加權(quán)余量法.ppt

1、1.3變分原理，Ritz法，1.3.1自然變分原理，1.3.2修正泛函變分原理，如果微分方程是線性的和自伴的，它不僅可以建立其等價的積分形式，而且可以用加權(quán)殘數(shù)法找到其近似解；等效變分原理也可以建立，基于它的另一種近似解法是里茲法。1.線性和自伴微分算子，1.3。1自然變分原理，它是一個微分算子。線性自伴微分方程的定義是：1.3。1自然變分原理，它將上述公式部分積分，直到u的導(dǎo)數(shù)消失，并得到具有積分、任意函數(shù)和的伴隨算子。表示，如果，表示算子是自伴的。1.3。1自然變分原理，2。函數(shù)構(gòu)造，伽遼金格式，因為算子是線性和自伴的，所以：1.3。1自然變分原理，1.3。1自然變分原理，并得到：1.3。

2、1自然變分原理，微分方程的等價積分形式。例如，彈性力學(xué)中的最小勢能原理和粘性流體中的最小能量耗散原理被稱為自然變分原理。3。自然變分原理，1.3。1自然變分原理。對于這類問題，是一個未知的場函數(shù)，并且，是一個特定的算子。一個，包含和的1階到m階導(dǎo)數(shù)。連續(xù)統(tǒng)問題的解：使泛函取極值(或平穩(wěn)值)。有一個泛函，它是一個標量，1.3。1自然變分原理，例如：最小勢能原理，1.3。1自然變分原理，1.3。1自然變分原理，其中：近似解：1.3。1自然變分原理，其中：待定參數(shù)向量(未知)，試函數(shù)矩陣(事先選定)，相互獨立，矩陣形式是這樣得到的：其中有3n個方程。如果它是一個完整的函數(shù)級數(shù)，它收斂到一個精確解，如

3、果n是一個有限項，它是一個近似解。以上方法為里茲法，1.3。1)自然變分原理，2)代換，里茲法，基于變分原理的近似解，1)求解步驟，1)假設(shè)近似解，它是一個待確定的參數(shù)并且滿足強制邊界條件。泛函(求函數(shù)u)的極值問題轉(zhuǎn)化為多元()函數(shù)的極值問題。1.3。1自然變分原理，3)線性代數(shù)方程的近似解，u，1.3。1自然變分原理，2。解的收斂性，1)連續(xù)性要求滿足順序連續(xù)性，2)完整性要求取自完整的函數(shù)序列，1.3。1自然變分原理，1.3。1自然變分原理，3。特征，3 .3)待定系數(shù)是任意的，并不意味著具體的物理意義。4)如果我們對問題有一個清晰的認識，并能找到一個合適的試函數(shù)，我們就能事半功倍，但缺

4、乏通用性。討論：1)經(jīng)典泛函變分理論只適用于線性自伴微分方程。2)收斂性有嚴格的理論基礎(chǔ)(功能分析)。3)如果預(yù)先滿足強迫邊界條件，則解具有確定的上下界。如果不能提前滿足，就需要進行處理(約束變分原理)。1.3 .1自然變分原理，但未知函數(shù)往往需要遵守一些附加條件。我們稱這些變分原理為“附加條件的變分原理”。1.在修正(約束)變分原理和建立自然變分原理后，問題的解取泛函的平穩(wěn)值。1.3.2修正泛函變分原理、約束條件、附加條件可以引入泛函，并且可以重構(gòu)“修正泛函”，將問題轉(zhuǎn)化為修正泛函的平穩(wěn)值問題。常用方法：拉格朗日乘數(shù)法和罰函數(shù)法。1.3.2修正泛函變分原理，即原泛函的約束變分問題，被轉(zhuǎn)化為修

5、正泛函*的無約束變分問題，代價是增加了額外的未知函數(shù)。2。拉格朗日乘數(shù)法，修正泛函*:1.3.2修正泛函變分原理，1.5變分原理，近似解：線性，1.3.2修正泛函變分原理，修正泛函變分原理，1.3.2修正泛函變分原理，所以方程中沒有項，1.3.2修改泛函變分原理，并且對于線性問題，得到線性方程；因為：1.3.2修正泛函變分原理并討論(放松約束的代價):1)很明顯方程的階數(shù)增加了。2)方程系數(shù)矩陣的主元素(對角元素)中出現(xiàn)零元素，這使得方程求解更加困難。(不能使用一般消去法)3)從一般物理問題得到的自然變分問題是一個極值問題。然而，對于修正的泛函，由于附加項的積分性質(zhì)不清楚，它一般是一個平穩(wěn)值問

6、題。(不再有極值性質(zhì))4)利用乘數(shù)法，變換彈性力學(xué)的各種變分原理。1.3.2修正的泛函變分原理，3。罰函數(shù)法，修正泛函，稱為罰數(shù)、正定和最小問題的正數(shù)；值越大，約束滿足得越好。(越接近越好)這種方法的優(yōu)點很明顯，不需要添加任何未知函數(shù)。(事先給定)，1.3.2修正的泛函變分原理，例如：極值問題(泛函極值問題)，約束條件，所以：求解方程，得到：1.3.2修正的泛函變分原理，上述方程可以寫成矩陣形式，而解析方程：來源于原泛函，來源于約束條件。和必須是單數(shù)，有非零解。1.3.2修正泛函變分原理并討論：1)這種方法的優(yōu)點是不增加最后一個線性方程的階數(shù)；2)它是一個奇異矩陣，可以相對忽略。1.3.2從例

7、子中可以看出，修正的泛函變分原理是奇異的。案例計算中需要證明的奇異性。1.3.2修正的泛函變分原理，3)值問題太小，且約束條件差。如果它太大，系數(shù)矩陣接近奇點，方程是病態(tài)的。該值應(yīng)該是適當(dāng)?shù)?。原則上，最好使由不滿足約束條件的值引起的誤差與先前計算中的誤差大小相同。一般取10121015。4)位移邊界條件是有限元法中常用的條件。第一章，有限元法、加權(quán)殘值法和變分原理的理論基礎(chǔ)，本章的重點和內(nèi)容，微分方程等價積分形式及其“弱”形式的實質(zhì)和構(gòu)造方法，任意函數(shù)和場函數(shù)應(yīng)滿足的條件。加權(quán)殘數(shù)法的不同形式的權(quán)函數(shù)形式和近似解的求解步驟，以及伽遼金法的特點。線性自伴微分方程變分原理的構(gòu)造方法和泛函數(shù)的性質(zhì)，

8、以及自然邊界條件和強迫邊界條件的區(qū)別。經(jīng)典里茲法的求解步驟、收斂條件和局限性，以及虛功原理的兩種形式(虛位移原理和虛應(yīng)力原理)的實質(zhì)和構(gòu)造方法。從虛功原理導(dǎo)出最小勢能原理和最小余能原理的方法，它們各自的性質(zhì)和場函數(shù)應(yīng)預(yù)先滿足的條件，等價積分形式，等價積分“弱”形式，泛函和變分原理強迫邊界條件，第一章關(guān)鍵概念，加權(quán)殘數(shù)伽遼金法線性自伴算子，自然邊界條件泛函的常值和極值，里茲法虛位移原理，虛應(yīng)力原理，最小勢能原理，最小余能原理，1。數(shù)學(xué)微分是已知的。如何證明它們是等價的？第一章復(fù)習(xí)題，3。不同形式的加權(quán)殘值法有什么不同？除了書中列舉的幾種方法，你能提出其他形式的加權(quán)殘值法嗎？如果是這樣，新方法的特

9、點是什么？2.等價積分形式和等價積分的“弱”形式有什么區(qū)別？為什么后者更多地用于數(shù)值分析？4.什么是加權(quán)殘值法的伽遼金法，它有什么特點？5.如何將微分算子識別為線性自伴算子？識別它的意義是什么？如何建立等價于自伴微分方程的泛函和變分原理？如何證明加權(quán)殘值伽遼金法的等價性？自然邊界條件和強制邊界條件有什么區(qū)別？它為什么這么命名？如何區(qū)分給定微分方程的這兩種邊界條件？函數(shù)在什么條件下有極值？知道泛函是否有極值有什么意義？9。什么是里茲法？它所建立的求解方法有什么特殊之處？里茲法的收斂性定義是什么？什么是收斂條件？里茲法的優(yōu)點和缺點是什么？你能舉個例子來說明它嗎？虛擬工作原理的兩種不同形式是什么？什

10、么彈性方程彼此等價？你能準確地表達它們嗎？最小勢能的原理是什么，它是如何推導(dǎo)出來的？什么是場函數(shù)？它應(yīng)該提前滿足什么條件？場函數(shù)的試函數(shù)有什么要求？如何利用最小勢能原理建立數(shù)值解的解方程，解的收斂和極值條件是什么？最小余能的原理是什么？它是如何出口的？什么是場函數(shù)？它應(yīng)該提前滿足什么條件？場函數(shù)的試函數(shù)有什么要求？如何利用最小余能原理建立數(shù)值解的解方程？這個等式的特征是什么？解收斂和極值的條件是什么？為什么最小勢能原理的近似解的應(yīng)變能降低了界限，也就是說，解一般是“剛性的”？最小余能原理近似解的應(yīng)變能取上界，即解一般是“軟”的？你能從力學(xué)的角度進一步解釋它嗎？1.4.3變異的一些基本概念，1。

11、函數(shù)的定義和函數(shù)的定義：函數(shù)的定義：如果獨立變量的x字段中的每個值都有一個對應(yīng)于y的值，或者數(shù)字y和數(shù)字x之間的關(guān)系成立。據(jù)說變量y是變量x的函數(shù)，即y=y(x)。1.4.3變分的一些基本概念，泛函的定義：如果在某種類型的函數(shù)y(x)中有一個值對應(yīng)于每一個函數(shù)y(x)，或者這個數(shù)對應(yīng)于函數(shù)y(x)的關(guān)系成立。該變量稱為函數(shù)y(x)的泛函，即=(y(x)。1.4.3變分的一些基本概念，2。微分和變分微分： x的增量x是指兩個值x=x-x1之間的差值。如果x的微分用dx表示，dx也是一種增量，也就是說，當(dāng)增量很小時，dx=x.當(dāng)y(x)很小時，變分：的增量稱為變分，用y(x)或y表示，y(x)指y

12、(x)與其相近的y1(x)之差，即y(x)=y(x)-y1(x)；這里：y(x)也是x的函數(shù)，但是y(x)是指定x域中的一個軌跡。(假設(shè)y(x)在接近y1(x)的一類函數(shù)中被任意改變)。1.4.3變異的一些基本概念。函數(shù)微分和泛函變分泛函微分A(x)=y(x)是一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，1.4.3一些基本的變分概念，一個函數(shù)的微分2:被設(shè)置為一個小參數(shù)，并計算y(x)的導(dǎo)數(shù)，即當(dāng)接近零時，證明y(x)在=0時的導(dǎo)數(shù)等于y(x)在x時的微分。這個定義類似于拉格朗日處理變分的定義。1.4.3變分的一些基本概念，泛函變分1:類似于泛函微分，泛函變分有兩種定義。=y(x) y(x)-y(x)=Ly(x)，其中L

13、y(x)和y(x)稱為函數(shù)變體，由下式表示。函數(shù)的變化是函數(shù)增量的主要部分，這個主要部分與y(x)成線性關(guān)系。1.4.3變分的一些基本概念，泛函變分2:泛函變分是y(x) y(x)對的導(dǎo)數(shù)的值，當(dāng)=0時，拉格朗日泛函變分被定義為：1.4.3變分的一些基本概念，4。極小極大問題如果函數(shù)y(x)在x=x0附近的任何一點，也就是說，當(dāng)dy=y(x)-y(x0) 0 (0)時，最大值(最小值)在x=x0處達到，并且在x=x0處有：并且函數(shù)最大-最小值函數(shù)y(x)具有類似的定義。如果在任何接近y=y0(x)的曲線上的函數(shù)y(x)的值不大于(不小于)y0(x)，即=y(x)- y0(x) 0(或0)，那么

14、可以說函數(shù)y(x)在曲線y=y0 (x)(或1.4.3)上達到其最大值。一些基本的變分概念解釋了函數(shù)的最大值(或最小值)主要是指函數(shù)的相對最大值(或最小值)，即函數(shù)的最大值(或最小值)是從因此，在函數(shù)極大極小的定義中，也應(yīng)該解釋這些曲線有幾個接近度。1.4.3變型的一些基本概念，1.4.3變型、強變型和強極大值的一些基本概念如果所有與y=y0(x)的貼近度都是零階的，即y(x)-y0(x)非常小，但是對于y(x)-y0(x)是否小沒有規(guī)定。以這種方式獲得的最大值(或最小值)被稱為強最大值(或最小值)，或強變分最大值(或最小值)。1.4.3變分、弱變分和弱最大值的一些基本概念，如果僅適用于與y=

15、y0(x)有一階近似的曲線y=y(x)，或者僅適用于那些不僅在縱坐標之間而且在切線方向之間都很接近的曲線。以這種方式達到的最大值(或最小值)稱為弱最大值(或最小值)，或弱變分最大值(或最小值)。1.4.3變分的一些基本概念，5。變分方法的基本預(yù)備定理如果函數(shù)F(x)在線段(x1，x2)上是連續(xù)的，并且對于任何只滿足某些一般條件的選定函數(shù)y(x)，1.4.3變分方法的一些基本概念，5。變分方法的基本準備定理如果函數(shù)F(x)在線段(x1，x2)上是連續(xù)的，并且對于任何只滿足某些一般條件的所選函數(shù)y(x)有：那么在線段(x1，x2) (2) 0的線段(x1，x2)的端點上有： F(x)=0；(3)y