有限元法基礎(chǔ)-11熱傳導(dǎo)與熱應(yīng)力.ppt

1、,有限元法基礎(chǔ),1,第11章 傳熱分析與熱應(yīng)力,11 傳熱分析與熱應(yīng)力,本章參考書 孔祥謙. 有限單元法在傳熱學(xué)中的應(yīng)用. 第三版，科學(xué)出版社，1998 王勖成. 有限單元法. 清華大學(xué)出版社，2003. 第12章 曾攀. 有限元分析及應(yīng)用. 清華大學(xué)出版社，2004 . 第8章,2,11. 傳熱分析與熱應(yīng)力,傳熱是廣泛存在的自然現(xiàn)象，只要有溫度差存在，就會有熱量的傳遞，只要有熱量的輸入和輸出，就會引起溫度的變化。 傳熱分析的對象是固體、液體和氣體，其應(yīng)用包括熱量交換、化學(xué)反應(yīng)、材料相變、能量轉(zhuǎn)換等。 溫度的變化和不均勻分布，引起結(jié)構(gòu)出現(xiàn)應(yīng)力變化，稱為熱應(yīng)力。 當(dāng)以應(yīng)力分析為目的時(shí)，為確定溫度

2、場，需要對固體進(jìn)行傳熱計(jì)算，以便確定相關(guān)的熱應(yīng)力。,3,11 傳熱分析與熱應(yīng)力,11.1 傳熱問題的基本方程 固體熱傳導(dǎo)的現(xiàn)象,4,11 傳熱分析與熱應(yīng)力,術(shù)語和單位 在國際標(biāo)準(zhǔn)單位制中，傳熱分析的術(shù)語和單位,5,11 傳熱分析與熱應(yīng)力,控制方程 對于微元dxdydz，生成的熱量為 微元體內(nèi)的凈流出熱流量為 由于熱量的儲存使內(nèi)能增加，即 由能量守恒定律，在微元內(nèi)有,6,11 傳熱分析與熱應(yīng)力,由于方程不封閉，需補(bǔ)充條件。各向同性均勻材料的Fourier定律 于是，有 第一類邊界條件：邊界上已知溫度T，即 第二類邊界條件：邊界上已知熱流密度，即 第三類邊界條件：已知與物體相接觸的流體介質(zhì)的溫度和

3、換熱系數(shù)為已知，即,7,11 傳熱分析與熱應(yīng)力,11.2 變分原理與有限元 瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問題變分泛函為 穩(wěn)態(tài)問題，溫度不隨時(shí)間變化 泛函的變分取駐值，可得控制方程和第二類和第三類邊界條件 第一類邊界條件應(yīng)強(qiáng)制滿足，稱為本質(zhì)邊界條件； 第二、第三類邊界條件是自然邊界條件。,8,11 傳熱分析與熱應(yīng)力,有限元法 將物體離散為n個單元體，即 ，將單元內(nèi)的溫度場用節(jié)點(diǎn)上的溫度插值，有 代入泛函，泛函稱為,9,11 傳熱分析與熱應(yīng)力,將單元矩陣組合后，得到物體的總體矩陣，對泛函變分取極值，即 得有限元方程組 KT稱為熱傳導(dǎo)矩陣，C為熱容矩陣，RT為等效節(jié)點(diǎn)溫度載荷列陣。 對穩(wěn)態(tài)問題，上述方程是線性的，熱傳

4、導(dǎo)方程是對稱正定的，求解類方法似于結(jié)構(gòu)分析。 對瞬態(tài)問題，需采用有限差分法，將 離散，或采用顯式時(shí)間積分，如中心差分，或采用隱式時(shí)間積分，如Newmark差分。,10,11 傳熱分析與熱應(yīng)力,對線性瞬態(tài)問題，還可采用結(jié)構(gòu)分析中的模態(tài)迭加法 首先求特征問題 每個特征向量T i相對于C正則化，即 令 是模態(tài)矩陣，它的每一列是正則化的特征向量T i，于是 可將節(jié)點(diǎn)溫度表示為廣義溫度Z的關(guān)系 將其代入有限元方程，并左乘 得到n個解耦的方程組 積分上述方程組后，得Z(t)，由此可得到節(jié)點(diǎn)T(t)。,11,11 傳熱分析與熱應(yīng)力,11.3熱輻射 考慮兩個無限大的平行平面，由于無限大，不用考慮邊界效應(yīng)。設(shè)每

5、個平面都有均勻溫度，平面1的溫度為T1，平面2的溫度為T2，平面都是理想的黑體，因此每個平面都是理想的吸收體和輻射體，平面表面的熱流量為 是Stefan-Boltzman常數(shù)。由于實(shí)際的輻射面并非理想黑體，也不是無窮大的平面，也不一定平行，因此把面積為A1和溫度T1表面所接收的熱流量表示為 包含了各種因素引起的輻射折減，包括視圖因子和輻射率等。,12,11 傳熱分析與熱應(yīng)力,由于輻射面是有限的、非平行的，用視圖因子表示 對于兩個無限大的平行面為1，對于兩個相互看不見的平面是0,13,11 傳熱分析與熱應(yīng)力,與面積為A1交換輻射能的表面有多少個，就有多少個式子。如果A1不是很大，可認(rèn)為Q1在A1

6、上是個常數(shù)，因此 與對流邊界比較，該式與之相同。因此在有限元方程中將h項(xiàng)中換成 就可用有限元分析輻射問題。 需注意， 是與溫度有關(guān)的，故輻射問題是高度非線性問題。 當(dāng)材料常數(shù)是溫度的函數(shù)，問題也是非線性的。 非線性方程可采用Newton-Raphson法求解，但有一些特殊的適合傳熱問題的處理方法。 為了避免輻射的強(qiáng)非線性，實(shí)際問題的處理，有時(shí)將 也處理為常數(shù)，如在熱鍛時(shí)的傳熱分析。,14,11 傳熱分析與熱應(yīng)力,11.4伴有相變的導(dǎo)熱問題 特點(diǎn)：控制方程是非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱方程，區(qū)域內(nèi)存在一個隨時(shí)間移動的兩相界面，在界面上放出或吸收潛熱。 1891年J. Stefan關(guān)于地極冰層厚度的研究首次討論這一

7、課題。 當(dāng)越過相變區(qū)間時(shí)，熱流密度不連續(xù)，在數(shù)學(xué)上是一個強(qiáng)非線性問題，計(jì)算發(fā)生困難。,15,11 傳熱分析與熱應(yīng)力,相變界面的兩邊各自滿足非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱控制方程，一般為了簡單略去液相區(qū)的自然對流或強(qiáng)制對流等作用。 在相變界面S(t)上，滿足溫度連續(xù)條件 能量守恒條件 設(shè)L J/kg為物質(zhì)的相變潛熱，則 由于相變界面的移動，給數(shù)值方法帶來困難。,16,11 傳熱分析與熱應(yīng)力,焓法模型 采用焓（HcT）和溫度同時(shí)作為待求函數(shù)。由于相變界面上溫度隨時(shí)間的變化曲線是間斷的，但焓隨時(shí)間的變化曲線是連續(xù)的，因此用數(shù)值方法求解焓分布時(shí)不需跟蹤兩相界面，從而使液相區(qū)和固相區(qū)統(tǒng)一處理稱為可能，焓場解出后，溫度場可容

8、易得到。,17,11 傳熱分析與熱應(yīng)力,焓表示的傳熱方程為 其中溫度與焓的關(guān)系為,18,11 傳熱分析與熱應(yīng)力,有限元法中的處理 （1）相變潛熱作為附加比熱 用加權(quán)余量法推導(dǎo)有限元方程，有 使用T 的插值的形函數(shù)作為權(quán)函數(shù)，可得Galerkin法的有限元方程。 式中fs是固相率,為無因次量, , 液相0, 固相為1。,19,11 傳熱分析與熱應(yīng)力,（2）相變潛熱作為源項(xiàng) 在前面的公式中，相變潛熱項(xiàng) 與內(nèi)熱源項(xiàng) 作相同處理，得有限元方程 是與相變項(xiàng)有關(guān)的等效載荷。 由于相變得復(fù)雜性，在實(shí)際數(shù)值模擬中，尤其在大型結(jié)構(gòu)計(jì)算時(shí)，不考慮相變的兩相問題，相變的影響只考慮潛熱，把它作為一個常熱源處理。,20

9、,11 傳熱分析與熱應(yīng)力,11.5 熱應(yīng)力（Thermal stress） 大多數(shù)情況下，傳熱問題所確定的溫度場將直接影響物體的熱應(yīng)力,而熱應(yīng)力對溫度場的耦合影響不大，因而可將物體的熱問題看成是單向耦合過程。 （一）熱應(yīng)力問題中的物理方程 熱膨脹系數(shù)（Thermal expansion coefficent）, 為Lam系數(shù),21,11 傳熱分析與熱應(yīng)力,將熱應(yīng)變看作初始應(yīng)變，上式寫為 其中初應(yīng)變?yōu)?，矩陣形式 （二）虛功原理 彈性力學(xué)問題的虛功原理為內(nèi)力虛功等于外力虛功，即 將物理方程代入，得,22,11 傳熱分析與熱應(yīng)力,（三）有限元列式 設(shè)單元節(jié)點(diǎn)列陣為 假設(shè)單元內(nèi)位移由節(jié)點(diǎn)位移表示的插

10、值函數(shù)為 應(yīng)變可表示為 虛位移與虛應(yīng)變?yōu)?代入虛功原理，得 其中 組裝到總體矩陣后，由于 的任意性，得到有限元方程,23,11 傳熱分析與熱應(yīng)力,（三）求解熱應(yīng)力的方法 在有限元分析程序中解熱應(yīng)力問題有兩種方法，即直接法和間接法。 直接法 直接將傳熱分析和熱應(yīng)力耦合起來分析的方法。在求解時(shí)，直接將傳熱邊界條件、力學(xué)邊界條件施加在有限元模型上，以節(jié)點(diǎn)溫度和位移作為未知變量求解。 在有限元商業(yè)軟件中，有多場耦合單元，如ANSYS中Solid5和Solid98有熱、電、磁、壓電和結(jié)構(gòu)的耦合場單元，每節(jié)點(diǎn)有6DOF，即溫度、電勢、磁場強(qiáng)度勢函數(shù)，3個方向位移。,24,11 傳熱分析與熱應(yīng)力,間接法 熱

11、應(yīng)力問題是一個單向耦合問題，在多數(shù)情況下，溫度變化會產(chǎn)生熱應(yīng)變，但熱應(yīng)變部不引起溫度變化。這樣，可以將熱應(yīng)力問題分成兩個過程來計(jì)算分析，即傳熱分析和熱應(yīng)力計(jì)算。 首先通過傳熱分析獲得結(jié)構(gòu)的溫度場分布，然后在已知溫度分布的情況下求熱應(yīng)力。 優(yōu)點(diǎn)：1）求解規(guī)模比直接法小，有更高的計(jì)算效率； 2）在瞬態(tài)問題時(shí)，可先求解溫度場，然后在關(guān)心的時(shí)間點(diǎn)上 求熱應(yīng)力，可節(jié)省大量的存儲空間，即使是非線性問題也 可這樣處理。,25,11 傳熱分析與熱應(yīng)力,例 穩(wěn)態(tài)溫度分析 一圓柱型容器上，垂直接有一小管道， 容器內(nèi)裝有450F的液體，小管內(nèi)有100F 的流體。假設(shè)容器足夠長，遠(yuǎn)端的溫度 為450F。,26,11

12、傳熱分析與熱應(yīng)力,例 穩(wěn)態(tài)溫度長分析（續(xù)）,網(wǎng)格圖,溫度分布,27,11 傳熱分析與熱應(yīng)力,例 穩(wěn)態(tài)溫度常分析（續(xù)）,28,11 傳熱分析與熱應(yīng)力,例 穩(wěn)態(tài)溫度長分析（續(xù)） 等效應(yīng)力分布圖,29,11 傳熱分析與熱應(yīng)力,例 液固相變分析 有厚度為a得液體，初始溫度為T0, 在其上表面突加溫度TsT0，分析液體 的溫度變化及相變情況，假設(shè)液體的 其他邊界是絕熱的。,30,11 傳熱分析與熱應(yīng)力,例 液固相變分析（續(xù)） 相變潛熱（latent heat）的影響以焓的快速變化來反映。 焓（enthalpy）與溫度的變化曲線,31,例 液固相變分析（續(xù)） 經(jīng)計(jì)算分析，在789s797s間液體開始完全固

13、化，即節(jié)點(diǎn)2開始降溫至1 。 在501s時(shí)溫度沿厚度的分布 各節(jié)點(diǎn)溫度隨時(shí)間的變化,11 傳熱分析與熱應(yīng)力,32,11 傳熱分析與熱應(yīng)力,例 熱處理分析 將工件放在一定介質(zhì)中加熱到適宜的溫度、并在此溫度中保持一定時(shí)間后、又以不同速度冷卻的一種工藝方法。熱處理不改變工件的形狀和整體化學(xué)成分，而是通過改變工件內(nèi)部的顯微組織，或改變工件的表面的化學(xué)成分，賦予或改變工件的使用性能。 特點(diǎn)：1）有熱傳導(dǎo) 2）有相變 3）熱力耦合,33,11 傳熱分析與熱應(yīng)力,例 熱處理分析(續(xù)) 淬火分析的網(wǎng)格和 溫度分布,34,2 傳熱分析與熱應(yīng)力,35,11 傳熱分析與熱應(yīng)力,熱處理分析（續(xù)） 典型的導(dǎo)熱系數(shù)曲線,

14、36,11 傳熱分析與熱應(yīng)力,熱處理分析（續(xù)） 典型的質(zhì)量密度曲線,37,11 傳熱分析與熱應(yīng)力,熱處理分析（續(xù)） 典型的比熱容曲線,38,11 傳熱分析與熱應(yīng)力,熱處理分析（續(xù)） 典型的相變焓曲線,39,11傳熱分析與熱應(yīng)力,熱處理分析（續(xù)） 彈性模量曲線,40,11 傳熱分析與熱應(yīng)力,熱處理分析（續(xù)） 屈服應(yīng)力曲線,41,11 傳熱分析與熱應(yīng)力,熱處理分析（續(xù)） 淬火實(shí)驗(yàn)設(shè)備及淬火介質(zhì)的換熱系數(shù)曲線,42,11 傳熱分析與熱應(yīng)力,熱處理分析（續(xù)）幾種鋼的金相對比,43,2 傳熱分析與熱應(yīng)力,熱處理分析（續(xù)）,44,11 傳熱分析與熱應(yīng)力,熱處理分析（續(xù)）,45,11 傳熱分析與熱應(yīng)力,熱處理分析（續(xù)）,46,11 傳熱分析與熱應(yīng)力,焊接殘余應(yīng)力通過改變加輔助熱源改變殘余應(yīng)力分布,47,