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1、1一階微分方程 2可降階的二階微分方程 3二階線(xiàn)性微分方程的解的結(jié)構(gòu) 4二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程,一、第七章要點(diǎn),1一階微分方程,1)可分離變量的微分方程,解法,類(lèi)型,2)一階線(xiàn)性微分方程,類(lèi)型,解法,3)齊次方程,此為變量可分離的微分方程,類(lèi)型,解法 令 ,則 原方程變?yōu)?4)伯努利方程,為一階線(xiàn)性微分方程,類(lèi)型,解法 令 ,則原方程變?yōu)?2可降階的二階微分方程,方法 作 次積分,新方程是一個(gè)一階微分方程,1)類(lèi)型,2)類(lèi)型,方法 令 ,則原方程轉(zhuǎn)變?yōu)?新方程是一個(gè)一階微分方程,3)類(lèi)型,方法 令 ,則原方程轉(zhuǎn)變?yōu)?3二階線(xiàn)性微分方程的解的結(jié)構(gòu),設(shè)二階線(xiàn)性微分方程,而稱(chēng)方程,為方程所對(duì)應(yīng)的齊次
2、線(xiàn)性方程有,1)若 是方程的線(xiàn)性無(wú)關(guān)解,則方程有通解,的一個(gè)特解,2)若 是方程的特解,則方程有通解,3)若 是方程 的特解,,則 為方程,4二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程,1)二階常系齊次數(shù)線(xiàn)性微分方程,設(shè)方程,相應(yīng)的特征方程為,則:若方程有兩個(gè)不同的實(shí)根 ,則方程的通解為,若方程有兩個(gè)相同的實(shí)根 ,則方程的通解為,若方程有一對(duì)共軛復(fù)根 ,則方程的通,解為,2)二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程,設(shè)方程為,則方程有特解,其中 是一個(gè)與 同次的多項(xiàng)式,而,設(shè)方程,則方程有特解,其中 是 次的多項(xiàng)式, ,而,按 是否為特征方程的根而分別取1或0,二、例 題 選 講,解 此方程為一個(gè)可分離變量的微分方程分離變量
3、,,因,得,例1 求解方程 ,兩邊積分,得,即得原方程的通解,解 原方程變形后為齊次方程,例2 求解方程 , ,作變換 ,則有,移項(xiàng),得,兩邊積分,得,將 代入,有,即滿(mǎn)足初始條件的解為,由初始條件 ,得 ,即原方程的解為,解 原方程變形為,即,例3 求微分方程 的通解,此是關(guān)于函數(shù) 的一階線(xiàn)性非齊次線(xiàn)性微分方程,,由求解公式得,分離變量,得,兩邊積分,得,例4 求解微分方程 ,解法1 此方程為齊次方程,作代換 ,則有,故方程的通解為,即,由于,解法2 方程變形為,故方程的通解為,代回原變量,得,此方程為貝努利方程,此時(shí)令 ,則有,例5 求解下列方程,即,方程的解為,1. ; 2. ,解 1.
4、 此方程不含變量 ,故令變換 ,則方程為,即,所以,方程的通解為,方程變形為,即有,2. 此方程中不含變量 ,作變換 ,則,解得,即,分離變量后,再兩邊積分得,從而得方程的通解,由 ,得方程的解為 由,例6 求下列方程的通解,解 1. 特征方程為,解得 ,由此得到方程的通解,1. ; 2. ;,3. ,則,2. 特征方程為 ,因而齊次方程的通解為,由于 為單根,故可設(shè)方程的特解為,代入方程后,比較系數(shù)得,所以,因而方程的通解為,代入到原方程,得,3. 特征方程為 ,解得 ,所以齊次方,程的通解為,注意到 不是特征方程的根,故方程的特解可,設(shè)為,1一階微分方程 2可降階的二階微分方程 3二階線(xiàn)性
5、微分方程的解的結(jié)構(gòu) 4二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程,一、第七章要點(diǎn),1一階微分方程,1)可分離變量的微分方程,解法,類(lèi)型,2)一階線(xiàn)性微分方程,類(lèi)型,解法,3)齊次方程,此為變量可分離的微分方程,類(lèi)型,解法 令 ,則 原方程變?yōu)?4)伯努利方程,為一階線(xiàn)性微分方程,類(lèi)型,解法 令 ,則原方程變?yōu)?2可降階的二階微分方程,方法 作 次積分,新方程是一個(gè)一階微分方程,1)類(lèi)型,2)類(lèi)型,方法 令 ,則原方程轉(zhuǎn)變?yōu)?新方程是一個(gè)一階微分方程,3)類(lèi)型,方法 令 ,則原方程轉(zhuǎn)變?yōu)?3二階線(xiàn)性微分方程的解的結(jié)構(gòu),設(shè)二階線(xiàn)性微分方程,而稱(chēng)方程,為方程所對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程有,1)若 是方程的線(xiàn)性無(wú)關(guān)解,則方程有通
6、解,的一個(gè)特解,2)若 是方程的特解,則方程有通解,3)若 是方程 的特解,,則 為方程,4二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程,1)二階常系齊次數(shù)線(xiàn)性微分方程,設(shè)方程,相應(yīng)的特征方程為,則:若方程有兩個(gè)不同的實(shí)根 ,則方程的通解為,若方程有兩個(gè)相同的實(shí)根 ,則方程的通解為,若方程有一對(duì)共軛復(fù)根 ,則方程的通,解為,2)二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程,設(shè)方程為,則方程有特解,其中 是一個(gè)與 同次的多項(xiàng)式,而,設(shè)方程,則方程有特解,其中 是 次的多項(xiàng)式, ,而,按 是否為特征方程的根而分別取1或0,二、例 題 選 講,解 此方程為一個(gè)可分離變量的微分方程分離變量,,因,得,例1 求解方程 ,兩邊積分,得,即得原
7、方程的通解,解 原方程變形后為齊次方程,例2 求解方程 , ,作變換 ,則有,移項(xiàng),得,兩邊積分,得,將 代入,有,即滿(mǎn)足初始條件的解為,由初始條件 ,得 ,即原方程的解為,解 原方程變形為,即,例3 求微分方程 的通解,此是關(guān)于函數(shù) 的一階線(xiàn)性非齊次線(xiàn)性微分方程,,由求解公式得,分離變量,得,兩邊積分,得,例4 求解微分方程 ,解法1 此方程為齊次方程,作代換 ,則有,故方程的通解為,即,由于,解法2 方程變形為,故方程的通解為,代回原變量,得,此方程為貝努利方程,此時(shí)令 ,則有,例5 求解下列方程,即,方程的解為,1. ; 2. ,解 1. 此方程不含變量 ,故令變換 ,則方程為,即,所以,方程的通解為,方程變形為,即有,2. 此方程中不含變量 ,作變換 ,則,解得,即,分離變量后,再兩邊積分得,從而得方程的通解,由 ,得方程的解為 由,例6 求下列方程的通解,解 1. 特征方程為,解得 ,由此得到方程的通解,1. ; 2. ;,3. ,則,2. 特
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