量綱分析法.ppt

1、4.1量綱分析建模法,1. 量及其度量 10. 模型所涉及的主要是量不是數(shù) 20. 量（物理量）可以分為： 基本量：基礎(chǔ)的，獨(dú)立的量 長(zhǎng)度、質(zhì)量、時(shí)間、 導(dǎo)出量：由基本量通過(guò)自然規(guī)律導(dǎo)出的量 速度、加速度、力、 30. 量的度量體系 單位制： 基本量及其度量單位,一. 量與量綱,40. 國(guó)際單位（SI）制 基 本 量 名稱 單位 符號(hào) 長(zhǎng)度 L 米 m 質(zhì)量 M 千克 kg 時(shí)間 T 秒 s 電流強(qiáng)度 I 安培 A 溫度 開爾文 K 光強(qiáng) J 坎德拉 cd 物質(zhì)的量 N 摩爾 mol,導(dǎo) 出 量 名稱 單 位 符 號(hào) 力 牛 頓 N（kgms-2） 能量 焦 耳 J（kgm2s-2） 功率 瓦

2、 特 W（kgm2s-3） 頻率 赫 茲 Hz（s-1） 壓強(qiáng) 帕斯卡 Pa（kgm-1s-2）,2. 量綱： 10. 量綱：一個(gè)物理量Q一般都可以表示為基本量乘冪之積。稱這個(gè)乘冪之積的表達(dá)式 Q=L M T I J N 為該物理量對(duì)選定的這組基本量的量綱積或量綱表達(dá)式。, , , , , , 稱為量綱指數(shù)。 例. 長(zhǎng)度=L、質(zhì)量=M、時(shí)間=T、 面積=L2 體積=L3、 速度=LT-1, 加速度=LT-2、力=MLT-2, 能量=ML2T-2.,注 1. 物理量的量綱只依賴于基本量的選擇，獨(dú)立于單位的確定。 2. 對(duì)于某個(gè)物理量Q, 如果 Q=L M T I J N ， 有=0，則稱之為無(wú)量

3、綱量，記為Q=1 。它將不依賴于選定的基本量。 3. 無(wú)量綱量不一定是無(wú)單位的量。,20. 量綱齊次法則 一個(gè)規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式中每一個(gè)加項(xiàng)的量綱必須是一致的，或者都是無(wú)量綱量。,例如, 牛頓第二定律 F=ma, F=MLT-2, ma=MLT-2,二. 量綱分析,量綱分析是在物理領(lǐng)域中建立數(shù)學(xué) 模型的方法，利用物理量的量綱提供的 信息，根據(jù)量綱齊次法則確定物理量之 間的關(guān)系。,在數(shù)學(xué)的應(yīng)用中,需處理的往往不是“純粹的” 數(shù),而是反映事物某一特性的度量.,用數(shù)加單位來(lái)表示具體度量；,用量綱的概念來(lái)表示被度量的特性.,量綱分析法是一種有效的物理建模方法,一.單位,SI 國(guó)際單位制（米千克秒）；,f

4、ps 英制單位制（英尺磅秒）,一個(gè)模型中單位必須統(tǒng)一,二.量綱,時(shí)間（T）,基本物理量,質(zhì)量（M）,長(zhǎng)度（L）,力學(xué)中，任何物理量 都可以表示為其組合形 式，稱這種組合形式為 物理量的量綱.,稱為 基本量綱,其中 質(zhì)量= m =M, 長(zhǎng)度= l =L, 時(shí)間= t =T,例4.1.1,加速度= a =LT2 ;,因?yàn)榱?F=ma, 故 F = m a =MLT2;,部分物理常數(shù)也有量綱，如萬(wàn)有引力定律,中的引力常數(shù)K的量綱為,速度= v = = =LT1 ;,部分物理量是無(wú)量綱的,稱之為純數(shù)字,如 角度=LL1=L0,盡管角度是無(wú)量綱量,但它有單位(弧度).,量 綱 獨(dú) 立 于 單 位,三.

5、量綱齊次性（Dimensional Homogeneity）,量綱齊次原則: 任一有意義的物理方程必定是量綱一致的,即有 左邊 = 右邊,1. 對(duì)數(shù)學(xué)模型和模型的解進(jìn)行量綱一致性檢驗(yàn).,2. 無(wú)量綱化方法減少參數(shù)個(gè)數(shù).,例4.1.2 非線性震蕩運(yùn)動(dòng)方程,模型中有參數(shù)：m、K、C,令 x0=x(0) , w0 = , v0=x0 w0 ,根據(jù)量綱齊次性, 有, w0 =T1 , F =MLT2 , K =MT2, C = MT1.,引進(jìn)無(wú)量綱量： T=w0t , X=x/x0 , V=v/v0,特點(diǎn)？,代入原方程，有,= XAV+F0,其中，因v0=x0w0 , w0=,原方程變形為,優(yōu)點(diǎn)：,1

6、. 減少了參數(shù)的個(gè)數(shù)；,2. 方程中的變量X、V、T都是無(wú)量綱量.,4.2 量綱分析建模范例,量綱分析是20世紀(jì)初提出的在物理領(lǐng)域中 建立數(shù)學(xué)模型的一種方法.,對(duì)所設(shè)問(wèn)題有一定了解，在實(shí)驗(yàn)和經(jīng)驗(yàn)的 基礎(chǔ)上利用量綱齊次原則來(lái)確定各物理量之 間的關(guān)系.,例4.2.1 單擺運(yùn)動(dòng),將質(zhì)量為m 的一個(gè)小球系在長(zhǎng)度為l 的線的 一端,稍偏離平衡位置后小球在重力mg的作用,下(g為重力加速度),做往復(fù)擺動(dòng). 忽略阻力, 求擺動(dòng)周期t的表達(dá)式.,求解 考慮問(wèn)題中出現(xiàn)的物理量t、m、l、g， 假設(shè)它們之間有關(guān)式,其中1,2,3是待定常數(shù),是無(wú)量綱的 比例常數(shù).上式的量綱表達(dá)式為,(1),將 t =T, m=M,

7、 l =L, g =LT2 代入得,(2),按照量綱齊次性,有,求解為,代入式(1) 得,續(xù)例4.2.1 單擺運(yùn)動(dòng)的抽象,設(shè)變量關(guān)系為 f (t，m，l，g) =0， (3) 假設(shè)各變量間的關(guān)系如下：,(4),其中y1y4 是待定常數(shù),是無(wú)量綱量. 各變量的量綱用基本量綱表示如下： t =L0M0T1, m =L0M1T0, l =L1M0T0, g =L1M0T2,(4) 式的量綱表達(dá)式為,根據(jù)量綱齊次性，有線性方程組成立,解得方程組的一個(gè)解為,代入(4)式有,或者,(5),將此例一般化有以下定理,Buckingham Pi定理：,設(shè)有m 個(gè)物理量 q1，q2， qm , 而 f (q1，q

8、2， qm )=0 (6),是與量綱單位的選取無(wú)關(guān)的物理定律。X1, X2, , Xn 是基本量綱,其中nm，q1，q2， qm 的量綱可表為,矩陣A=ai,jnm稱為量綱矩陣. 若A的秩 Rank(A)=r,若齊次線性方程組 AY=0 ( y是m維向量)的 mr個(gè)基本解為：,ys=(ys1, ys2, , ysm)T , s=1,2, ,mr,為 mr 個(gè)相互獨(dú)立的無(wú)量綱量,且,F(1, 2, ，mr)=0 (7),與(6) 式等價(jià), 其中F的形式未知.,例4.2.2 航船阻力,長(zhǎng)度為l、吃水深度h的船以速度v 航行,若不 考慮風(fēng)的影響,那么航船受到的阻力f除依賴船 的諸變量l, h, v

9、以外,還與水的參數(shù)密度, 粘性系數(shù),以及重力加速度g有關(guān).,下面用量綱分析法確定阻力與這些物理量 之間的關(guān)系.,1.航船問(wèn)題中涉及物理量滿足的物理關(guān)系記為,(f, l, h, v, g)=0 (8),2.這是力學(xué)問(wèn)題,基本量綱選為L(zhǎng)、M、T, 各物理量的量綱表示為,3.寫出量綱矩陣,(f) (l) (h) (v) () () (g),方程有mr=73=4個(gè)基本解, 可取為,4.求解齊次線性方程組 AY=0,因Rank (A)=r=3,5. 給出4個(gè)相互獨(dú)立的無(wú)量綱量,(9),式(9) 與 (1,2,3,4)=0 等價(jià),是 未定的函數(shù).兩式表達(dá)了航船問(wèn)題中各物 理量之間的全部關(guān)系.,為得到阻力f

10、的表達(dá)式，由式(1)及式(9)中 4的式子可寫出,f=l2v2(1,2,3) 其中表示一個(gè)未定函數(shù),用量綱分析法確定的航船阻力與各物理量 之間的關(guān)系，這個(gè)結(jié)果用通常的機(jī)理分析法 難以得到,雖然函數(shù)的形式無(wú)從知道,但這個(gè)表達(dá)式 在物理模擬問(wèn)題中仍有用途.,例4.2.3 物理模擬中的比例模型,利用航船阻力問(wèn)題的結(jié)果討論怎樣構(gòu)造航 船模型，以確定原型航船在海洋中受到的阻力,量綱不變性:無(wú)量綱量在模型和原型中保持不變,模型中的各物理量： 原型中的各物理量：,有,當(dāng)無(wú)量綱量,成立時(shí),可得,原型航船的阻力可由模型船的阻力及其他 有關(guān)量算出.,應(yīng)用量綱分析法建立數(shù)學(xué)模型應(yīng)注意：,1. 正確確定模型中所含物理量,主要靠經(jīng)驗(yàn)和背景知識(shí), 沒有一般的方法可以 保證得到的結(jié)果是正確或有效.,2. 合理選擇基本量綱,3. 應(yīng)根據(jù)特定的建模目的恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造基本解.,一般，在力學(xué)中選取L、M、T即可, 熱學(xué)問(wèn)題 加上溫度量綱，電學(xué)問(wèn)題加上電量量綱Q).,量綱分析建模方法有如下優(yōu)缺點(diǎn):,1.不需要專門的物理知識(shí)和高深的數(shù)學(xué)方法， 可以得到用其他復(fù)雜