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文檔簡介

1、2.4 等比數(shù)列,如果能將一張厚度為0.05mm的報(bào)紙對(duì)折,再對(duì)折,再對(duì)折依次對(duì)折50次,你相信這時(shí)報(bào)紙的厚度可以在地球和月球之間建一座橋?,情境一:折紙,問題情境:,對(duì)折一次,對(duì)折二次,對(duì)折三次,對(duì)折四次,.,對(duì)折 次,對(duì)折紙的 次數(shù),紙的 層數(shù),.,.,情境二:莊子天下篇中寫到: “一尺之棰,日取其半,萬世不竭”。,設(shè)木棰長度為1,木棰長度,第一天取半,第二天取半,第三天取半,第四天取半,.,.,.,第 天取半,觀察上述情境中得到的這幾個(gè)數(shù)列,看有何共同特點(diǎn)?,2, 4, 8, 16, ;,共同特點(diǎn):從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與前一項(xiàng) 的比都等于同一個(gè)常數(shù),-2, 2, -2, 2, . ,講授新

2、課,1. 等比數(shù)列的定義:,一般地,若一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù),這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫等比數(shù)列的公比,用字母q 表示.,(q0),2.等比數(shù)列定義的符號(hào)語言:,(q為常數(shù),且q0 ;nN*),(1) 1,3,9,27,,(3) 5, 5, 5, 5,,(4) 1,-1,1,-1,,(2),(5) 1,0,1,0,,練 習(xí),判斷下列各組數(shù)列中哪些是等比數(shù)列,哪些不是?如果是,寫出首項(xiàng)a1和公比q, 如果不是,說明理由。,是,是,是,是,a1=1, q=3,a1=5, q=1,a1=1, q= -1,不是,(6) 0,0,0,0,,(7) 1, a, a

3、2, a3 , ,(8) x0, x, x2, x3 , ,(9) 1,2,6,18,,不是,不是,小結(jié):判斷一個(gè)數(shù)列是不是等比數(shù)列,主要是由定義進(jìn)行判斷:,a1=x0, q=x,是,不是,看 是不是同一個(gè)常數(shù)?,注意:,(2)公比q一定是由后項(xiàng)比前項(xiàng)所得,而不 能用前項(xiàng)比后項(xiàng)來求,且q0;,(1) 等比數(shù)列an中, an0;,(3)若q1,則該數(shù)列為常數(shù)列,(4)常數(shù)列 a, a , a , a , ,時(shí),既是等差數(shù)列,又是等比數(shù)列;,時(shí),只是等差數(shù)列,而不是等比數(shù)列.,思考:,如果在a與b的中間插入一個(gè)數(shù)G,使a, G, b成等比數(shù)列,那么G應(yīng)該滿足什么條件?,反之,若,即a,G,b成等比

4、數(shù)列.,a, G, b成等比數(shù)列,則,分析:,由a, G, b成等比數(shù)列得:,(ab0),如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G,使a, G,b成等比數(shù)列,那么稱這個(gè)數(shù)G為a與 b的等比中項(xiàng).,3.等比中項(xiàng):,即:,注意:若a,b異號(hào)則無等比中項(xiàng), 若a,b同號(hào)則有兩個(gè)等比中項(xiàng).,練習(xí):,2、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式:,法一:歸納法,由此歸納等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得:,等比數(shù)列,類比,2、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式:,累乘法,共n 1 項(xiàng),),等比數(shù)列,類比,拓展:,可得,等比數(shù)列,類比,等比數(shù)列 注意: (1)等比數(shù)列的首項(xiàng)不為0;,(2)等比數(shù)列的每一項(xiàng)都不為0,即,(3) q=1時(shí),an為常數(shù)列;,以a1為首項(xiàng),

5、q為公比的等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式為:,4.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式:,5.等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣:,7.等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用:知三求一,6.等比數(shù)列的公比公式:,例、一個(gè)等比數(shù)列的第3項(xiàng)與第4項(xiàng)分別是12與18,求它的第1項(xiàng)與第2項(xiàng).,解:設(shè)這個(gè)等比數(shù)列的第1項(xiàng)是 ,公比是q ,那么,解得, ,,因此,答:這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)與第2項(xiàng)分別是 與 8.,課堂小結(jié),從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),公差(d ),d 可正、可負(fù)、可零,從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù),公比(q ),q可正、可負(fù)、不可零,練習(xí)在等比數(shù)列an中,,且q=2,求a1和n.,判斷等比數(shù)列的方法:,1、定

6、義法,2、等差中項(xiàng)法,例、有三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,若它們的積 等于64,和等于14,求此三個(gè)數(shù)?,注意:等比數(shù)列中若三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,可以設(shè)為,練習(xí):已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,它們的積為27, 它們的立方和為81,求這三個(gè)數(shù)。,例、有四個(gè)數(shù),若其中前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列, 它們的積等于216,后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,它們 的和等于12,求此四個(gè)數(shù)?,注意:等比數(shù)列中若四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,不能設(shè)為,因?yàn)檫@種設(shè)法表示公比大于零!,練習(xí):有四個(gè)數(shù),其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16,第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是12,求這四個(gè)數(shù)。,可以設(shè)這四個(gè)數(shù)為a,b,c,d,15,9,3,1或

7、0,4,8,16,結(jié)論:如果是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列,那么也是等比數(shù)列,證明:設(shè)數(shù)列 的公比為p, 的公比為q,那么數(shù)列 的第n項(xiàng)與第n+1項(xiàng)分別為 與 ,即 與 因?yàn)?它是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù),所以是一個(gè)以pq為公比的等比數(shù)列,特別地,如果是 等比數(shù)列,c是不等于的常數(shù),那么數(shù)列 也是等比數(shù)列,探究,對(duì)于例中的等比數(shù)列與,數(shù) 列也一定是等比數(shù)列嗎?,是,a若anbn是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列,,都是等比數(shù)列,則anbn和,b若an是等比數(shù)列,c是不等于0的常數(shù), 那么can也是等比數(shù)列,等比數(shù)列的性質(zhì),性質(zhì) : 在等比數(shù)列 中, 為公比, 若 且,那么:,等比數(shù)列的性質(zhì),特殊地:,7.三個(gè)數(shù)成等比的設(shè)法:a/q,a,aq;四個(gè)數(shù)成等比的錯(cuò)誤設(shè)法:a/q3,a/q,aq,aq3 (為什么?),8.等比數(shù)列an的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等比數(shù)列。,10.bn(bn0)

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