第九章-拉普拉斯變換PPT.ppt

1、第9章拉普拉斯變換，the la拉普拉斯變換，4 .雙邊拉普拉斯變換的性質，本章的基本內容：1 .雙邊拉普拉斯變換，2 .雙邊拉普拉斯變換的收斂域，5 .系統(tǒng)函數(shù)，6 .單邊拉普拉斯變換，3 .零極點圖，9.0引言in 更一般的復指數(shù)函數(shù)的和也應該能夠以此為基礎分解信號。 傅立葉分析法對信號和LTI系統(tǒng)的分析之所以這么有幫助，是因為相當寬的信號可以表示為復指數(shù)信號的線性組合，復指數(shù)函數(shù)是所有LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)。 根據(jù)本章及下一章，拉普拉斯變換和變換不僅具有很多與傅立葉變換相同的重要性質，不僅可以利用傅立葉分析法解決的信號和系統(tǒng)分析問題，還可以利用傅立葉分析法不適用的很多方面。 拉式變換和變換

2、的分析方法是傅立葉分析法的普及，傅立葉分析是它們的特例。 將傅里葉變換展開為更一般的狀況是本章和下一章討論的中心問題。 9.1拉普拉斯變換和復指數(shù)信號是所有LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)。 如果LTI系統(tǒng)的單位沖激響應正確，那么針對系統(tǒng)產生的響應為：其中，明確是連續(xù)時間傅立葉變換。 The Laplace Transform，1 .雙邊拉斯變換的定義：被稱為雙邊拉斯變換。 如果是那樣的話就有： 這就是傅立葉變換。 指出連續(xù)時間傅里葉變換是雙邊拉挽變換或軸上的特例。 因此，拉斯變換是傅立葉變換的普及，拉斯變換是傅立葉變換。 如果存在恰當?shù)拇嬖冢瑒t在原本不滿足解交錯條件的信號中，在導入后也存在滿足該條件的信

3、號。 因此，一些信號的傅立葉變換未收斂，并且傅立葉變換不存在。 這表明拉斯變換比傅里葉變換具有更廣泛的適用性。 例1 .的情況下，積分收斂。 在前一種情況下，存在前一傅立葉變換，且明顯在前一情況下，拉斯變換收斂的區(qū)域包括(即軸)。 另外，通過比較，很明顯，例2 .與例1 .相比，僅是收斂頻帶不同。 從以上例子可知，1，1 .拉斯變換與傅立葉變換同樣具有收斂問題。 不是存在任何信號的拉斯變換，并且s平面上的任何復數(shù)都不使拉斯變換收斂。 2 .使拉斯變換積分收斂的復數(shù)s的集合被稱為拉斯變換的收斂區(qū)。 拉斯變換的收斂區(qū)ROC (Region of Convergence )對于拉斯變換來說是非常重要

4、的概念。 3 .根據(jù)信號的不同，可能有完全相同的拉斯變換式，但收斂區(qū)域不同。 5 .在ROC包括軸的情況下，只有與4.rals變換方程式對應的收斂域可與信號建立對應關系。 二.拉茲變換的ROC和零極圖：例3 .拉茲變換的收斂區(qū)是各收斂區(qū)的共同部分。 ROC總是以平行于軸的直線為邊界，ROC的邊界總是對應于的分母的根。 若為有理函數(shù)，則將分子多項式的根稱為零點，將分母多項式的根稱為極。 的所有零點和極在s平面上表示，構成零極圖。 零極圖及其收斂域可以表示一個常數(shù)系數(shù)，最大與實際不同。 因此，零極圖是拉斯變換的圖示方法。9.2拉爾斯變換的收斂區(qū)可總結ROC的以下性質： theregionofcon

5、vergenceforlaplacetransforms，4 .右邊信號的ROC位于與s平面中的軸平行的直線的右邊。 3 .時限信號的ROC是整個s平面。 2.roc內無極點。 1. ROC是在s平面上與軸平行的帶狀區(qū)域。 則它也位于收斂域中。 中的組合圖層性質變更選項。 如果是右邊的信號，在ROC內，有絕對的積。 即，5 .左信號的ROC位于與s平面內的軸平行的直線的左側。中的組合圖層性質變更選項。 左邊的信號，如果在ROC內定義，則表示也在收斂區(qū)域內。 如果存在雙邊信號的ROC，則必須是s平面內平行于軸的帶狀區(qū)域。 調查零點，例2 .有極，明顯也有一次零點，因為零極被抵消，所以s平面全體沒

6、有點。 時，表示上述ROC有共通部分，時，表示上述ROC沒有共通部分，不存在。 在有理函數(shù)的情況下，ROC始終被除以下極點。 ROC必然滿足以下規(guī)則：3 .雙邊信號的ROC可以是任何兩個相鄰極之間的帶狀區(qū)。 2 .左信號的ROC必須位于最左邊極點的左邊。 1 .右信號的ROC必須位于最右極右側。 例如3 .可形成三種roc:roc:roc:roc:roc:roc，在本情況下其為右邊信號； 這種情況下是左邊的信號燈。 這種情況下是雙邊信號。 另外，The Inverse Laplace Transform，1 .定義： ROC內有3360、9.3加反變換，其說明在常規(guī)情況下，拉斯反變換可將336

7、0分解成復振幅的復數(shù)1 .部分式展開。 部分分式展開法：3 .利用常用信號的變換對和拉氏變換的性質，對各項進行逆變換。 2、基于之前的ROC來確定每個項的ROC。 極：例2 .1 .求出的所有極。 留數(shù)法(有理函數(shù)的情況下):3 .求出roc右邊所有極的留數(shù)之和，賦予負的符號，將它們構成的逆因果部分。 2 .求roc左邊所有極點處的剩馀數(shù)之和，它們構成的因果部分。 例3 .和的極位于ROC的右側并位于ROC的左側。 中的組合圖層性質變更選項。 如果ROC中包含軸，則可以通過代入獲得。 以此為基礎，用幾何學評價的方法可以從零極圖求出的特性。 這在定性地分析系統(tǒng)的頻率特性時有用。 根據(jù)geomet

8、ricevaluationofthefouriertransformfromthepole-zero plot，9.4零極點圖對傅立葉變換幾何進行評價，在1 .單零點的情況下：向量稱為零點向量，其長度表示其寬度，為零極從極直接向點產生向量(稱為極向量)，其長度的反量為振幅的負值。 2 .對于單極：因此存在：有理函數(shù)形式的，3 .一般情況：即所有從零點到點的零點向量，以及所有從極點到點的極點向量。 假設所有零點向量的長度的乘積除以所有極向量的長度的乘積。 所有零點向量的振幅之和減去所有極向量的振幅之和。 中的組合圖層性質變更選項。 如果取軸上的點，則計算傅里葉變換的幾何。 調查在軸上移動時的所有

9、零、極向量的長度和振幅的變化，得到振幅特性和相位特性。 例1 .一次系統(tǒng)：例2 .二次系統(tǒng)：1 .時，有兩個實數(shù)極，此時系統(tǒng)處于過衰減狀態(tài)。 發(fā)揮主要作用。 隨之，兩極相對移動，接近那里。 2 .有時兩極重合，成為二次極。 系統(tǒng)處于臨界衰減狀態(tài)。 3 .進一步變小，二次極分裂成共軛復極，隨著變小逐漸接近軸。 極運動的軌道根軌道是半徑的圓周。 此時，系統(tǒng)處于低阻尼狀態(tài)，由于伴隨于此，位于第2象限的極向量比第3象限的極向量短，所以對系統(tǒng)特性的影響大(稱作主極)。 的情況下，由于該極向量變短，因此會產生峰值。 該峰值點位于哪里，峰值在時刻認為主極向量增加了2倍時，如果對應的頻率是系統(tǒng)帶寬的截止頻率，

10、則可近似地確定此時的系統(tǒng)帶寬約為1。 4 .的情況下，兩極分別在軸上，此時系統(tǒng)處于不衰減的狀態(tài)。 還可以從零極圖中得到系統(tǒng)的相位特性。此時，僅通過考慮移動點沿著軸移動時的所有極向量與所有零點向量的振幅變化，并從所有零點向量的振幅之和減去所有極向量的振幅之和，就能夠獲得系統(tǒng)的相位特性。 例3 .全通系統(tǒng)：查找零極對稱分布的系統(tǒng)、(一次全通系統(tǒng))，因為該系統(tǒng)隨時等于1，所以稱為全通系統(tǒng)。 其相位特性為全系的零極分布呈四角對稱特征。 全通系統(tǒng)廣泛應用于系統(tǒng)的相位均衡。 例4 .最小相位系：顯然兩系的振幅特性相同。 然而，零點位于左半平面的系統(tǒng)相比于零點位于右半平面的系統(tǒng)相位非常小。 因此，將零極全部

11、位于左半平面的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。 在工程應用程序中修訂的各種頻率選擇性濾波器，例如Butterworth、Chebyshev、Cauer濾波器都是最小相位系。 在工程應用中要求實現(xiàn)非最小相位系統(tǒng)時，通常將最小相位系統(tǒng)和全通道系統(tǒng)級聯(lián)來實現(xiàn)。 本質上，系統(tǒng)的特性由系統(tǒng)的零極分布決定。 優(yōu)化系統(tǒng)的設定修訂實質上是優(yōu)化零、極的位置。 propertiesofthelaplacetransform，9.5拉斯變換的性質，拉斯變換與傅立葉變換同樣具有很多重要的性質。 這里只關注ROC的討論。 1 .“線性”:則ROC在整個s平面上擴展。 的雙曲馀弦值。 不與相交表示不存在。 例如.(原因是出現(xiàn)了零極

12、相抵的現(xiàn)象)、2 .時移性質：如果3. S域移位：在此指ROC的邊界平移。 此外，很明顯，如果時間收斂，并且信號在時域定標，那么4 .時域定標：在s平面上的反定標。 特例，5 .共軛對稱性(Conjugation ) :實信號，且有極(或零點)，必定也有極(或零點)。 這說明實信號的拉斯變換出現(xiàn)為復零、極必共軛對。 在實信號的情況下，可得出如下重要結論：可替換地，當：例如，包括卷積性質：在內的ROC擴展的抵消極性正好位于ROC的邊界上時，收斂帶寬增加。 7 .時域導數(shù)3360 (差分時域)、8. S區(qū)域導數(shù)： (差分時域)、9 .時域積分，并且Proof:展開為Taylor級數(shù)： 有初始和結束

13、定理3360，對上述公式的兩側進行拉斯變換：這是結束定理，除了可能具有一階極性，因為其實數(shù)可能大于零表明：時，基于s平面上極點的分布與信號端值的關系，analysisandcharacterizedofltisystemsusingthelaplacetransform，1 .系統(tǒng)函數(shù)的概念：卷積特性。 9.7拉爾斯變換分析和表示LTI系統(tǒng)，這就是LTI系統(tǒng)的傅立葉分析。 是系統(tǒng)的頻率響應。 而且，所述方法所成立的本質原因在于，復指數(shù)函數(shù)是所有LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)。 如果基于顏色將信號分解為顏色，則LTI系統(tǒng)的對輸入信號的響應可以完全描述LTI系統(tǒng)，換言之，如果ROC包括顏色軸，則顏色ROC必

14、須包括顏色軸。系統(tǒng)的許多重要特性一定具體體現(xiàn)在其ROC上。 另一方面，以為基礎分解信號時，系統(tǒng)的輸出響應為。 2 .用系統(tǒng)函數(shù)表示LTI系統(tǒng)：1 .因果：否則系統(tǒng)是因果的。 中的組合圖層性質變更選項。 如果是那樣的話，系統(tǒng)是違反因果關系的。 因此，因果系統(tǒng)是右邊信號并且ROC總是在最右邊的右邊。 因為反因果系統(tǒng)是左信號，所以下ROC始終是最左邊的左邊。 應該強調，從ROC的特征出發(fā)，反而無法判定系統(tǒng)是否為因果。 ROC是最右邊極的右側，不一定是系統(tǒng)因果。 2、穩(wěn)定性：如系統(tǒng)穩(wěn)定。 所以一定存在。 意味著的ROC必然包含軸。 只有在有理函數(shù)的情況下，逆命題才成立。 綜合以上兩點，因果穩(wěn)定系統(tǒng)的全

15、極應位于s平面的左半部分。 當然，ROC是最右邊極點的右邊。 的所有極點都在s平面的左半部分。 的ROC在最右邊緣，但是是非有理函數(shù)，該系統(tǒng)是非因果的。 中的組合圖層性質變更選項。 ROC包含軸，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 雖然ROC仍是用于該系統(tǒng)的非有理函數(shù)，但是因為該系統(tǒng)是因果的。 結論LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為有理函數(shù)，所有極點在s平面的左半平面時，系統(tǒng)具有因果性和穩(wěn)定性。 如果LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是有理函數(shù)，而系統(tǒng)函數(shù)的ROC是最右邊緣。 將系統(tǒng)的因果關系顛倒過來，系統(tǒng)函數(shù)的ROC位于最左邊的極點的左側。 在LCCDE中描述的LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)：或者是有理函數(shù)，并且必須由系統(tǒng)的相關特性來確定下一個ROC。 如果所有LCCDE都具有一組初始零條件，則的ROC必須位于右端極的右側。 另外