北京課改版六年級上冊數(shù)學(xué)全冊知識小結(jié)

1、一分 數(shù) 乘 法一、分數(shù)乘整數(shù)1.分數(shù)乘整數(shù)的意義。求幾個相同加數(shù)的和的簡便運算。2.分數(shù)乘整數(shù)的計算方法。用分數(shù)的分子與整數(shù)相乘的積作分子,分母不變。當(dāng)整數(shù)與分母能約分時,可以先約分,再計算,結(jié)果不變。3.分數(shù)乘整數(shù)的計算方法同樣適用于整數(shù)乘分數(shù)。4.一個數(shù)乘分數(shù)的意義就是求這個數(shù)的幾分之幾是多少。5.求一個數(shù)的幾分之幾是多少,可以用乘法計算,即這個數(shù)乘幾分之幾。6.單位“1”的量比較量占單位“1”的幾分之幾=比較量。二、分數(shù)乘分數(shù)1.分數(shù)乘分數(shù)的意義。求一個分數(shù)的幾分之幾是多少。2.分數(shù)乘分數(shù)的計算方法。用分子和分子相乘的積作分子,分母和分母相乘的積作分母。計算分數(shù)乘分數(shù)時,能約分的應(yīng)先約

2、分,再計算。3.分數(shù)乘分數(shù)的特殊情況。(1)分數(shù)乘分數(shù)的計算方法也適用于小數(shù)乘分數(shù),即先把小數(shù)化成分數(shù),再計算。例如,0.513=1213=16。(2)分數(shù)乘分數(shù),這里的分數(shù)也可以是帶分數(shù),計算時要先把帶分數(shù)化成假分數(shù)。例如,12314=5314=512。4.因數(shù)與積的關(guān)系。一個數(shù)(0除外)乘大于1的數(shù),積大于這個數(shù);一個數(shù)(0除外)乘大于0且小于1的數(shù),積小于這個數(shù);一個數(shù)(0除外)乘1,積等于這個數(shù)。三、分數(shù)連乘1.連續(xù)求一個數(shù)的幾分之幾是多少的實際問題,解題關(guān)鍵是理清每一步中誰是單位“1”,誰是誰的幾分之幾,同時明確題中的數(shù)量關(guān)系。2.一般題目中和“誰”比,“誰”就是單位“1”的量。(1

3、)一種是題目里有典型特征的“比”字,“比”后面的量,即為單位“1”的量。(2)另一種是題目中沒有“比”字,但是題目中的兩個數(shù)量可以看作兩數(shù)的比較關(guān)系,如“占”“是”“相當(dāng)于”后面的量即為單位“1”的量。3.分數(shù)連乘的計算方法:用分子相乘的積作分子,用分母相乘的積作分母;如果有整數(shù),用整數(shù)與分子相乘的積作分子,用分母相乘的積作分母。計算過程中能約分的,要先約分,再計算。四、倒數(shù)1.倒數(shù)的意義。乘積是l的兩個數(shù)互為倒數(shù)。“互為倒數(shù)”是指兩個數(shù)之間是相互依存的,一個數(shù)不能稱為倒數(shù)。例如,5775=1,可以說57和75互為倒數(shù),也可以說57的倒數(shù)是75,或者說75的倒數(shù)是57。2.求一個數(shù)的倒數(shù)的方法

4、。(1)求真分數(shù)、假分數(shù)的倒數(shù):調(diào)換分子、分母的位置。(2)求整數(shù)的倒數(shù):先把整數(shù)(0除外)看作分母是1的假分數(shù),再調(diào)換分子、分母的位置。(3)求帶分數(shù)的倒數(shù):先把帶分數(shù)化為假分數(shù),再求假分數(shù)的倒數(shù)。3.真分數(shù)的倒數(shù)大于1,假分數(shù)的倒數(shù)等于或小于它本身。4. 1的倒數(shù)是1,0沒有倒數(shù)。分數(shù)乘整數(shù)的意義與整數(shù)乘法的意義相同。易錯點:分數(shù)與整數(shù)相乘時,誤將分子與整數(shù)約分,這是不對的,一定要注意是分母與整數(shù)約分。舉例:計算9106。錯解:9106=931062=610正解:9106=910563=275舉例:計算215710。錯解:21537102=146正解:21157105=775易錯點:混淆單

5、位“1”的量。舉例:甲數(shù)的23正好是乙數(shù),這句話中單位“1”的量是()。錯解:乙數(shù)正解:甲數(shù)易錯點:倒數(shù)表示的是乘積是1的兩個數(shù)相互依存的關(guān)系,不是數(shù)值相等的兩個數(shù)的數(shù)量關(guān)系,因此不能把互為倒數(shù)的兩個數(shù)用等號連接。舉例:寫出38的倒數(shù)。錯解:38=83。正解:38的倒數(shù)是83。二分 數(shù) 除 法一、分數(shù)除法的意義和分數(shù)除以整數(shù)1.分數(shù)除法的意義。分數(shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相同,都是已知兩個因數(shù)的積與其中的一個因數(shù),求另一個因數(shù)的運算。2.一個帶分數(shù)除以整數(shù),先把這個帶分數(shù)化成假分數(shù),再按照分數(shù)除以整數(shù)的計算方法進行計算。例如,4234=14314=76。二、一個數(shù)除以分數(shù)1.一個數(shù)除以分數(shù)的

6、計算方法。(1)計算方法:一個數(shù)除以分數(shù),等于乘分數(shù)的倒數(shù)。(2)將除法轉(zhuǎn)化成乘法的要點。被除數(shù)不變。除號變乘號。除數(shù)變成它的倒數(shù)。2.被除數(shù)與商的規(guī)律。(1)當(dāng)被除數(shù)不等于0時,0除數(shù)被除數(shù)。例如,122312。除數(shù)=1,商=被除數(shù)。例如,121=12。除數(shù)1,商被除數(shù)。例如,123212。(2)當(dāng)被除數(shù)=0,除數(shù)0時,商=被除數(shù)。例如,012=0。三、分數(shù)除法的計算方法甲數(shù)除以乙數(shù)(0除外),等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)。四、“已知一個數(shù)的幾分之幾是多少,求這個數(shù)”的簡單實際問題1.“已知一個數(shù)的幾分之幾是多少,求這個數(shù)”的簡單實際問題的解題方法。(1)方程法。找出單位“1”,設(shè)單位“1”的量為x

7、。找出題中的等量關(guān)系式。列出方程并解答。列方程解題的關(guān)鍵是找出題中的等量關(guān)系。(2)算術(shù)法。找出單位“1”。找出已知量和已知量占單位“1”的幾分之幾。列出除法算式并解答。用算術(shù)法解除法應(yīng)用題的關(guān)鍵是找準已知量占單位“1”的幾分之幾。2.算術(shù)法與方程法的區(qū)別。用算術(shù)法解分數(shù)除法的實際問題需要逆向思考,從“已知一個數(shù)的幾分之幾是多少,求這個數(shù)”的角度去理解數(shù)量關(guān)系;用方程法解分數(shù)除法的實際問題,只要根據(jù)分數(shù)乘法的意義順向思考,找到等量關(guān)系式列出方程并解答即可,方程法比算術(shù)法更易于理解。五、分數(shù)四則混合運算及簡便算法1.分數(shù)四則混合運算的運算順序。(1)分數(shù)四則混合運算的運算順序和整數(shù)四則混合運算的

8、運算順序相同。如果算式中含有兩級運算,要先算乘、除法,后算加、減法;如果只含有同一級運算,要按照從左到右的順序計算;如果有括號,要先算小括號里面的,再算中括號里面的,最后算括號外面的。(2)在計算過程中能約分的要先約分,這樣可以使計算簡便。2.整數(shù)乘法運算定律在分數(shù)四則混合運算中的運用。整數(shù)乘法運算定律在分數(shù)四則混合運算中同樣適用。在分數(shù)四則混合運算中,適合整數(shù)乘法運算定律的,使用整數(shù)乘法運算定律,可以使計算簡便。加法結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c)乘法交換律:ab=ba乘法結(jié)合律:(ab)c=a(bc)乘法分配律:(a+b)c=ac+bc無論是分數(shù)除以整數(shù),還是分數(shù)除以分數(shù),都可以轉(zhuǎn)化

9、成被除數(shù)乘除數(shù)的倒數(shù)。易錯點:在除法算式中,易忽略除數(shù)不能為0這個條件。舉例:判斷:甲數(shù)除以乙數(shù),等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)。()錯解:正解:分析:此題錯在忽略了除數(shù)不能為0這個條件。易錯點:用算術(shù)法解分數(shù)除法應(yīng)用題時,先找準單位“1”的量,再根據(jù)分數(shù)除法的意義列式解答。易把除法算式列為乘法算式。舉例:小麗家養(yǎng)了一些兔子,灰兔有12只,正好是白兔只數(shù)的34。白兔有多少只?錯解:1234=9(只)答:白兔有9只。正解:1234=16(只)答:白兔有16只。易錯點:同一級運算,按照從左到右的順序計算。帶括號的,要先算括號里面的,再算括號外面的。同級混合運算(沒有括號)要按照從左到右的順序計算。舉例:計算

10、388388。錯解:388388=3818138181=33=1正解:388388=3181818318=64三百分數(shù)一、百分數(shù)的意義及讀、寫方法1.百分數(shù)的意義:表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù),叫作百分數(shù)。百分數(shù)又叫作百分比或百分率。2.百分數(shù)的寫法:百分數(shù)通常不寫成分母是100的分數(shù)形式,而是在原來分子的后面添上百分號“%”來表示。寫百分數(shù)時,百分號前面的數(shù)按整數(shù)、小數(shù)的寫法來寫,在寫出的數(shù)的后面加百分號。3.百分數(shù)的讀法:讀百分數(shù)時,百分號前面的數(shù)按整數(shù)、小數(shù)的讀法來讀,只是在前面加“百分之”。二、百分數(shù)和分數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別1.百分數(shù)和分數(shù)的聯(lián)系:都可以表示兩個數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系。2.百

11、分數(shù)和分數(shù)的區(qū)別。(1)意義不同,百分數(shù)只表示兩個數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系,不能帶單位名稱;分數(shù)既可以表示具體的數(shù),又可以表示兩個數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系,表示具體的數(shù)時可以帶單位名稱。(2)百分數(shù)的分子可以是整數(shù),也可以是小數(shù);分數(shù)的分子不能是小數(shù),只能是除0以外的自然數(shù);百分數(shù)不可以約分,分數(shù)一般要約分成最簡分數(shù)。(3)應(yīng)用范圍不同,百分數(shù)在生產(chǎn)和生活中常用于調(diào)查、統(tǒng)計、分析和比較,分數(shù)常常在計算、測量中得不到整數(shù)結(jié)果時使用。拓展提高1.表示一個數(shù)是另一個數(shù)的千分之幾的數(shù),叫作千分數(shù),千分數(shù)也叫作千分率。與百分數(shù)一樣,千分數(shù)也有千分號,千分號用“”表示。2.認識成數(shù)。(1)成數(shù)的意義?！俺蓴?shù)”廣泛應(yīng)用于工

12、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和日常生活,用來表示增減情況。如“今年小麥比去年增產(chǎn)10%”,可以說成“今年小麥比去年增產(chǎn)一成”。(2)成數(shù)與百分數(shù)的關(guān)系。幾成表示十分之幾,也就是百分之幾十。如“一成”是十分之一,改寫成百分數(shù)就是10%;“二成”是十分之二,改寫成百分數(shù)就是20%;“三成五”是十分之三點五,改寫成百分數(shù)就是35%。3.認識折扣。(1)折扣的意義?！罢劭邸笔侵干碳医祪r出售商品,即按原價的百分之幾十或百分之幾出售。(2)折扣與百分數(shù)的關(guān)系。幾折就是原價的百分之幾十,幾幾折就是原價的百分之幾十幾。如七五折就是75%,九折就是90%。三、百分數(shù)和小數(shù)、分數(shù)的互化1.百分數(shù)和小數(shù)的互化。(1)百分數(shù)化成小數(shù)的方

13、法:把百分號去掉,同時把小數(shù)點向左移動兩位,位數(shù)不夠時,用“0”補足。(2)小數(shù)化成百分數(shù)的方法:把小數(shù)點向右移動兩位,同時在后面添上百分號,位數(shù)不夠時,用“0”補足。2.百分數(shù)和分數(shù)的互化。(1)分數(shù)化成百分數(shù)的方法:先把分數(shù)化成小數(shù),除不盡時,通常保留三位小數(shù),再化成百分數(shù)。(2)百分數(shù)化成分數(shù)的方法:先把百分數(shù)化成分數(shù),再把能約分的約成最簡分數(shù)。分子是小數(shù)的百分數(shù)化成分數(shù),先用分數(shù)的基本性質(zhì),把百分數(shù)化成分子是整數(shù)的分數(shù),再化簡。如12.5%=12.5100=1251000=18。四、生活中的百分數(shù)1.求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的實際問題。求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的解題方法與求一個

14、數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾的解題方法相同,用“一個數(shù)另一個數(shù)”,然后將計算結(jié)果化成百分數(shù)。2.求百分率。拓展提高1.生活中各種百分率的意義。發(fā)芽率:發(fā)芽種子數(shù)占試驗種子總數(shù)的百分之幾。出米率:出米的質(zhì)量占稻谷的質(zhì)量的百分之幾。及格率:及格人數(shù)占考試總?cè)藬?shù)的百分之幾。2.各種百分率的計算方法?！?”的書寫:兩個小圈寫得要小些,以免與數(shù)字0混淆。易錯點:讀百分數(shù)時,當(dāng)百分號前是小數(shù)時,易漏讀小數(shù)點前面的0,把小數(shù)讀成整數(shù)。寫百分數(shù)時,易把分子寫錯。舉例:讀、寫出下面各百分數(shù)。0.645%讀作:,百分之五百寫作:。錯解:百分之六百四十五5%正解:百分之零點六四五500%易錯點:百分數(shù)只能表示兩個數(shù)之間的

15、倍數(shù)關(guān)系,不能表示具體數(shù)量,不能帶單位名稱。舉例:判斷:一塊布長27%米。()錯解:正解:現(xiàn)價=原價折扣易錯點:把百分數(shù)化成小數(shù),去掉百分號后,把小數(shù)點向左移動兩位,位數(shù)不夠時,用“0”補足,易出現(xiàn)漏補“0”的情況。舉例:把5.4%化成小數(shù)。錯解:5.4%=0.54正解:5.4%=0.054易錯點:把小數(shù)化成百分數(shù),是把小數(shù)點向右移動兩位,而不是去掉小數(shù)點。舉例:把0.0326化成百分數(shù)。錯解:0.0326=326%正解:0.0326=3.26%出勤率是百分率的一種,公式本身應(yīng)該用百分數(shù)的形式表示。如果不乘100%,公式只是分數(shù)形式,乘100%既保持數(shù)值不變,又是百分數(shù)的形式。出勤率、成活率、

16、合格率、發(fā)芽率等最高是100%,完成率、增長率、利潤率等可以超過100%。四解 決 問 題一、“求一個數(shù)的幾分之幾(或百分之幾)是多少”的實際問題1.“已知一個部分量是總量的幾分之幾,求另一個部分量是多少”的實際問題的解題方法。(1)單位“1”的量-單位“1”的量一個部分量占單位“1”的幾分之幾=另一個部分量。(2)單位“1”的量(1-一個部分量占單位“1”的幾分之幾)=另一個部分量。2.“已知一個數(shù)比另一個數(shù)多幾分之幾,求這個數(shù)”的實際問題的解題方法。(1)單位“1”的量+單位“1”的量一個數(shù)比單位“1”的量多的幾分之幾=這個數(shù)。(2)單位“1”的量(1+一個數(shù)比單位“1”的量多的幾分之幾)

17、=這個數(shù)。3.“已知一個數(shù)比另一個數(shù)少幾分之幾,求這個數(shù)”的解題思路與“已知一個數(shù)比另一個數(shù)多幾分之幾,求這個數(shù)”的解題思路相同,只不過在列式時把加法換成減法。二、“已知一個數(shù)的百分之幾(或幾分之幾)是多少,求這個數(shù)”的實際問題1.簡單的“已知一個數(shù)的百分之幾是多少,求這個數(shù)”的問題的解題方法。(1)方程法。找出單位“1”,設(shè)單位“1”的量為x。找出題中的等量關(guān)系。列出方程并解答。(2)算術(shù)法。找出單位“1”。找出己知量和己知量占單位“1”的百分之幾。列除法算式解決問題。2.稍復(fù)雜的“已知一個數(shù)的幾分之幾是多少,求這個數(shù)”的問題的解題方法。(1)找出題中的等量關(guān)系,設(shè)單位“1”的量為x,列出方

18、程并解答。(2)找到題中的單位“1”,計算出已知量是單位“1”的幾分之幾,根據(jù)分數(shù)除法的意義列式解答。用算術(shù)法的解題關(guān)鍵:找準單位“1”,還要看清所求問題與單位“1”的關(guān)系并計算出已知量是單位“1”的幾分之幾。三、“求一個數(shù)比另一個數(shù)多(或少)百分之幾”的實際問題1.求甲數(shù)比乙數(shù)多百分之幾的解題方法。 (1)(甲數(shù)-乙數(shù))乙數(shù)。(2)甲數(shù)乙數(shù)-1。2.求乙數(shù)比甲數(shù)少百分之幾的解題方法。 (1)(甲數(shù)-乙數(shù))甲數(shù)。(2)1-乙數(shù)甲數(shù)。四、工程問題工程問題的解題方法:1.把工作總量看作單位“1”,用工作總量除以完成工作的時間,就是工作效率。2.根據(jù)數(shù)量關(guān)系式“工作總量=工作效率工作時間”解決工程問

19、題。五、利率和納稅1.利息和利率。(1)了解儲蓄。儲蓄的意義:把錢存入銀行就是儲蓄。儲蓄的好處:可以支援國家建設(shè);可以使個人錢財更安全;可以增加一些收入。(2)理解本金、利息、利率的意義。本金的意義:存入銀行的錢叫作本金。利息的意義:取款時,銀行除歸還本金外,還要多付一些錢,多付的錢叫作利息。利率的意義:利息占本金的百分之幾叫作利率。一般情況下,利率根據(jù)計量的期限標準不同而不同,表示方法有年利率、月利率和日利率。(3)存款的方式。活期:可以隨時支取,隨時存入。定期。整存整取:一起存入一定錢數(shù),存期到時支取。零存整取:每月存入一定錢數(shù),存期到時支取。定活兩便:存款時不確定存期,一次性存入本金,隨

20、時可以一次性支取。(4)利息的計算公式。利息=本金利率存期2.納稅。(1)納稅的意義。納稅是根據(jù)國家稅法的有關(guān)規(guī)定,按照一定的比率把集體或個人收入的一部分繳納給國家。(2)稅收的用途。稅收是國家收入的主要來源之一。國家用收來的稅款發(fā)展經(jīng)濟、科技、教育、文化和國防等事業(yè),不斷提高人民的物質(zhì)和文化水平,保衛(wèi)國家安全。(3)稅收的種類。稅收主要分為消費稅、增值稅、營業(yè)稅和個人所得稅等幾類。(4)稅收的相關(guān)概念。稅款:集體或個人收入中的一部分要上繳給國家,上繳的錢叫作稅款。應(yīng)納稅額:繳納的稅款叫作應(yīng)納稅額。稅率:應(yīng)納稅額與各種收入(銷售額、營業(yè)額)的比率叫作稅率。(5)應(yīng)納稅額=應(yīng)納稅所得額稅率?！耙?/p>

21、知一個部分量占總量的百分之幾,求另一個部分量是多少”的實際問題的解題方法與“已知一個部分量占總量的幾分之幾,求另一個部分量是多少”的實際問題的解題方法相同?！耙阎粋€數(shù)比另一個數(shù)多百分之幾,求這個數(shù)”的解題方法與“已知一個數(shù)比另一個數(shù)多幾分之幾,求這個數(shù)”的解題方法相同。易錯點:在解答百分數(shù)問題時,一定要找準單位“1”,單位“1”的量未知,可以用除法求出單位“1”的量。舉例:李強六月份的生活費為255元,比計劃節(jié)省了15%,節(jié)省了多少錢?錯解:25515%=38.25(元)答:節(jié)省了38.25元。正解:255(1-15%)-255=300-255=45(元)答:節(jié)省了45元。求一個數(shù)比另一個數(shù)

22、多(或少)百分之幾,實質(zhì)上就是求兩個數(shù)的差是另一個數(shù)(單位“1”)的百分之幾。易錯點:相同的差和不同的標準量比較,結(jié)果不同;兩個不同的數(shù)和同一個標準量比較,結(jié)果也不同。舉例:甲數(shù)比乙數(shù)多25%,乙數(shù)比甲數(shù)少()。(甲、乙兩數(shù)均不為0)錯解:25%正解:20%易錯點:解答工程問題時,不要認為只要分子是“1”的分數(shù)就表示工作效率。舉例:一項工程,甲單獨做13小時完成,乙單獨做14小時完成。如果兩個人合作,幾小時可以完成?錯解:113+14=127(時)答:127小時可以完成。正解:l113+114=1(3+4)=17(時)答:17小時可以完成。計算利息時,易忘記乘存期。稅收取之于民,用之于民,依法

23、納稅是每個公民應(yīng)盡的義務(wù)。稅收的種類不同,稅率也各不相同。每種稅的稅率都是由國家財政部門規(guī)定的。五圓一、圓的認識1.圓的意義:到定點的距離等于定長的點的集合叫作圓。2.圓的畫法。(用圓規(guī)畫圓的方法)(1)把帶有針尖的腳固定在圓心上。(2)定好兩腳間的距離,即半徑。(3)把裝有鉛筆的腳旋轉(zhuǎn)一周,就畫出一個圓。(4)用圓規(guī)畫圓時,應(yīng)注意以下兩點:帶有針尖的腳不能移動。兩腳間的距離不能改變。3.圓的各部分名稱及特征。(1)認識圓各部分的名稱。認識圓心。圓心的意義:用圓規(guī)畫圓時,固定的一點叫作圓心。圓心的字母表示法:圓心一般用字母O表示。圓心的作用:圓心決定圓的位置。認識半徑。半徑的意義:連接圓心和圓

24、上任意一點的線段叫作半徑。半徑的字母表示法:半徑一般用字母r表示。半徑的作用:半徑?jīng)Q定圓的大小。半徑越長,圓越大;半徑越短,圓越小。認識直徑。直徑的意義:通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫作直徑。直徑的字母表示法:直徑一般用字母d表示。(2)在同圓或等圓中半徑和直徑的關(guān)系。在同圓或等圓中,半徑的長度是直徑的12,直徑的長度是半徑的2倍。用字母表示為d=2r或r=d2。(3)圓的對稱性。圓是軸對稱圖形,直徑所在的直線都是圓的對稱軸,圓有無數(shù)條對稱軸。拓展提高1.等圓:兩個半徑相等的圓叫作等圓,等圓經(jīng)過平移可以完全重合。2.同心圓:圓心重合、半徑不相等的圓叫作同心圓。3.在同圓或等圓中,半徑擴大到原

25、來的幾倍,直徑也擴大到原來的幾倍;半徑縮小到原來的幾分之一,直徑也縮小到原來的幾分之一。二、圓的周長1.圓的周長的認識及計算公式。(1)圓的周長的意義:圍成圓的曲線的長叫作圓的周長。(2)圓的周長的測量方法。繞繩法。先把一根繩子繞圓一周,剪去多余的部分或在重疊處做好標記,再拉直量出它的長度,就是這個圓的周長。滾動法。在圓上找一個點并做好標記。把圓放在直尺上,標記點對準直尺的0刻度,滾動一周后標記點所對的刻度就是圓的周長。(3)圓周率。任何一個圓的周長除以它的直徑,得到的商是一個固定的數(shù),這個數(shù)叫作圓周率。圓周率用希臘字母“”表示,是一個無限不循環(huán)小數(shù)。=3.141592653在實際應(yīng)用中,通常

26、取它的近似值,即3.14。(4)圓的周長的計算公式。根據(jù)圓的周長與直徑之間的關(guān)系推導(dǎo)圓的周長的計算公式。圓的周長直徑=圓周率圓的周長=圓周率直徑圓的周長的計算公式的字母表達式。如果用字母C表示圓的周長,r表示圓的半徑,d表示圓的直徑,那么圓的周長的計算公式為圓的周長=圓周率直徑=圓周率半徑2,用字母表示為C=d或C=2r。2.圓的周長的計算公式的應(yīng)用。(1)已知直徑,求周長,根據(jù)C=d來計算。(2)已知半徑,求周長,根據(jù)C=2r來計算。拓展提高1.圓的周長與它的半徑、直徑的關(guān)系。(1)如果圓的半徑、直徑擴大到原來的若干倍,那么它的周長也擴大到原來的若干倍。例如,一個圓的半徑擴大到原來的3倍,它

27、的周長也擴大到原來的3倍。(2)如果圓的半徑、直徑縮小到原來的幾分之一,那么它的周長也縮小到原來的幾分之一。例如,一個圓的半徑縮小到原來的13,它的周長也縮小到原來的13。2.兩個圓的半徑之比等于它們的直徑之比,也等于它們的周長之比。3.半圓的周長指的是圓的周長的一半加上一條直徑的長或兩條半徑的長,半圓的周長的計算公式是C半圓=12d+d或C半圓=r+2r。4.圓的周長的一半是把圓的周長平均分成兩份,其中一份的長度,圓的周長的一半的計算公式是C圓的周長的半=r或C圓的周長的半=d2。三、圓的面積1.探究圓的面積的計算方法和公式。(1)通過正多邊形求圓的面積。在圓內(nèi)畫正多邊形,如果把正多形的邊數(shù)

28、分得越來越多,不可求的部分變得越來越少,那么正多邊形的面積就越來越接近圓的面積。通過此種方法,可近似地求出圓的面積。(2)借助方格求圓的面積。在圓內(nèi)畫小方格,小方格的面積可以求出,余下的邊邊角角的面積不知道怎么求。如果分割得越多,小方格越來越小,那么可以求出來的小方格的面積和就越來越接近圓的面積。通過此種方法,可近似地求出圓的面積。(3)轉(zhuǎn)化成平行四邊形,推導(dǎo)圓的面積計算公式。轉(zhuǎn)化演示。把圓分成8、16、32等份(偶數(shù)份),剪開后,用這些近似的等腰三角形拼一拼,會拼成一個近似的平行四邊形。如下圖:8等份:16等份:32等份:發(fā)現(xiàn):把圓等分的份數(shù)越多,每一份就越小,曲邊就越接近直邊,拼出來的圖形

29、就越接近平行四邊形。探究拼成的近似平行四邊形的底和高與圓的周長和半徑之間的關(guān)系。公式推導(dǎo)。圓的面積=平行四邊形的面積=底高=C2r=rr=r2如果用S表示圓的面積,那么圓的面積計算公式是S=r2。2.運用圓的面積計算公式解決實際問題。(1)已知圓的半徑,可直接運用圓的面積計算公式S=r2求出圓的面積。(2)已知圓的周長,則圓的面積S=(C2)2。(3)已知圓的直徑,則圓的面積S=(d2)2。拓展提高1.如果一個圓的半徑(直徑或周長)擴大到原來的n倍,那么圓的面積就擴大到原來的n2倍。例如,若圓的半徑擴大到原來的5倍,則圓的面積就擴大到原來的52倍,即25倍。2.如果一個圓的半徑(直徑或周長)縮

30、小到原來的1n,那么圓的面積就縮小到原來的1n2。例如,若圓的半徑縮小到原來的15,則圓的面積就縮小到原來的152,即125。四、圓環(huán)的面積1.圓環(huán)的意義:兩個半徑不相等的同心圓之間的部分叫作圓環(huán),也叫作環(huán)形。2.圓環(huán)面積的計算方法:用R表示外圓半徑,用r表示內(nèi)圓半徑,用S表示圓環(huán)的面積,那么圓環(huán)的面積計算公式是S=R2-r2或S=(R2-r2)。3.圓環(huán)是軸對稱圖形,它有無數(shù)條對稱軸。通過圓心的直線都是它的對稱軸。五、扇形1.弧的認識:圓上任意兩點之間的部分叫作弧。2.圓心角的認識:頂點在圓心的角,叫作圓心角。3.扇形的意義。由圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形,叫作扇形。4.扇形的

31、對稱性。扇形是軸對稱圖形,只有一條對稱軸。左邊探究圓的面積的計算方法,(1)和(2)雖然都能近似地求出圓的面積,但計算難度大,操作性差,且誤差大,不能作為通用的求圓的面積的方法。在剪拼的過程中,圖形的形狀雖然改變了,但面積的大小并沒有改變,因此圓的面積等于拼成的近似平行四邊形的面積。圓是由一條曲線圍成的封閉圖形,長方形、三角形、正方形都是由線段圍成的封閉圖形。圓心決定圓的位置,半徑(或直徑)決定圓的大小。判斷半徑的方法:半徑是一端在圓心,另一端在圓上的線段。直徑是圓內(nèi)最長的線段。判斷圓的直徑的方法:看是否通過圓心?？淳€段的兩端是否都在圓上。半徑和直徑都是線段。直徑所在的直線是圓的對稱軸。圓的半

32、徑和直徑都分別相等必須是在同圓或等圓中。是一個固定的數(shù),不隨周長和直徑的改變而改變。易錯點:圓周率是一個無限不循環(huán)小數(shù),在實際應(yīng)用中常常只取它的近似值。舉例:判斷:因為一個圓的周長總是它的直徑的3倍多一些,所以=3.14。()錯解:正解:在判斷時,圓周長是它直徑的倍,而不是3.14倍。計算圓周長的關(guān)鍵是確定半徑。一個圓的半徑增加a厘米,周長就增加2a厘米。一個圓的直徑增加b厘米,周長就增加b厘米。理解半圓的周長時,可以結(jié)合半圓的圖形來理解。把圓的面積轉(zhuǎn)化為平行四邊形的面積,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。易錯點:周長和面積不是同類量,無法進行比較。舉例:判斷:半徑是2厘米的圓,它的周長和面積相等。()錯

33、解:正解:圓的面積的大小與半徑的長短有關(guān),因為S=r2易錯點:在計算圓的面積時,不要把r2計算成r2,r2應(yīng)該是rr。舉例:一顆圓形紐扣的半徑是1.5厘米,它的面積是多少?錯解:3.141.52=3.143=9.42(平方厘米)答:它的面積是9.42平方厘米。正解:3.141.52=3.142.25=7.065(平方厘米)答:它的面積是7.065平方厘米。易錯點:如果圓的直徑擴大到原來的a(a不為0)倍,那么它的面積就擴大到原來的a2倍。舉例:大圓直徑是小圓直徑的4倍,大圓面積就是小圓面積的()倍。錯解:4正解:16圓環(huán)的面積實際是兩個同心圓的面積差。易錯點:已知內(nèi)圓直徑和環(huán)寬,求外圓直徑,應(yīng)

34、該用內(nèi)圓直徑加上2個環(huán)寬;已知外圓直徑和環(huán)寬,求內(nèi)圓直徑,應(yīng)該用外圓直徑減去2個環(huán)寬。舉例:在一個直徑為6米的圓形花壇周圍鋪一條2米寬的環(huán)形小路,這條小路的面積是多少平方米?錯解:6+2=8(米)3.14(82)2-3.14(62)2=21.98(平方米)答:這條小路的面積是21.98平方米。正解:6+22=10(米)3.14(102)2-3.14(62)2=50.24(平方米)答:這條小路的面積是50.24平方米。扇形是圓的一部分。判斷一個圖形是不是扇形,主要看圓心角的頂點在不在圓心上,如果頂點不在圓心上,就不是扇形。六扇形統(tǒng)計圖一、扇形統(tǒng)計圖的特點及繪制方法1.扇形統(tǒng)計圖的意義:用整個圓表

35、示總數(shù),用圓內(nèi)大小不等的扇形表示各部分數(shù)量與總數(shù)之間的關(guān)系。2.扇形統(tǒng)計圖的特點:可以清楚地表示出各部分數(shù)量與總數(shù)之間的關(guān)系。3.扇形統(tǒng)計圖的繪制方法。(1)算出各部分數(shù)量占總數(shù)的百分比。(2)算出表示各部分數(shù)量所對應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)。(3)畫一個大小適中的圓,并按照算出的圓心角的度數(shù)在圓里畫出各個扇形。(4)在各個扇形中標明所表示的數(shù)量的名稱和所占的百分比,并用不同的顏色或底紋把各個扇形區(qū)分開,也可以用圖例注明。(5)寫上統(tǒng)計圖的名稱和制圖日期。二、統(tǒng)計圖的選擇1.要清楚地表示出每個項目的具體數(shù)量,一般選擇條形統(tǒng)計圖。2.要清楚地反映事物的變化規(guī)律,一般選擇折線統(tǒng)計圖。3.要清楚地反映各部

36、分數(shù)量與總數(shù)量之間的關(guān)系,一般選擇扇形統(tǒng)計圖。當(dāng)扇形統(tǒng)計圖中有“其他”部分時,要注意“其他”部分具有不確定性。每種統(tǒng)計圖都有各自不同的特點,在選擇時要充分利用它們的特性,以達到更好的展示效果。七數(shù)學(xué)百花園一、黃金螺旋線1.了解黃金螺旋線。自然界中存在著許多美麗的圖案,鸚鵡螺外殼上的優(yōu)美曲線被稱為黃金螺旋線。黃金螺旋線可以用大小不同的扇形的弧線畫出來。2.明確黃金螺旋線的畫法。(1)畫一個邊長為1厘米的正方形,以正方形的右下頂點為圓心,以這個正方形的邊長為半徑畫一個90的扇形14圓。(2)在正方形的右邊畫一個同樣大小的正方形,以正方形的左下頂點為圓心,以這個正方形的邊長為半徑畫一個90的扇形。(3)以組成的長方形的長為邊長畫個正方形,以正方形的左上頂點為圓心,以這個正方形的邊長為半徑畫一個90的扇形。(4)再以組成的長方形的長為邊長畫一個正方形,以正方形的右上頂點為圓心,以這個正方形的邊長為半徑畫一個90的扇形。(5)再以組成的長方形的長為邊長畫一個正方形,以正方形的右下頂點為圓心,以這個正方形的邊長為半徑畫一個90的扇形。(6)再以組成的長方形的長為邊長畫一個正方形,以正方形的左下頂點為圓心,以這個正方形的邊長為半徑畫一個90的扇形。3.觀察扇形的半徑,發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律,如下表所示。扇形編號一二三