1用消元法解二元線性方程組.ppt

1、行列式,1用消元法解二元線性方程組,(1),(2),原方程組有唯一解,由方程組的四個(gè)系數(shù)確定,若記,則當(dāng)時(shí)該方程組的解為,克萊姆法則,行列式的定義,1. 二階行列式,對(duì)角線法則：,主對(duì)角線元素之積減去副對(duì)角線元素之積,主對(duì)角線,副對(duì)角線,例 根據(jù)定義計(jì)算行列式的值,對(duì)角線法則,在三元一次線形方程組求解時(shí)有類似結(jié)果,即有方程組,當(dāng) 時(shí)，有唯一解,其中,類似的n元一次線性方程組有克萊姆法則,在系數(shù)行列式 時(shí)有唯一解：,n 階行列式的定義,按第一行展開,余子式,元素 的余子式 就是在行列式中劃掉元素 所在的行和列，余下的元素按原來的相對(duì)位置而構(gòu)成的行列式,代數(shù)余子式,元素 的余子式,元素 的代數(shù)余子

2、式,三階行列式的值等于它的第一行的所有元素與各自的代數(shù)余子式的乘積之和,按第一行展開,例1 根據(jù)定義計(jì)算行列式的值,例2 計(jì)算行列式的值,按第一列展開,例 計(jì)算行列式,解,按第一行展開，得,例 計(jì)算行列式,解,上三角形行列式,逐次按第一列展開,上三角形行列式的值為 主對(duì)角線上的元素之乘積,下三角形行列式,逐次按第一行展開,下三角形行列式的值等于主對(duì)角線上各元素的乘積,特別,對(duì)角形行列式,類似可得：,上三角形行列式,下三角形行列式,對(duì)角形行列式,行列式某行（列）元素的公因子可提到,行列式符號(hào)之外即,推論1 行列式中某一行（列）為零，則行列式為零,性質(zhì)1,或者說，以一數(shù)乘行列式的一行（列）就相當(dāng)于

3、,用這個(gè)數(shù)乘此行列式,行列式的性質(zhì),性質(zhì)2 互換行列式的兩行（列），行列式變號(hào)。,推論2：如果行列式D有兩行（列）相同，則D=0,推論3：如果行列式D有兩行（列）的元素對(duì)應(yīng)成 比例，則D=0,若行列式的某一行（列）的元素都是兩數(shù),之和，則行列式可按此行（列）拆成兩個(gè)行列式,之和，即,性質(zhì)3,性質(zhì)4,把行列式的某一行（列）的倍數(shù)加到另一,行（列），行列式不變.,例如,記作,行、列對(duì)掉,稱 為行列式 的轉(zhuǎn)置行列式,行列式轉(zhuǎn)置后，其值不變。,表明行與列是對(duì)等的，行具有的性質(zhì)，列也具有,計(jì)算行列式的值,例題,1、計(jì)算行列式的值,2、設(shè)有行列式,（1）,（2）,A11、A12、A13、A14分別是D的

4、第一行元素的代數(shù)余子式，試求 3A11-A12+3A13-A14的值。,解答,1、（1）,解答,1、（2）,2、將代數(shù)式還原成 行列式，得,行列式的計(jì)算方法：一般是先利用性質(zhì)，用 消法變換將行列式中某一行（或列）的元素 盡可能地化為零，最好是只留下一個(gè)元素不 為零，然后按該行（或列）展開，使行列式 降階，最終化為二階行列式，而得解。,例,二、應(yīng)用舉例,計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值,解,例2 計(jì)算 階行列式,解,將第 都加到第一列得,例4,解,第二節(jié) 矩陣的概念及運(yùn)算,一 矩陣的概念 例1 某公司生產(chǎn)四種產(chǎn)品A,B,C,D,第一季度的銷量分別如下表所

5、示： 產(chǎn)品 銷量 月份 A B C D 一月 300 250 220 180 二月 320 230 200 200 三月 310 280 210 220,為了研究方便，在數(shù)學(xué)中常把表中的說明去掉，將上表簡(jiǎn)化為如下的矩形數(shù)表： 此表在數(shù)學(xué)上稱為矩陣。,定義 由 個(gè)數(shù)，排成的m行n列的數(shù)表,叫做m行n列矩陣（或 矩陣）； 其中 叫做矩陣的元素； 分別叫 做 的行標(biāo)和列標(biāo)。,也可用 或 表示矩 陣,特殊矩陣,1）行矩陣：例,（行向量）,對(duì)角方陣（除主對(duì)角線外，其余元素均為0的方陣）：,如 為對(duì)角方陣,上三角陣,例如 為上三角陣,下三角陣,例如 為下三角陣,由m個(gè)方程構(gòu)成的n元線性方程組,系數(shù)矩陣,增

6、廣矩陣,系 數(shù) 矩 陣,由m個(gè)方程構(gòu)成的n元線性方程組,增廣矩陣,矩陣的相等,則稱矩陣A與B相等，記作 A=B,設(shè)矩陣,如果,例2 設(shè),解,三、數(shù)量乘法,一、加法,二、乘法,四、轉(zhuǎn)置,矩陣的運(yùn)算,1定義,設(shè) 則矩陣,稱為矩陣A與B的和，記作 即,一、加法,矩陣加法的一種實(shí)際背景： 某種物資（單位：噸）從m個(gè)產(chǎn)地運(yùn)往n個(gè)銷地，兩次調(diào)運(yùn)方案分別用矩陣 表示。則求各產(chǎn)地到各銷地的兩次物資調(diào)運(yùn)量就是作矩陣A和B的加法：,例如,(1) 交換律,(2) 結(jié)合律,(3),定義,2性質(zhì),3減法,稱為矩陣 A 與數(shù) k 的數(shù)量乘積記作：,數(shù)量乘法,1定義,設(shè) 則矩陣,即,“數(shù)乘矩陣”的一種實(shí)際背景： 如果一個(gè)系

7、統(tǒng)A的輸出信號(hào) 太小，需 外接一個(gè)放大器，其放大倍數(shù)為k，即輸 出信號(hào) 都放大到k倍，則實(shí)際上相當(dāng) 于數(shù)k與矩陣 作了乘積,2性質(zhì),設(shè) 則 矩陣,其中,稱為 與 的積，記為 ,1定義,乘法,例： 某廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，第一季度的銷售額如表（1）所示（單位：千元），表（2）為產(chǎn)品 質(zhì)量全為一等品或全為二等品時(shí)的利潤表。 產(chǎn)品 A B 等級(jí) 一等品 二等品 月份 產(chǎn)品 一月 5 7 A 20% 10% 二月 6 10 B 30% 15% 三月 8 12 表（1） 表（2）,因此，該廠產(chǎn)品若全為一等品或全為二等品時(shí)利潤如下所示。 等級(jí) 一等品 二等品 月份 一月 二月 三月,上述三個(gè)數(shù)表，用矩陣表示為

8、可記C=AB 。其中 而 （即A的第i行與B的第k列對(duì)應(yīng)相乘再相加）, 乘積 有意義要求 A 的列數(shù) 的行數(shù)., 乘積 中第 行第 列的元素由 的第 行,乘 的第 列相應(yīng)元素相加得到,注意,如,不存在.,例1,設(shè),例2,故,解,例3 線性方程組,令,則（1）可看成矩陣方程,而 無意義,例4,例5,例6,注意, 未必 ,若 ，稱A與B可交換, 一般地，,即 且 時(shí)，有可能 , 未必有 或 ,2矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律,(結(jié)合律),（分配律),設(shè) 的轉(zhuǎn)置矩陣是指矩陣,記作 或 ,四、轉(zhuǎn)置,1定義,2性質(zhì),定義,設(shè) 為 階方陣，如果滿足 ，即 那么 稱為對(duì)稱陣.,對(duì)稱陣的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相等.,

9、說明:,對(duì)稱與反對(duì)稱矩陣,若A是 階矩陣，則 為A的 次冪，即 并且,定義 由 階方陣 的元素所構(gòu)成的行列式， 叫做方陣 的行列式，記作 或,運(yùn)算性質(zhì),方陣的行列式,一、概念的引入,在數(shù)的運(yùn)算中，,當(dāng)數(shù) 時(shí)，,有,可逆矩陣的概念,定義,設(shè)A為n級(jí)方陣，如果存在n級(jí)方陣B，使得,ABBAE,則稱A為可逆的，稱B為A的逆矩陣.,逆矩陣的概念,例 設(shè),（1） 可逆矩陣A的逆矩陣是唯一的，記作,（2） 可逆矩陣A的逆矩陣也是可逆矩陣，且,逆矩陣的性質(zhì),若 是可逆矩陣，則 的逆矩陣是唯一的.,事實(shí)上若設(shè) 和 是 的逆矩陣，,則有,可得,所以 的逆矩陣是唯一的。,A的逆記為 ，即 AA-1=A-1A=E。

10、,證明,證明,定義,1、伴隨矩陣,稱為A的伴隨矩陣.,性質(zhì)：,余子式，矩陣,設(shè) 是矩陣中元素 的代數(shù),注意下標(biāo),可逆的充要條件,證：由行列式按一行（列）展開公式,立即可得,同理,證,同理,關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì),非退化的），且,證：若由,所以，A可逆，且,兩邊取行列式，得,2、定理：矩陣A可逆當(dāng)且僅當(dāng) （即A,得,反過來，若A可逆，則有,則A、B皆為可逆矩陣，且,證：,由定理知，A、B皆為可逆矩陣.,從而,再由,即有，,3、推論：設(shè)A、B為 n 級(jí)方陣，若,例1 求方陣 的逆矩陣.,解,三、逆矩陣的求法,同理可得,故,例2,判斷矩陣A是否可逆，若可逆，求其逆.,解：1）, A可逆.,再由,有

11、, 當(dāng)時(shí)，A可逆.,且由于,例3,解,給方程兩端左乘矩陣,給方程兩端右乘矩陣,得,給方程兩端左乘矩陣,得,給方程兩端右乘矩陣,例4 設(shè),解,于是,解,例5,例 求解方程組,解,定理 AX=B為n 元線性方程組，則,（1） 時(shí)， AX=B有唯一解；,（2） 時(shí)， AX=B有無窮多解；,（3） 時(shí)， AX=B無解；,齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),若記,，,，,方程組（2）可寫成向量形式,對(duì)方程組（2），以下幾種說法是等價(jià)的：,1. 方程組（2）有非零解；,2. 向量組,線性相關(guān)；,3. 系數(shù)矩陣A=（,）的秩小于,n，即R（A）n.,定理 齊次線性方程組（2）有非零解的充要條件 是它的系數(shù)矩陣A的秩R（

12、A）n,其中n為（2）的未知 量的個(gè)數(shù)。,若R（A）= n, 則方程組（2）只有零解。,推論 含有n個(gè)方程n個(gè)未知量的齊次線性方程組有 非零解的充要條件是它的系數(shù)行列式,。,注意,定義,線性相關(guān)性的概念,則稱向量組 是線性相關(guān)的，否則稱它線性無關(guān),例1 判別向量組 的線性相關(guān)性。,解 設(shè)有數(shù)k1，k2，k3，使,顯然k1=k2=1，k3=-1，滿足上式。所以存在不全為零的數(shù)1，1，-1使 所以 線性相關(guān)。,AK,故向量 線性相關(guān),AK0有非零解。,證明 設(shè),即,所以,例2 證明向量組 線性無關(guān)。,所以 線性無關(guān)。,例3 判斷向量a=(1,2,-1,0),b=(2,-3,1,0),c=(4,1,

13、-1,0)的線性關(guān)系,向量a=(1,2,-1,0),b=(2,-3,1,0),c=(4,1,-1,0)線性相關(guān),向量a，b稱為向量a，b，c的一個(gè)極大線性無關(guān)組。,向量a，b線性無關(guān),不是等號(hào),解向量的概念,設(shè)有齊次線性方程組,若記,（1）,一、齊次線性方程組解的性質(zhì),則上述方程組（1）可寫成向量方程,若,稱為方程組(1) 的解向量，它也就是向量方程 (2)的解,齊次線性方程組解的性質(zhì),證明,（2）若 為 的解， 為實(shí)數(shù)，則 也是 的解,證明,由以上兩個(gè)性質(zhì)可知，方程組的全體解向量 所組成的集合，對(duì)于加法和數(shù)乘運(yùn)算是封閉的， 因此構(gòu)成一個(gè)向量空間，稱此向量空間為齊次線 性方程組 的解空間,證畢

14、.,基礎(chǔ)解系的定義,二、基礎(chǔ)解系及其求法,其中 是任意常數(shù),基礎(chǔ)解系的求法,現(xiàn)對(duì) 取下列 組數(shù)：,依次得,從而求得原方程組的 個(gè)解：,下面證明 是齊次線性方程組解空 間的一個(gè)基,所以 個(gè) 維向量 亦線性無關(guān).,由于 是 的解 故 也是 的 解.,所以 是齊次線性方程組解空間的一個(gè)基.,說明,解空間的基不是唯一的,解空間的基又稱為方程組的基礎(chǔ)解系,若 是 的基礎(chǔ)解系，則 其通解為,解,對(duì)系數(shù)矩陣 作初等行變換，變?yōu)樾凶詈?jiǎn)矩 陣，有,例2 解線性方程組,解,對(duì)系數(shù)矩陣施 行初等行變換,即方程組有無窮多解，,其基礎(chǔ)解系中有三個(gè)線性無關(guān)的解向量.,所以原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為,故原方程組的通解為,證明

15、,非齊次線性方程組解的性質(zhì),證明,證畢,其中 為對(duì)應(yīng)齊次線性方程 組的通解， 為非齊次線性方程組的任意一個(gè)特 解.,非齊次線性方程組的通解,非齊次線性方程組Ax=B的通解為,定理1 若非齊次方程組（1）有解，即R(A)=r，則當(dāng)r=n時(shí)，方程組（1）有唯一解；當(dāng)rn時(shí)，方程組（1）有無窮多解。,證明 R(A)=n時(shí)，（1）對(duì)應(yīng)的齊次方程組只有零解，因此由非齊次方程組通解的表達(dá)式知它有唯一解。Rn時(shí)（1）對(duì)應(yīng)的齊次方程組有無窮多解，再由非齊次方程組通解的表達(dá)式知它有無窮多解。,例1 求解方程組,解,解,例2 求下述方程組的解,所以方程組有無窮多解.,且原方程組等價(jià)于方程組,求基礎(chǔ)解系,令,依次得,求特解,所以方程組的通解為,故得基礎(chǔ)解系,另一種解法,則原方程組等價(jià)于方程組,所以方程組的通解為,方陣的特征值與特征向量,說明,一、特征值與特征向量的概念,解,例1,例,解,解,得基礎(chǔ)解系為：,注意,.屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān) 的,.屬于同一特征值的特征向量的非零線性 組合仍是屬于這個(gè)特征值的特征向量,.矩陣的特征向量總是相對(duì)于矩陣的特征 值而言的，一個(gè)特征值具有的特征向量不唯一； 一個(gè)特征向量不能屬于不同的特征值,例