第一章建立數(shù)學(xué)模型.ppt

1、第一章 建立數(shù)學(xué)模型,1.1 從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型 1.2 數(shù)學(xué)建模的重要意義 1.3 數(shù)學(xué)建模示例 1.4 數(shù)學(xué)建模的方法和步驟 1.5 數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)和分類 1.6 怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模,玩具、照片、飛機(jī)、火箭模型, 實(shí)物模型,水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機(jī), 物理模型,地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖, 符號(hào)模型,模型是為了一定目的，對(duì)客觀事物的一部分 進(jìn)行簡(jiǎn)縮、抽象、提煉出來的原型的替代物.,模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征.,1.1 從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型,我們常見的模型,你碰到過的數(shù)學(xué)模型“航行問題”,用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：,答：船速為20km/h.,甲乙兩地相距750

2、km，船從甲到乙順?biāo)叫行?0h， 從乙到甲逆水航行需50h，問船的速度是多少?,x=20 y =5,航行問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟,作出簡(jiǎn)化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；,用符號(hào)表示有關(guān)量（x, y表示船速和水速）；,用物理定律（勻速運(yùn)動(dòng)的距離等于速度乘以 時(shí)間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）；,求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20, y=5）；,回答原問題（船速為20km/h）.,數(shù)學(xué)模型 (Mathematical Model) 和 數(shù)學(xué)建模（Mathematical Modeling),對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對(duì)象，為了一個(gè)特定目的， 根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡(jiǎn)化假設(shè)， 運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)表述.

3、,建立數(shù)學(xué)模型的全過程 （包括表述、求解、解釋、檢驗(yàn)等）,數(shù)學(xué)模型,數(shù)學(xué)建模,1.2 數(shù)學(xué)建模的重要意義,電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)及飛速發(fā)展；,數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透.,數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的第一步， 越來越受到人們的重視.,在一般工程技術(shù)領(lǐng)域, 數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地；,在高新技術(shù)領(lǐng)域, 數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具；,數(shù)學(xué)進(jìn)入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開辟了許多處女地.,“數(shù)學(xué)是一種關(guān)鍵的、普遍的、可以應(yīng)用的技術(shù)”.,數(shù)學(xué)“由研究到工業(yè)領(lǐng)域的技術(shù)轉(zhuǎn)化，對(duì)加強(qiáng)經(jīng)濟(jì)競(jìng)爭(zhēng)力具有重要意義”.,“計(jì)算和建模重新成為中心課題，它們是數(shù)學(xué)科學(xué)技術(shù)轉(zhuǎn)化的主要途徑” .,數(shù)學(xué)建模的重要意義

4、,數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用,分析與設(shè)計(jì),預(yù)報(bào)與決策,控制與優(yōu)化,規(guī)劃與管理,數(shù)學(xué)建模,計(jì)算機(jī)技術(shù),知識(shí)經(jīng)濟(jì),1.3 數(shù)學(xué)建模示例,1.3.1 椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎,問題分析,模型假設(shè),通常 三只腳著地,放穩(wěn) 四只腳著地,四條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳連線呈正方形;,地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面;,地面相對(duì)平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時(shí)著地.,模型構(gòu)成,用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來.,椅子位置,利用正方形(椅腳連線)的對(duì)稱性.,用(對(duì)角線與x軸的夾角)表示椅子位置.,四只腳著地,距離是的函數(shù).,四個(gè)距離(四只腳),A,C 兩腳與地面距離之和 f(),B,

5、D 兩腳與地面距離之和 g(),兩個(gè)距離,椅腳與地面距離為零,正方形ABCD 繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn),用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來.,f() , g()是連續(xù)函數(shù),對(duì)任意, f(), g()至少一個(gè)為0,數(shù)學(xué)問題,已知： f() , g()是連續(xù)函數(shù) ; 對(duì)任意， f() g()=0 ; 且 g(0)=0， f(0) 0. 證明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.,模型構(gòu)成,地面為連續(xù)曲面,椅子在任意位置至少三只腳著地,模型求解,給出一種簡(jiǎn)單、粗造的證明方法,將椅子旋轉(zhuǎn)90o，對(duì)角線AC和BD互換. 由g(0)=0， f(0) 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)0. 令h()

6、= f()g(), 則h(0)0和h(/2)0. 由 f, g的連續(xù)性知 h為連續(xù)函數(shù), 據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì), 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因?yàn)閒() g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.,評(píng)注和思考,建模的關(guān)鍵 ,假設(shè)條件哪些是本質(zhì)的,哪些是非本質(zhì)的?,考察四腳連線呈長(zhǎng)方形的椅子 (習(xí)題4).,和 f(), g()的確定,1.3.2 商人們?cè)鯓影踩^河,問題(智力游戲), 3名商人 3名隨從,隨從們密約, 在河的任一岸, 一旦隨從的人數(shù)比商人多, 就殺人越貨.,乘船渡河的方案由商人決定.商人們?cè)鯓硬拍馨踩^河?,問題分析,多步?jīng)Q策過程,決策

7、每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員.,要求在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過河.,模型構(gòu)成,xk第k次渡河前此岸的商人數(shù),yk第k次渡河前此岸的隨從數(shù),xk, yk=0,1,2,3; k=1,2,sk=(xk , yk) 過程的狀態(tài),S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2,S 允許狀態(tài)集合,uk第k次渡船上的商人數(shù),vk第k次渡船上的隨從數(shù),dk=(uk , vk) 過程的決策,D 允許決策集合,uk, vk=0, 1, 2; k=1,2,sk+1=sk dk,+(-1)k,狀態(tài)轉(zhuǎn)移律,D=(u ,

8、 v) u+v=1, 2, u, v=0, 1, 2,狀態(tài)因決策而改變,模型求解,窮舉法 編程上機(jī),圖解法,狀態(tài)s=(x,y) 16個(gè)格點(diǎn),允許決策 移動(dòng)1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.,s1,sn+1,d1, ,d11給出安全渡河方案,允許狀態(tài),S=(x , y) x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2,求dkD(k=1,2, n), 使skS, 并按轉(zhuǎn)移律 sk+1=sk+(-1)kdk 由 s1=(3,3)到達(dá) sn+1=(0,0).,模型構(gòu)成,商人和隨從人數(shù)增加或小船容量加大;,商人們?cè)鯓影踩^河,智力游戲,多步?jīng)Q策過程(數(shù)學(xué)模型),易于推廣:

9、,考慮4名商人各帶一隨從的情況.,多步?jīng)Q策模型:,恰當(dāng)?shù)卦O(shè)置狀態(tài)和決策, 確定狀態(tài)轉(zhuǎn)移律及目標(biāo)(目標(biāo)函數(shù)).,便于求解 (計(jì)算機(jī)編程等).,背景,世界人口增長(zhǎng)概況,中國人口增長(zhǎng)概況,研究人口變化規(guī)律,控制人口過快增長(zhǎng),1.3.3 如何預(yù)報(bào)人口的增長(zhǎng),指數(shù)增長(zhǎng)模型馬爾薩斯提出 (1798),常用的計(jì)算公式,x(t) 時(shí)刻t的人口,基本假設(shè) : 人口(相對(duì))增長(zhǎng)率 r 是常數(shù),今年人口 x0, 年增長(zhǎng)率 r,k年后人口,隨著時(shí)間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長(zhǎng).,與常用公式的一致,?,指數(shù)增長(zhǎng)模型的應(yīng)用及局限性,與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合.,適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代.,

10、可用于短期人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè).,不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長(zhǎng)規(guī)律.,不能預(yù)測(cè)較長(zhǎng)期的人口增長(zhǎng)過程.,19世紀(jì)后人口數(shù)據(jù),阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型),人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后，增長(zhǎng)率下降的原因：,資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用,且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大,假設(shè),r固有增長(zhǎng)率(x很小時(shí)),xm人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）,x(t)S形曲線, x增加先快后慢,x0,阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型),指數(shù)增長(zhǎng)模型,參數(shù)估計(jì),用指數(shù)增長(zhǎng)模型或阻滯增長(zhǎng)模型作人口 預(yù)報(bào)，必須先估計(jì)模型參數(shù) r 或 r, xm .,根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)利用線性最小二乘法作擬合,阻滯增長(zhǎng)模型(Logisti

11、c模型),例：美國人口數(shù)據(jù)(百萬),數(shù)據(jù)(t,x),模型檢驗(yàn),用模型計(jì)算2000年美國人口,誤差不到3%,阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型),用美國18601990年數(shù)據(jù)(去掉個(gè)別異常數(shù)據(jù)),與實(shí)際數(shù)據(jù)(2000年為281.4)比較,1790年為零點(diǎn),=274.5,Logistic 模型的應(yīng)用,模型應(yīng)用,加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計(jì)模型參數(shù),預(yù)報(bào)美國2010年的人口,經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的增長(zhǎng)規(guī)律(耐用消費(fèi)品的售量).,種群數(shù)量模型 (魚塘中的魚群, 森林中的樹木).,預(yù)報(bào)人口的增長(zhǎng),指數(shù)增長(zhǎng)模型,阻滯增長(zhǎng)模型,參數(shù)估計(jì)和模型檢驗(yàn)是建模的重要步驟.,線性最小二乘法是參數(shù)估計(jì)的基本方法.,數(shù)學(xué)建模的

12、基本方法,機(jī)理分析,測(cè)試分析,根據(jù)對(duì)客觀事物特性的認(rèn)識(shí)， 找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律.,將對(duì)象看作“黑箱”,通過對(duì)量測(cè)數(shù)據(jù)的 統(tǒng)計(jì)分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型.,機(jī)理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實(shí)例研究 (Case Studies)來學(xué)習(xí)。以下建模主要指機(jī)理分析.,二者結(jié)合,用機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu), 用測(cè)試分析確定模型參數(shù).,1.4 數(shù)學(xué)建模的方法和步驟,數(shù)學(xué)建模的一般步驟,模型準(zhǔn)備,模型假設(shè),模型構(gòu)成,模型求解,模型分析,模型檢驗(yàn),模型應(yīng)用,模 型 準(zhǔn) 備,了解實(shí)際背景,明確建模目的,搜集有關(guān)信息,掌握對(duì)象特征,形成一個(gè) 比較清晰 的“問題”,模 型 假 設(shè),針對(duì)問題特點(diǎn)和建模目的,作出合

13、理的、簡(jiǎn)化的假設(shè),在合理與簡(jiǎn)化之間作出折中,模 型 構(gòu) 成,用數(shù)學(xué)的語言、符號(hào)描述問題,發(fā)揮想像力,使用類比法,盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具,數(shù)學(xué)建模的一般步驟,模型 求解,各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù).,如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、 模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析.,模型 分析,模型 檢驗(yàn),與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較， 檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇?、適用性.,模型應(yīng)用,數(shù)學(xué)建模的一般步驟,數(shù)學(xué)建模的全過程,現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息,數(shù)學(xué)模型,現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答,數(shù)學(xué)模型的解答,(歸納),(演繹),表述,求解,解釋,驗(yàn)證,根據(jù)建模目的和信息將實(shí)際問題“翻譯”成數(shù)學(xué)問題.,選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答.,將數(shù)學(xué)語言表述的解答“翻譯”回實(shí)際對(duì)象.,用現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息檢驗(yàn)得到的解答.,實(shí)踐,現(xiàn)實(shí)世界,數(shù)學(xué)世界,1.5 數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)和分類,模型的逼真性和可行性,模型的漸進(jìn)性,模型的強(qiáng)健性,模型的可轉(zhuǎn)移性,模型的非預(yù)制性,模型的條理性,模型的技藝性,模型的局限性,數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn),數(shù)學(xué)模型的