高考數(shù)學總復習(基礎知識+高頻考點+解題訓練)第二章 導數(shù)的應用(二)教學案(含解析)新人教A版_第1頁
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1、第十三節(jié)導數(shù)的應用(二)利用導數(shù)研究恒成立問題及參數(shù)求解典題導入例1已知函數(shù)f(x)x2ln xa(x21),aR.(1)當a1時,求曲線f(x)在點(1,f(1)處的切線方程;(2)若當x1時,f(x)0成立,求a的取值范圍自主解答(1)當a1時,f(x)x2ln xx21,f(x)2xln x3x.則曲線f(x)在點(1,f(1)處的切線的斜率為f(1)3,又f(1)0,所以切線方程為3xy30.(2)f(x)2xln x(12a)xx(2ln x12a),其中x1.當a時,因為x1,所以f(x)0,所以函數(shù)f(x)在1,)上單調遞增,故f(x)f(1)0.當a時,令f(x)0,得xea.

2、若x1,ea),則f(x)m恒成立,求實數(shù)m的取值范圍解:(1)函數(shù)f(x)的定義域為(,),f(x)xex(exxex)x(1ex),若x0,則f(x)0;若x0,所以f(x)0,則1ex0,所以f(x)0.f(x)在(,)上為減函數(shù),即f(x)的單調減區(qū)間為(,)(2)由(1)知,f(x)在2,2上單調遞減故f(x)minf(2)2e2,mm恒成立故m的取值范圍為(,2e2)利用導數(shù)證明不等式問題典題導入例2已知f(x)axln x,x(0,e,g(x),其中e是自然常數(shù),aR.(1)討論a1時,函數(shù)f(x)的單調性和極值;(2)求證:在(1)的條件下,f(x)g(x).自主解答(1)f(

3、x)xln x,f(x)1,當0x1時,f(x)0,此時f(x)單調遞減;當1x0,此時f(x)單調遞增f(x)的極小值為f(1)1.(2)證明:由(1)知f(x)min1.又g(x),當0x0,g(x)在(0,e上單調遞增g(x)maxg(e).在(1)的條件下,f(x)g(x).在本例條件下,是否存在正實數(shù)a,使f(x)的最小值是3?若存在,求出a的值;若不存在,說明理由解:假設存在正實數(shù)a,使f(x)axln x(x(0,e)有最小值3.因為f(x)a,當0g(x)在區(qū)間D上恒成立的基本方法是構造函數(shù)h(x)f(x)g(x),然后根據(jù)函數(shù)的單調性,確定函數(shù)的最值證明h(x)0.以題試法2

4、已知f(x)xln x.(1)求g(x)(kR)的單調區(qū)間;(2)證明:當x1時,2xef(x)恒成立解:(1)g(x)ln x,令g(x)0得xk.x0,當k0時,g(x)0.函數(shù)g(x)的增區(qū)間為(0,),無減區(qū)間;當k0時g(x)0得xk;g(x)0得0xk,增區(qū)間為(k,),減區(qū)間為(0,k)(2)證明:設h(x)xln x2xe(x1),令h(x)ln x10得xe,h(x),h(x)的變化情況如下:x1(1,e)e(e,)h(x)10h(x)e20故h(x)0.即f(x)2xe.利用導數(shù)研究生活中的優(yōu)化問題典題導入例3某物流公司購買了一塊長AM30米,寬AN20米的矩形地塊AMPN

5、,規(guī)劃建設占地如圖中矩形ABCD的倉庫,其余地方為道路和停車場,要求頂點C在地塊對角線MN上,頂點B、D分別在邊AM、AN上,假設AB的長度為x米(1)要使倉庫的占地面積不少于144平方米,求x的取值范圍;(2)要規(guī)劃建設的倉庫是高度與AB的長度相同的長方體建筑,問AB的長度為多少時倉庫的庫容量最大(墻地及樓板所占空間忽略不計)自主解答(1)依題意得NDC與NAM相似,所以,即,故AD20x,矩形ABCD的面積為20xx2(0x30)要使倉庫的占地面積不少于144平方米,則20xx2144,化簡得x230x2160,解得12x18.(2)由(1)知倉庫的體積V20x2x3(0x30),令V40

6、x2x20,得x0或x20.當0x0,當20x30時,V0,所以當x20時V取最大值,且最大值為,即AB的長度為20米時倉庫的庫存容量最大由題悟法利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟(1)分析實際問題中各個量之間的關系,建立數(shù)學模型,寫出函數(shù)關系式y(tǒng)f(x);(2)求出函數(shù)的導函數(shù)f(x),解方程f(x)0;(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點和使f(x)0的點處的函數(shù)值的大小,最大(小)者為最大(小)值以題試法3某城市在發(fā)展過程中,交通狀況逐漸受到有關部門的關注,據(jù)有關統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示,從上午6點到中午12點,車輛通過該市某一路段的用時y(分鐘)與車輛進入該路段的時刻t之間關系可近似地用如下函數(shù)給出:y求

7、從上午6點到中午12點,通過該路段用時最多的時刻解:當6t9時,yt2t36(t12)(t8)令y0,得t12(舍去)或t8.當6t0,當8t9時,y0,故t8時,y有最大值,ymax18.75.當9t10時,yt是增函數(shù),故t10時,ymax16.當10t12時,y3(t11)218,故t11時,ymax18.綜上可知,通過該路段用時最多的時刻為上午8點1f(x)是定義在(0,)上的非負可導函數(shù),且滿足xf(x)f(x)0,對任意正數(shù)a,b,若ab,則必有()Aaf(b)bf(a)Bbf(a)af(b)Caf(a)f(b) Dbf(b)f(a)解析:選Axf(x)f(x),f(x)0,0.則

8、函數(shù)在(0,)上是單調遞減的,由于0a0),則獲得最大利潤時的年產(chǎn)量為()A1百萬件 B2百萬件C3百萬件 D4百萬件解析:選C依題意得,y3x2273(x3)(x3),當0x0;當x3時,y0,若f(1)0,那么關于x的不等式xf(x)0,所以f(x)在(0,)單調遞增又函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù),所以f(1)f(1)0.當x0時,f(x)0,0x1;當x0,x1.答案:(,1)(0,1)4直線ya與函數(shù)f(x)x33x的圖象有相異的三個公共點,則a的取值范圍是_解析:令f(x)3x230,得x1,可得極大值為f(1)2,極小值為f(1)2,如圖,觀察得2a1時,判斷f(x)在0,2m上零點

9、的個數(shù),并說明理由解:(1)依題意,可知f(x)在R上連續(xù),且f(x)exm1,令f(x)0,得xm.故當x(,m)時,exm1,f(x)1,f(x)0,f(x)單調遞增;故當xm時,f(m)為極小值,也是最小值令f(m)1m0,得m1,即對任意xR,f(x)0恒成立時,m的取值范圍是(,1(2)由(1)知f(x)在0,2m上至多有兩個零點,當m1時,f(m)1m0,f(0)f(m)1時,g(m)em20,g(m)在(1,)上單調遞增g(m)g(1)e20,即f(2m)0.f(m)f(2m)0,f(x)在(m,2m)上有一個零點故f(x)在0,2m上有兩個零點7(2013泰安模擬)某種產(chǎn)品每件

10、成本為6元,每件售價為x元(6x11),年銷售為u萬件,若已知u與2成正比,且售價為10元時,年銷量為28萬件(1)求年銷售利潤y關于售價x的函數(shù)關系式;(2)求售價為多少時,年利潤最大,并求出最大年利潤解:(1)設uk2,售價為10元時,年銷量為28萬件,28k2,解得k2.u222x221x18.y(2x221x18)(x6)2x333x2108x108(6x0;當x(9,11)時,y2)(1)當t1時,求函數(shù)yf(x)的單調區(qū)間;(2)設f(2)m,f(t)n,求證:mn.解:(1)f(x)(2x3)exex(x23x3)exx(x1),當2t0,x2,t時,f(x)0,f(x)單調遞增

11、;當0t0,f(x)單調遞增,當x(0,t時,f(x)0,f(x)單調遞減綜上,當2t0時,yf(x)的單調遞增區(qū)間為2,t;當0t2,h(t)(2t3)etet(t23t3)ett(t1)(t2)故h(t),h(t)隨t的變化情況如下表:t(2,0)0(0,1)1(1,)h(t)00h(t)極大值極小值由上表可知h(t)的極小值為h(1)e0,又h(2)0,故當2th(2)0,即h(t)0,因此,nm0,即mn.2 (2012資陽模擬)已知函數(shù)f(x)x33axb(a,bR)在x2處的切線方程為y9x14.(1)求f(x)的單調區(qū)間;(2)令g(x)x22xk,若對任意x10,2,均存在x2

12、0,2,使得f(x1)0,得x1;由f(x)0,得1x1.故函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間是(1,1);單調遞增區(qū)間是(,1),(1,)(2)由(1)知,函數(shù)f(x)在(0,1)上單調遞減,在(1,2)上單調遞增又f(0)2,f(2)4,有f(0)f(2),函數(shù)f(x)在區(qū)間0,2上的最大值f(x)maxf(2)4.又g(x)x22xk(x1)2k1,函數(shù)g(x)在0,2上的最大值為g(x)maxg(1)k1.對任意x10,2,均存在x20,2,使f(x1)f(x2)成立,有f(x)maxg(x)max,則43.故實數(shù)k的取值范圍是(3,)1已知向量m(x0,1),n,x0,y0成等差數(shù)列,2,y

13、0成等比數(shù)列(1)求證:mn;(2)若存在不為零的實數(shù)k與t,使得a(t23)mn,btmkn,且ab,|a|,試討論函數(shù)kf(t)的單調性,并求出函數(shù)的極值解:(1)證明:由x0,y0成等差數(shù)列得x0y0,由2,y0成等比數(shù)列得x02y0,由與可得x0,y0,所以m(,1),n,因為mn(,1)0,所以mn.(2)由(1)得|m|2,|n|1,因為|a|,mn,所以|a|2(t23)2|m|22(t23)mn|n|24(t23)2137,所以0t26,所以t.又abt(t23)|m|2k(t23)mntmnk|n|24t(t23)k0,所以kf(t)4t(t23)(t),kf(t)4t(t2

14、3)12t212,令12t2120,得t1.當t變化時,f(t),f(t)的變化情況如下表:t(,1)1(1,1)1(1,)f(t)00f(t)極大值8極小值8因此f(t)的單調遞增區(qū)間為(,1),(1,);f(x)的單調遞減區(qū)間為(1,1)f(t)的極大值為8,極小值為8.2設函數(shù)f(x)ln xp(x1),pR.(1)當p1時,求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;(2)設函數(shù)g(x)xf(x)p(2x2x1),對任意x1都有g(x)0成立,求p的取值范圍解:(1)當p1時,f(x)ln xx1,其定義域為(0,)所以f(x)1.由f(x)10得0x1,由f(x)1.所以函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為(

15、0,1),單調遞減區(qū)間為(1,)(2)由函數(shù)g(x)xf(x)p(2x2x1)xln xp(x21)(x0),得g(x)ln x12px.由(1)知,當p1時,f(x)f(1)0,即不等式ln xx1成立當p時,g(x)ln x12px(x1)12px(12p)x0,即函數(shù)g(x)在1,)上單調遞減,從而g(x)g(1)0,滿足題意;當p0,12px0,從而g(x)ln x12px0,即函數(shù)g(x)在上單調遞增,從而存在x0使得g(x0)g(1)0,不滿足題意; 當p0時,由x1知g(x)xln xp(x21)0恒成立,此時不滿足題意綜上所述,實數(shù)p的取值范圍為.集合與常用邏輯用語函數(shù)、導數(shù)及

16、其應用(時間120分鐘,滿分150分)一、選擇題(本題共12小題,每小題5分,共60分)1(2012廣州調研)已知函數(shù)f(x)若f(1)f(1),則實數(shù)a的值等于()A1B2C3 D4解析:選B根據(jù)題意,由f(1)f(1)可得a1(1)2.2(2012江西高考)若全集U,則集合A的補集UA為()A. B.C. D.解析:選C因為UxR|x24xR|2x2,AxR|x1|1xR|2x0借助數(shù)軸易得UAxR|0x23下列函數(shù)中,恒滿足f(2x)f(x)2的是()Af(x)|x| Bf(x)(x0)Cf(x)ex Df(x)sin x解析:選C若f(x)ex,則f(2x)e2x(ex)2f(x)2.

17、4(2012大同調研)已知函數(shù)f(x)x2bx(bR),則下列結論正確的是()AbR,f(x)在(0,)上是增函數(shù)BbR,f(x)在(0,)上是減函數(shù)CbR,f(x)為奇函數(shù)DbR,f(x)為偶函數(shù)解析:選D注意到當b0時,f(x)x2是偶函數(shù)5(2013龍巖四校聯(lián)考)已知函數(shù)yf(x)的圖象在點M(3,f(3)處的切線方程是yx,則f(3)f(3)的值為()A1 B2C3 D5解析:選B因為切點(3,f(3)在切線上,所以f(3)1,切點處的導數(shù)為切線的斜率,所以f(3),所以f(3)f(3)2.6(2012汕頭一測)已知集合A是函數(shù)f(x)的定義域,集合B是整數(shù)集,則AB的子集的個數(shù)為()

18、A4 B6C8 D16解析:選A要使函數(shù)f(x)有意義,則需解得1x0或0x1,所以函數(shù)的定義域Ax|1x0,或0x1所以AB1,1,其子集的個數(shù)為4.7已知alog23log2,blog29log2,clog32,則a,b,c的大小關系是()AabcCabbc解析:選Balog23log2log23,blog29log2log23,ab.又函數(shù)ylogax(a1)為增函數(shù),alog23log221,clog32c.8(2012南昌一模)函數(shù)yx1的圖象關于x軸對稱的圖象大致是()解析:選B函數(shù)yx,該函數(shù)的圖象就是拋物線y2x在x軸及其以上的部分,故函數(shù)yx11是將上述圖象向下平移一個單位得

19、到的,再作其關于x軸對稱的圖象,即選項B中的圖象9(2012長春第二次調研)若a2,則函數(shù)f(x)x3ax21在(0,2)內(nèi)零點的個數(shù)為()A3 B2C1 D0解析:選C依題意得f(x)x22ax,由a2可知,f(x)在x(0,2)時恒為負,即f(x)在(0,2)內(nèi)單調遞減,又f(0)10,f(2)4a14x3均成立;若log2xlogx22,則x1;“若ab0且c”的逆否命題是真命題;若命題p:xR,x211,命題q:xR,x2x10,則命題p(綈q)是真命題其中真命題為()A BC D解析:選A由x22x4x3推得x22x3(x1)220恒成立,故正確;根據(jù)基本不等式可知要使不等式log2

20、xlogx22成立需要x1,故正確;由ab0得0,又c,則可知其逆否命題為真命題,故正確;命題p是真命題,命題q是真命題,所以p(綈q)為假命題,故不正確二、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分)13(2013河北質檢)函數(shù)ylog(3xa)的定義域是,則a_.解析:由3xa0得x.因此,函數(shù)ylog(3xa)的定義域是,所以,即a2.答案:214 (2012南通一調)設P是函數(shù)y(x1)圖象上異于原點的動點,且該圖象在點P處的切線的傾斜角為,則的取值范圍是_解析:依題意得,yxx,yxx(x0),當x0時,yxx2 ,即該圖象在點P處的切線的斜率不小于,即tan .又0,),因此0,a

21、1)在1,2上的最大值為4,最小值為m,且函數(shù)g(x)(14m)在0,)上是增函數(shù),則a_.解析:函數(shù)g(x)在0,)上為增函數(shù),則14m0,即m1,則函數(shù)f(x)在1,2上的最小值為m,最大值為a24,解得a2,m,與m矛盾;當0a1時,函數(shù)f(x)在1,2上的最小值為a2m,最大值為a14,解得a,m0,則x0,函數(shù)f(x)在(0,)上單調遞增,又f(1)111010,函數(shù)f(x)在(1,e)上存在零點,符合條件答案:三、解答題(本題共6小題,共70分)17(本小題滿分10分)已知函數(shù)yf(x)的圖象關于原點對稱,且x0時,f(x)x22x3,試求f(x)在R上的表達式,并畫出它的圖象,根

22、據(jù)圖象寫出它的單調區(qū)間解:f(x)的圖象關于原點對稱,f(x)f(x),又當x0時,f(x)x22x3,當x0,x.f(x)的定義域為.(2)f(x)log3(2x1)log3log3log32,f(x)的圖象是由ylog3x的圖象向右平移個單位,再向上平移log32個單位得到的故可以由ylog3x的圖象平移得到19(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)x(x2ax3)(1)若f(x)在區(qū)間1,)上是增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;(2)若x是f(x)的極值點,求f(x)在區(qū)間1,4上的最大值解:(1)f(x)x(x2ax3),f(x)3x22ax3.f(x)在1,)上是增函數(shù),在1,)上恒有f(x)0,即3x22ax30在1,)上恒成立得a在1,)上恒成立當x1時,(11)0,a0.(2)依題意得f0,即a30,得a4,故f(x)x34x23x.令f(x)3x28x30,得x1,x23.當x在1,4上變化時,f(x)與f(x)的變化情況如下表:x1(1,3)3(3,4)4f(x)0f(x)61812所以f(x)在區(qū)間1,4上的最大值是f(1)6.20(本小題滿分12分)經(jīng)市場調查,某種商品在過去50天的銷售量和價格均為銷售時間t(天)的函數(shù),且銷售量近似地滿足f(t)

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