極限運算法則.ppt

1、極限運算法則,本節(jié)討論極限的求法。利用極限的定義，從變量的變化趨勢來觀察函數(shù)的極限，對于比較復(fù)雜的函數(shù)難于實現(xiàn)。為此需要介紹極限的運算法則。首先來介紹無窮小。,一、無窮小,在實際應(yīng)用中，經(jīng)常會遇到極限為0的變量。 對于這種變量不僅具有實際意義，而且更具有理論價值，值得我們單獨給出定義,1.定義:,極限為零的變量稱為無窮小.,例如,注意,1.稱函數(shù)為無窮小，必須指明自變量的 變化過程；,2.無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;,3.零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).,2.無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:,證,必要性,充分性,意義,1.將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無窮小);,3.無窮小的運算性質(zhì):,定理2

2、 在同一過程中,有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.,證,注意無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.,定理3 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.,證,推論1 在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.,推論2 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.,推論3 有限個無窮小的乘積也是無窮小.,都是無窮小,二、無窮大,絕對值無限增大的變量稱為無窮大.,特殊情形：正無窮大，負無窮大,注意,1.無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;,3. 無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.,無界，,不是無窮大,證,三、無窮小與無窮大的關(guān)系,定理4 在同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大

3、.,證,意義 關(guān)于無窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論.,四、極限運算法則,定理,證,由無窮小運算法則,得,有界，,注,此定理對于數(shù)列同樣成立,此定理證明的基本原則：,(1),(2)可推廣到任意有限個具有極限的函數(shù), (2)有兩個重要的推論,推論1,常數(shù)因子可以提到極限記號外面.,推論2,定理的條件：,存在,商的情形還須加上分母的極限不為0,定理簡言之即是：和、差、積、商的極限 等于極限的和、差、積、商,定理中極限號下面沒有指明極限過程，是指對 任何一個過程都成立,五、求極限方法舉例,例1,解,小結(jié):,例2,解,商的法則不能用,由無窮小與無窮大的關(guān)系,得,例3,解,(消去零因子法),例4,

4、解,(無窮小因子分出法),小結(jié):,無窮小分出法:以分母中自變量的最高次冪除分子,分母,以分出無窮小,然后再求極限.,例5,解,先變形再求極限.,由以上幾例可見，在應(yīng)用極限的四則運算法則求 極限時，必須注意定理的條件，當條件不具備時，有時可作適當?shù)淖冃危詣?chuàng)造應(yīng)用定理的條件，有時可以利用無窮小的運算性質(zhì)或無窮小與無窮大的關(guān)系求極限。,六、復(fù)合函數(shù)極限,定理 （復(fù)合函數(shù)極限運算法則變量代換法則）,證,由極限定義得,此定理表明：,則可作代換,極限過程的轉(zhuǎn)化,注,可得類似的定理,無窮小與無窮大是相對于過程而言的.,1、主要內(nèi)容:,兩個定義;四個定理;三個推論.,2、幾點注意:,（1） 無窮?。?大）是變量,不能與很?。ù螅┑臄?shù)混淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；,（2）無窮多個無窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無窮小.,（3） 無界變量未必是無窮大.,六、小結(jié),3.極限的四則運算法則及其推論;,4.極限求法;,a.多項式與分式函數(shù)代入法求極限; b.消去零因子法求極限; c.無窮小因子分出法求極限; d.利用無窮小運算性質(zhì)求極限; e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.,思考題1,思考題2,在某個過程中，若 有極限， 無極限，那么 是否有極限？為什么