第3講 靜電場(I)(B422).ppt

1、2020年8月3日，星期一，電磁場和波電磁學，講座：李龍，2020年8月3日，李，復習，向量分析場的基本概念；標量場的梯度；矢量場的散度和旋度；亥姆霍茲定理；柱面和球面坐標系中的梯度、散度和旋轉(zhuǎn)。1.基本要求(1)掌握場的基本概念，掌握標量場梯度、向量場散度和旋度的定義和運算。(2)了解柱面坐標系和球面坐標系中梯度、散度和旋轉(zhuǎn)的運算。2.重點和難點：場的基本概念；梯度、散度和旋度的定義、運算和物理意義：向量微分算子、亥姆霍茲定理和向量公式。2020/8/3，L，Review，自旋自由，梯形自由，高斯公式，斯托克斯公式，2020/8/3，L，亥姆霍茲定理，源分為兩類：發(fā)散源，也稱為通量源；旋度源

2、，也稱為渦旋源。矢量場的屬性由激發(fā)該場的源決定。亥姆霍茲定理：如果向量場f在無限空間的任何地方都是單值的，并且它的導數(shù)是連續(xù)的和有界的，并且它的源分布在有限空間中，那么向量場由其散度和旋轉(zhuǎn)唯一地確定，它可以表示為標量函數(shù)的梯度和向量函數(shù)的旋轉(zhuǎn)之和，也就是說，如果它是已知的，它可以唯一地確定嗎？2020/8/3，L，第3講靜電場(一)，庫侖電場強度定律靜電場電勢的高斯定理，第3講靜電場(一)，靜電場是指由靜電荷相對于觀察者產(chǎn)生的場。人們對靜電的理解可以追溯到2000多年前。早在公元前585年，希臘哲學家泰勒斯就記錄了琥珀與木塊摩擦可以吸引小物體。對靜電場的系統(tǒng)性和科學性的研究始于1785年，當時

3、法國科學家查維斯奧古斯丁庫侖(17361806)發(fā)現(xiàn)了以他命名的“庫侖定律”。庫侖定律和疊加原理共同構成了靜電場的理論基礎?；趲靵龆珊童B加原理，這節(jié)課將得到描述真空中靜電場的基本方程，然后討論介質(zhì)中的靜電場、它的基本解和它的能量。2020/8/3，l，庫侖定律，庫侖定律，是一個實驗定律，是在大量實驗結果的基礎上，描述真空中兩個靜態(tài)點電荷之間相互作用力的抽象定律。點電荷是指一種理想化的模型，即帶電體的尺寸比它們之間的距離小得多，電荷集中在一個點上。庫侖定律可以用矢量公式表示：R=r-r表示從R到R的矢量；R是從R到R的距離，0代表真空的電學性質(zhì)，這叫做真空的介電常數(shù)，它的值是2020/8/3

4、，L，庫侖定律，2020/8/3，L，庫侖定律，庫侖定律表明真空中兩點電荷之間的力與兩點電荷的乘積成正比，與距離的平方成反比；力的方向是沿著它們的連線；相同數(shù)目的電荷之間有排斥，不同數(shù)目的電荷之間有吸引。q對點電荷q施加的力是F，F(xiàn)=F，2020/8/3，L，庫侖定律和疊加原理。當真實空間中存在兩個以上點電荷時，實驗表明點電荷所受的力是所有其他點電荷所受力的矢量和，即滿足疊加性質(zhì)。其中，點電荷對Q的作用力，2020/8/3，L，庫侖定律，例1有三個點電荷，它們位于邊長為1m的等邊三角形的頂點，如圖所示，計算q3上的力。求解庫侖定律，電荷分布。事實上，帶電體總是有一定的尺寸，這不能視為點電荷，而

5、應視為一定區(qū)域內(nèi)的連續(xù)電荷分布。分布在某一區(qū)域的電荷稱為分布電荷。如果電荷分布在一個體積中，它被稱為散裝電荷。如果電荷分布在一個曲面上，它被稱為表面電荷；如果電荷分布在一條曲線上，它就叫做線電荷。為了定量描述一個區(qū)域內(nèi)電荷分布的密度，引入了電荷密度的概念。，2020/8/3，L，庫侖定律，庫侖定律只能直接用于點電荷。所謂的點電荷是一個理想化的模型。對于實際帶電體，電荷密度被用來定量描述電荷的空間分布。電荷體積密度在電荷分布區(qū)，取體積元素V。如果其中的電量為Q，則電荷體積密度以庫/m3 (c/m3)為單位。v趨于零，這是指相對于宏觀尺度的小體積，從而準確地描述電荷的空間變化；與微觀尺度相比，體積

6、元素足夠大，可以攜帶大量帶電粒子，因此電荷分布可以看作是空間的連續(xù)函數(shù)。2020/8/3，L，庫侖定律，電荷面密度如果電荷分布在宏觀尺度很小的薄層中，可以認為電荷分布在幾何曲面上，其分布可用面密度來描述。如果面積元素s中的電量是q，面積密度就是電荷的線密度。分布在細線上的電荷分布用線密度來描述。如果線元中的電量是，那么線密度是，庫侖定律。以體積電荷為例，根據(jù)疊加原理，介質(zhì)電量為：它將被視為點電荷，那么電荷上的作用力Q為：2020/8/3，L。2020/8/3，L，電場強度(電場強度)兩個電荷可以相互作用而不相互接觸，并且這種作用是通過電場進行的。電場是一種特殊的物質(zhì)，看不見也摸不著，但可以通過

7、帶電體的相互作用來測試，電場的強度也可以通過相互作用的強度來測量。用來描述電場強度的物理量是電場強度。我們把作用在單位正電荷上的力定義為電場強度。它用E表示，單位是牛頓/庫侖。(V/m)定義：在該處放置點電荷Q(試驗電荷)，它所承受的力是，那么電場強度是：2020/8/3，L，電場強度，注1:試驗電荷應該足夠小，以便試驗電荷的引入不會影響原始電場；注2:源點由“略讀”組件表示，觀測點由“不略讀”組件表示；注3:點電荷在：點電荷在：分布電荷在：2020/8/3，L，電場強度組成的點電荷系統(tǒng)，例2 A環(huán)均勻分布總電荷Q，并從中心d計算其軸上的電場強度。解2020/8/3，L，電場強度，電力線為了形

8、象地描述電場，引入了電力線的概念；電力線是這樣一組曲線，任何一點的切線方向與該點的電場方向一致，電力線的密度與電場強度成正比。電力線的方程是：電力線具有以下特征：1 .它以正電荷開始，以負電荷結束。在不帶電的空間中，電力線不會相交。2020/8/3，L，電力線圖，2020/8/3，L，高斯定律，垂直通過曲面的電力線數(shù)稱為通過曲面的電通量。以S上的一個面板為例，它在垂直于電力線的方向上的投影是，那么通過S區(qū)域的電通量是：如果S是一個封閉的曲面，那么：2020/8/3，L，高斯定理，高斯定理描述了通過封閉表面的電場強度通量和封閉表面中的電荷之間的關系。給出了一個算例，計算了在球中心點電荷q產(chǎn)生的電

9、場中，半直徑為r的球面上的電通量。球面上解點電荷的電場強度如下：由此可見，顯然，矢量直徑方向與面法線方向一致，所以通過以Q為球心的球面的電通量與球面尺寸無關。，2020/8/3，L，高斯定理，推廣到通過S1和S2的電力線在任何封閉表面上圍繞Q，并且通過S1和S2的電力線必須通過S；穿過S1和S2的電力線數(shù)量相等，所以穿過S的電力線穿過S而不增加或減少；通過s的電通量對于外部電荷效應必須是可見的。不管閉合曲面是什么，總有：2020/8/3，L，高斯定理。根據(jù)疊加原理，對于多點電荷或分布電荷，仍然存在：其中q是被包圍的總電荷。在真空中，通過電場中任何封閉表面的電通量等于它所包圍的總電荷的1/0倍，

10、這就是真空中的高斯定理。高斯定理描述了通過封閉平面的電場強度通量與封閉平面內(nèi)電荷之間的關系。要分析一個點的情況，使用微分形式。如果封閉平面上的電荷是具有密度的體分布電荷，高斯定理可以寫成，2020/8/3，1，高斯定理。如實施例3中的圖所示，很明顯，僅三個點電荷源q1、q2和q3包含在S中，而q4和q5位于S之外，這對通過S的電通量沒有貢獻；根據(jù)高斯定理，通過S的電通量應為：S，2020/8/3，l。應用高斯定理可以直接計算一些對稱分布的電荷產(chǎn)生的電場強度。此時，我們應該能夠找到一個滿足以下要求的閉曲面：1在S上處處存在，而E是相同的；如果2在S的一個部分上滿足1，在S的另一部分上滿足上述兩個

11、條件中的一個，則可以通過高斯定理得到電場強度。對于1:對于2:我們只能找到E，2020/8/3，L，高斯定理在S的應用。例4在半徑為A的球體中分布密度為(常數(shù))的電荷，并計算球體內(nèi)外任意點的電場強度。這個解決方案是通過對稱性知道的。電場只有矢狀方向的分量。如果S平面被視為給定球體的同心球體，那么有：1。如果S在球體內(nèi)部；2.如果S在球體之外：2020/8/3，L，高斯定理的應用，例5，在半徑為A的無限長圓柱體上，軸對稱分布密度為(r)=3r的電荷，計算圓柱體中的電荷，圓柱體中的電荷，以及圓柱體中的電荷。電場強度只有一個方向分量。它可以在列中知道：同樣可以在列外獲得。摘要：用高斯定理求解電場，關

12、鍵在于閉合曲面S的選擇，2020年8月3日高斯定理的應用，以及無限平面上均勻分布著密度為S的電荷。如何選擇高斯平面？應用高斯定理，例6知道半徑為A的球體內(nèi)外的電場強度，并計算電荷分布。從高斯定理的微分形式可以看出，電荷密度等于球坐標的散度公式：可以看出：2020/8/3，L，靜電場的旋度和電勢，靜電場是一個矢量場，我們已經(jīng)討論了它的散度和通量，現(xiàn)在我們開始研究它的旋度和環(huán)流。首先，我們知道一個常見的公式：看看電場強度，其中積分用于源點，運算符用于場點。2020/8/3，L，靜電場的旋度和電勢，電場強度可以表示為標量勢函數(shù)的負梯度，這是矢量場理論所知道的：這個標量函數(shù)是靜電場的勢函數(shù)，簡稱為電勢

13、；電勢的單位是伏特(V)，所以電場強度的單位是伏特/米(V/m)。場點R處分布電荷的電勢為2020/8/3，位于源點R處的點電荷的電勢為2020/8/3，即靜電場的旋度和電勢，靜電場是一個非旋轉(zhuǎn)場，在任何閉合回路中為零循環(huán)。靜電場是保守場，沿某一路徑的積分只與起點和終點有關，與路徑無關。(P)-(P0)是P和P0之間的電位差(或電壓)，2020/8/3，L，靜電場的旋度和電勢。通常，選擇一個固定點，并將其電位設置為零，這稱為參考點。當P0作為參考點，電位為其中，直角坐標系中的2是，靜電場的旋度和電勢，2020/8/3，L，靜電場的旋度和電勢，以及電場力的功荷應受電場力的作用。當電荷在電場中運動時，電場力應該對它作功。假設電荷q0在電場中沿著路徑L從點A移動到點B，電場力確實起作用。如果電場是由點電荷Q產(chǎn)生的，也就是說，在點電荷的電場中，電場力不管路徑如何都起作用；根據(jù)疊加定理，在點電荷系統(tǒng)或分布電荷的電場中，電場力所做的功與路徑無關，這再次證明了靜電場是一個保守場。2020/8/3，L，靜電場的旋度和電勢，等電位面電場中電勢相等的面稱為等電位面，等電位面方程是，