情況，再求數(shù)列的最大項或最小項；如本題利用差值比較法來探討數(shù)列的單調(diào)性，以此求解最大項.二是設ak是最大項，則有對任意的kN且k2都成立，解不等式組即可.再練一題2.已知數(shù)列an的通項公式為ann25n4.(1)數(shù)列中有多少項是負數(shù)？ 【導學號：】(2)n為何值時，an有最小值？并求出最小值.【解】(1)由n25n40，解得1n4.nN，n2,3.數(shù)列中有兩項是負數(shù).(2)法一：ann25n4，可知對稱軸方程為n2.5.又nN，故n2或3時，an有最小值，且a2a3，其最小值為225242.法二：設第n項最小，由得解這個不等式組，得2n3，n2,3.a2a3且最小.a2a3225242.探究共

7、研型數(shù)列的遞推公式與通項公式的關系探究1某劇場有30排座位，從第一排起，往后各排的座位數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列an，滿足a120，an1an2，你能歸納出數(shù)列an的通項公式嗎？【提示】由a120，an1an2得a2a1222，a3a2224，a4a3226，a5a4228，由以上各項歸納可知an20(n1)22n18.即an2n18(nN，n30).探究2在數(shù)列an中，a13，2，照此遞推關系，你能寫出an任何相鄰兩項滿足的關系嗎？若將這些關系式兩邊分別相乘你能得到什么結(jié)論？【提示】按照2可得2，2，2，2(n2)，將這些式子兩邊分別相乘可得222.則2n1，所以an32n1(nN).探究3在數(shù)列an中

8、，若a13，an1an2，照此遞推關系試寫出前n項中，任何相鄰兩項的關系，將這些式子兩邊分別相加，你能得到什么結(jié)論？【提示】由an1an2得a2a12，a3a22，a4a32，anan12(n2，nN)，將這些式子兩邊分別相加得：a2a1a3a2a4a3anan12(n1)，即ana12(n1)，所以有an2(n1)a12n1，(nN).設數(shù)列an是首項為1的正項數(shù)列，且an1an(nN)，求數(shù)列的通項公式.【精彩點撥】由遞推公式，分別令n1,2,3，得a2，a3，a4，由前4項觀察規(guī)律，可歸納出它的通項公式；或利用an1an反復迭代；或?qū)n1an變形為進行累乘；或?qū)n1an變形式1，構(gòu)造

9、數(shù)列nan為常數(shù)列.【自主解答】因為an1an.法一：(歸納猜想法)a11，a21，a3，a4猜想an.法二：(迭代法)因為an1an，所以anan1an2a1，從而an.法三：(累乘法)因為an1an，所以，則，所以an.法四：(轉(zhuǎn)化法)因為，所以1，故數(shù)列nan是常數(shù)列，nana11，an.由數(shù)列的遞推公式求通項公式時，若遞推關系為an1anf(n)或an1g(n)an，則可以分別通過累加或累乘法求得通項公式，即：(1)累加法：當anan1f(n)時，常用an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1求通項公式.(2)累乘法：當g(n)時，常用ana1求通項公式.再練一題3.已知數(shù)列a

10、n中，a12，an1an3(nN)，寫出這個數(shù)列的前5項，猜想an并加以證明.【解】a12，a2a135，a3a238，a4a3311，a5a4314，猜想：an3n1.證明如下：由an1an3得a2a13，a3a23，a4a33，anan13.將上面的(n1)個式子相加，得ana13(n1)，an23(n1)3n1.1.已知數(shù)列an中，a11，則數(shù)列an的通項公式是()A.an2nB.anC.anD.an【解析】a11，a2，a3，a4，觀察得an.【答案】C2.符合遞推關系式anan1的數(shù)列是()A.1,2,3,4，B.1, ，2,2，C.，2, ，2，D.0, ，2,2，【解析】由遞推公式可知符合該遞推公式的數(shù)列，每一項的倍為后一項，所以只有B符合.【答案】B3.若數(shù)列an滿足an12an1，且a816，則a6_【解析】由an12an1，得an(an11)，a7(a81)，a6(a71).【答案】4.若數(shù)列中的最大項是第k項，則k_. 【導學號：】【解析】由題意得化簡得 又因為kN，所以k4.【答案】45.已知數(shù)列an滿足下列條件，寫出它的前5項，并歸納出數(shù)列的一個通項公式.(1)a10，an1an