同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版上第二章第一節(jié)_導(dǎo)數(shù)的概念

1、導(dǎo)數(shù)的概念,在許多實(shí)際問(wèn)題中，需要從數(shù)量上研究變量的 變化速度。如物體的運(yùn)動(dòng)速度，電流強(qiáng)度，線密度，比熱，化學(xué)反應(yīng)速度及生物繁殖率等，所有這些在數(shù)學(xué)上都可歸結(jié)為函數(shù)的變化率問(wèn)題，即導(dǎo)數(shù)。,本章將通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析，引出微分學(xué)中 兩個(gè)最重要的基本概念導(dǎo)數(shù)與微分，然后再建立求導(dǎo)數(shù)與微分的運(yùn)算公式和法則，從而解決有關(guān)變化率的計(jì)算問(wèn)題。,導(dǎo)數(shù)和微分是繼連續(xù)性之后，函數(shù)研究的進(jìn)一步 深化。導(dǎo)數(shù)反映的是因變量相對(duì)于自變量變化的快慢程度和增減情況，而微分則是指明當(dāng)自變量有微小變化時(shí)，函數(shù)大體上變化多少。,重點(diǎn),導(dǎo)數(shù)與微分的定義及幾何解釋 導(dǎo)數(shù)與微分基本公式 四則運(yùn)算法則 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t 高階導(dǎo)數(shù)

2、隱函數(shù)和參量函數(shù)求導(dǎo),難點(diǎn),導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)，用定義求導(dǎo)，鏈?zhǔn)椒▌t,一、問(wèn)題的提出,1.自由落體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問(wèn)題,如圖,取極限得,上述求瞬時(shí)速度的方法對(duì)一般變速直線運(yùn)動(dòng)也同樣適用。設(shè)物體作變速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)路程為s = s(t)，則物體在時(shí)刻 t 0 的瞬時(shí)速度定義為,速度反映了路程對(duì)時(shí)間變化的快慢程度,2.切線問(wèn)題,割線的極限位置切線位置,播放,如果割線MN繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置MT,直線MT就稱(chēng)為曲線C在點(diǎn)M處的切線.,極限位置即,如圖,二、導(dǎo)數(shù)的定義,定義,即,其它形式,關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說(shuō)明：,導(dǎo)數(shù)概念是概括了各種各樣的變化率而得出 的一個(gè)更一般、更抽象的概念，它撇開(kāi)了變量所代表的特殊意義，而純

3、粹從數(shù)量方面來(lái)刻畫(huà)變化率的本質(zhì),單側(cè)導(dǎo)數(shù),1.左導(dǎo)數(shù):,2.右導(dǎo)數(shù):,三、由定義求導(dǎo)數(shù)（三步法）,步驟:,例1,解,例2,解,例3,解,更一般地,例如,例4,解,特別地,例5,解,特別地,例6,解,四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義,1.幾何意義,切線方程為,法線方程為,切線方程為,法線方程為,切線方程為,法線方程為,例7,解,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義, 得切線斜率為,所求切線方程為,法線方程為,2.物理意義,非均勻變化量的瞬時(shí)變化率.,變速直線運(yùn)動(dòng):路程對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為物體的瞬時(shí)速度.,交流電路:電量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為電流強(qiáng)度.,非均勻的物體:質(zhì)量對(duì)長(zhǎng)度(面積,體積)的導(dǎo)數(shù)為物體的線(面,體)密度.,五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系,定理 凡可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù).,證,注意: 該定理的逆定理不成立.,連續(xù)函數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)舉例,例如,例如,例如,例8,解,六、小結(jié),1. 導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì): 增量比的極限;,3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義: 切線的斜率;,4. 函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo);,5. 求導(dǎo)數(shù)最基本的方法