幾何概型復(fù)習(xí)課件(總結(jié))...ppt

1、要點(diǎn)梳理 1.幾何概型 如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的_ _(_或_)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何 概率模型,簡稱為_. 2.幾何概型中,事件A的概率計(jì)算公式 P(A)= .,幾何概型,長,度,面積,體積,幾何概型,基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí),3.要切實(shí)理解并掌握幾何概型試驗(yàn)的兩個(gè)基本特點(diǎn): (1)無限性：在一次試驗(yàn)中,可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限 多個(gè)； (2)等可能性：每個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性. 4.幾何概型的試驗(yàn)中,事件A的概率P(A)只與子區(qū)域A 的幾何度量(長度、面積或體積)成正比,而與A的位 置和形狀無關(guān). 5.求試驗(yàn)中幾何概型的概率,關(guān)鍵是求得事件所占區(qū) 域和整個(gè)區(qū)域 的幾何度

2、量,然后代入公式即可求 解.,1“概率為1的事件一定是必然事件，概率為0的事件一定是不可能事件”，這個(gè)說法正確嗎？ 【提示】不正確如果隨機(jī)事件所在區(qū)域是一個(gè)單點(diǎn)，由于單點(diǎn)的長度、面積、體積均為0，則它的概率為0，事件可能發(fā)生，所以概率為0的事件不一定是不可能事件；如果一個(gè)隨機(jī)事件所在區(qū)域是全部區(qū)域扣除一個(gè)單點(diǎn)，則它的概率為1，但它不是必然事件,2古典概型與幾何概型有哪些異同點(diǎn)？ 【提示】古典概型與幾何概型中基本事件發(fā)生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限個(gè)，而幾何概型的基本事件有無限個(gè),題型一 與長度有關(guān)的幾何概型 【例1】有一段長為10米的木棍,現(xiàn)要截成兩段,每段 不小于3米的概

3、率有多大？ 從每一個(gè)位置剪斷都是一個(gè)基本事件,基 本事件有無限多個(gè).但在每一處剪斷的可能性相等, 故是幾何概型.,思維啟迪,題型分類 深度剖析,解 記“剪得兩段都不小于3米”為事件A,從木棍的 兩端各度量出3米,這樣中間就有10-3-3=4(米).在中 間的4米長的木棍處剪都能滿足條件, 所以 從該題可以看出,我們將每個(gè)事件理解為 從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn),該區(qū)域中每 一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣.而一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生則 理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn), 這樣的概率模型就可以用幾何概型來求解.,探究提高,知能遷移1 平面上有一組平行線,且相鄰平行線間 的距離為3 cm,把一枚

4、半徑為1 cm的硬幣任意平拋在 這個(gè)平面上,則硬幣不與任何一條平行線相碰的概率 是 ( ) A. B. C. D. 解析 如圖所示,這是長度型幾何概型問題,當(dāng)硬幣 中心落在陰影區(qū)域時(shí)，硬幣不與任何一條平行線相 碰,故所求概率為,B,題型二 與面積(或體積)有關(guān)的幾何概型 在邊長為2的正ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P, 則使點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離至少有一個(gè)小于1的概率 是_. 解析 以A、B、C為圓心,以1為半 徑作圓,與ABC交出三個(gè)扇形, 當(dāng)P落在其內(nèi)時(shí)符合要求.,題型三 與角度有關(guān)的幾何概型 【例3】在RtABC中,A=30,過直角頂點(diǎn)C作射 線CM交線段AB于M,求使|AM|AC|的概率. 如圖所示,

5、因?yàn)檫^一 點(diǎn)作射線是均勻的,因而應(yīng)把在 ACB內(nèi)作射線CM看做是等可能 的,基本事件是射線CM落在ACB內(nèi)任一處,使 |AM|AC|的概率只與BCC的大小有關(guān),這符合 幾何概型的條件.,思維啟迪,解 設(shè)事件D為“作射線CM,使|AM|AC|”. 在AB上取點(diǎn)C使|AC|=|AC|,因?yàn)锳CC是等 腰三角形,所以 幾何概型的關(guān)鍵是選擇“測度”,如本例 以角度為“測度”.因?yàn)樯渚€CM落在ACB內(nèi)的任意 位置是等可能的.若以長度為“測度”,就是錯(cuò)誤的, 因?yàn)镸在AB上的落點(diǎn)不是等可能的.,探究提高,知能遷移3 在圓心角為90的扇形AOB中,以圓心O 為起點(diǎn)作射線OC,求使得AOC和BOC都不小于 3

6、0的概率. 解 如圖所示,把圓弧AB三等分,則 AOF=BOE=30,記A為“在扇 形AOB內(nèi)作一射線OC,使AOC和 BOC都不小于30”,要使AOC和BOC都不小 于30,則OC就落在EOF內(nèi),題型四 可化為幾何概型的概率問題 【例4】甲、乙兩人約定在6時(shí)到7時(shí)之間在某處會(huì)面, 并約定先到者應(yīng)等候另一人一刻鐘,過時(shí)即可離去. 求兩人能會(huì)面的概率. 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)用x軸表示甲到達(dá) 約會(huì)地點(diǎn)的時(shí)間,y軸表示乙到達(dá)約會(huì)地點(diǎn)的時(shí)間,用 0分到60分表示6時(shí)到7時(shí)的時(shí)間段,則橫軸0到60與縱 軸0到60的正方形中任一點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)就表示甲、 乙兩人分別在6時(shí)到7時(shí)時(shí)間段內(nèi)到達(dá)的時(shí)間.而能會(huì)

7、面的時(shí)間由|x-y|15所對應(yīng)的圖中陰影部分表示.,思維啟迪,解 以x軸和y軸分別表示甲、乙 兩人到達(dá)約定地點(diǎn)的時(shí)間,則兩人 能夠會(huì)面的充要條件是|x-y|15. 在如圖所示平面直角坐標(biāo)系下, (x,y)的所有可能結(jié)果是邊長為60的正方形區(qū)域,而事 件A“兩人能夠會(huì)面”的可能結(jié)果由圖中的陰影部分 表示. 由幾何概型的概率公式得： 所以,兩人能會(huì)面的概率是,探究提高 (1)甲、乙兩人都是在67時(shí)內(nèi)的任意時(shí) 刻到達(dá)會(huì)面地點(diǎn),故每一對結(jié)果對應(yīng)兩個(gè)時(shí)間,分別用 x,y軸上的數(shù)表示,則每一個(gè)結(jié)果(x,y)就對應(yīng)于圖中 正方形內(nèi)的任一點(diǎn). (2)找出事件A發(fā)生的條件,并把它在圖中的區(qū)域找出 來,分別計(jì)算面

8、積即可. (3)本題的難點(diǎn)是把兩個(gè)時(shí)間分別用x,y兩個(gè)坐標(biāo)表 示,構(gòu)成平面內(nèi)的點(diǎn)(x,y),從而把時(shí)間是一段長度問 題轉(zhuǎn)化為平面圖形的二維面積問題,進(jìn)而轉(zhuǎn)化成面積 型幾何概型的問題.,1.幾何概型也是一種概率模型,它與古典概型的區(qū)別 是試驗(yàn)的可能結(jié)果不是有限個(gè).它的特點(diǎn)是試驗(yàn)結(jié)果 在一個(gè)區(qū)域內(nèi)均勻分布,所以隨機(jī)事件的概率大小與 隨機(jī)事件所在區(qū)域的形狀位置無關(guān),只與該區(qū)域的大 小有關(guān). 2.幾何概型的“約會(huì)問題”已經(jīng)是程序化的方法與技 巧,必須熟練掌握.,方法與技巧,思想方法 感悟提高,幾何概型具有無限性和等可能性兩個(gè)特點(diǎn).無限性是 指在一次試驗(yàn)中,基本事件的個(gè)數(shù)可以是無限的；等 可能性是指每一

9、個(gè)基本事件發(fā)生的可能性是均等的. 因此,用幾何概型求解的概率問題和古典概型的思路 是相同的,同屬于“比例解法”,即隨機(jī)事件A的概率 可以用“事件A包含的基本事件所占的圖形長度(面積 或體積)”與“試驗(yàn)的基本事件所占總長度(面積或體 積)”之比來表示.,失誤與防范,一、選擇題 1.在長為12 cm的線段AB上任取一點(diǎn)M,并以線段AM 為邊作正方形,則這個(gè)正方形的面積介于36 cm2與 81 cm2之間的概率為 ( ) A. B. C. D. 解析 面積為36 cm2時(shí),邊長AM=6, 面積為81 cm2時(shí),邊長AM=9,A,定時(shí)檢測,2.在區(qū)域 內(nèi)任取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P落在單 位圓x2+y2=1內(nèi)的

10、概率為 ( ) A. B. C. D. 解析 區(qū)域?yàn)锳BC內(nèi)部(含邊界),則概率為,D,3.在面積為S的ABC的邊AB上任取一點(diǎn)P,則PBC 的面積大于 的概率是 ( ) A. B. C. D. 解析 由ABC,PBC有公共底邊BC,所以只需P位 于線段BA靠近B的四分之一分點(diǎn)E與A之間,這是一個(gè) 幾何概型,C,4.已知正三棱錐SABC的底面邊長為4,高為3,在正 三棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)P,使得VPABC VSABC的概率 是 ( ) A. B. C. D. 解析 當(dāng)P在三棱錐的中截面及下底面構(gòu)成的正三 棱臺(tái)內(nèi)時(shí)符合要求,由幾何概型知,A,5.(2009遼寧)ABCD為長方形,AB=2,BC=1,O

11、為AB 的中點(diǎn),在長方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),取到的點(diǎn)到O 的距離大于1的概率為 ( ) A. B. C. D. 解析 如圖,要使圖中點(diǎn)到O的 距離大于1,則該點(diǎn)需取在圖中陰 影部分,故概率為,B,6.(2009山東)在區(qū)間 上隨機(jī)取一個(gè) 數(shù)x,cos x的值介于0到 之間的概率為 ( ) A. B. C. D. 解析,A,二、填空題 7.(2008江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)D是橫 坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對值均不大于2的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域, E是到原點(diǎn)的距離不大于1的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域,向D中隨 機(jī)投一點(diǎn),則落入E中的概率為_. 解析 如圖所示,區(qū)域D表示邊長 為4的正方形的內(nèi)部(含邊界),區(qū) 域E表示

12、單位圓及其內(nèi)部,8.已知函數(shù)f(x)= 若a是從區(qū)間0，2上任取 的一個(gè)數(shù),b是從區(qū)間0,2上任取的一個(gè)數(shù),則此函 數(shù)在1,+)遞增的概率為_. 解析 令t=ax2-bx+1,函數(shù)f(x)在1,+)上遞增,根 據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法,則t=ax2-bx+1須在 1,+)上遞增,由題意得 畫出圖示得 陰影部分面積. 概率為 答案,9.(2009福建)點(diǎn)A為周長等于3的圓周上的一個(gè)定 點(diǎn).若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)B,則劣弧 的長度小 于1的概率為_. 解析 圓周上使弧 的長度為1的點(diǎn)M有兩個(gè),設(shè) 為M1,M2,則過A的圓弧 的長度為2,B點(diǎn)落在 優(yōu)弧 上就能使劣弧 的長度小于1,所以劣弧 的長度

13、小于1的概率為,三、解答題 10.如圖所示,在單位圓O的某一直徑上隨機(jī)的取一點(diǎn) Q，求過點(diǎn)Q且與該直徑垂直的弦長長度不超過1的 概率.,解 弦長不超過1,即|OQ| 而Q點(diǎn)在直徑AB 上是隨機(jī)的,事件A=弦長超過1. 由幾何概型的概率公式得 弦長不超過1的概率為 答 所求弦長不超過1的概率為,11.投擲一個(gè)質(zhì)地均勻的、每個(gè)面上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字的 正方體玩具,它的六個(gè)面中,有兩個(gè)面標(biāo)的數(shù)字是0, 兩個(gè)面標(biāo)的數(shù)字是2,兩個(gè)面標(biāo)的數(shù)字是4,將此玩具 連續(xù)拋擲兩次,以兩次朝上一面的數(shù)字分別作為點(diǎn)P 的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo). (1)求點(diǎn)P落在區(qū)域C：x2+y210內(nèi)的概率； (2)若以落在區(qū)域C上的所有點(diǎn)為頂點(diǎn)作面積最大的 多邊形區(qū)域M,在區(qū)域C上隨機(jī)撒一粒豆子,求豆子落 在區(qū)域M上的概率.,解 (1)以0、2、4為橫、縱坐標(biāo) 的點(diǎn)P共有(0,0)、(0,2)、(0,4)、 (2,0)、(2,2)、(2,4)、(4,0)、 (4,2)、(4,4)共9個(gè),而這些點(diǎn)中, 落在區(qū)域C內(nèi)的點(diǎn)有： (0,0)、(0,2)、(2,0)、(2,2)共4個(gè), 所求概率為 (2)區(qū)域M的面積為4,而區(qū)域C的面積為 所求概率為,12.甲、乙兩艘輪船駛向一個(gè)不能同時(shí)停泊兩艘輪船 的碼頭,它們在一晝夜內(nèi)任何時(shí)刻到達(dá)是等可能的. (1)如果甲船和乙船的停泊時(shí)間都是4小時(shí),求它們中 的任何一條船不需要等待碼頭空出