《數(shù)學(xué)物理方法教學(xué)課件》無窮級(jí)數(shù)

1、2020/8/6,9,1,無窮級(jí)數(shù),無窮級(jí)數(shù),參考章節(jié)：4.1,4.3,4.4 基本練習(xí)：p48:3,7 附加練習(xí)：p48:1,5,2020/8/6,9,2,復(fù)數(shù)級(jí)數(shù),考慮復(fù)數(shù)序列,將各項(xiàng)相加就得到一個(gè)復(fù)數(shù)級(jí)數(shù)：,如果這個(gè)級(jí)數(shù)的部分和,構(gòu)成的序列 收斂，就說級(jí)數(shù)是收斂的。,叫做這個(gè)級(jí)數(shù)的和。,2020/8/6,9,3,復(fù)數(shù)級(jí)數(shù)與實(shí)數(shù)級(jí)數(shù),將復(fù)數(shù)級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)按實(shí)部與虛部分解：,這個(gè)級(jí)數(shù)就可以改寫成如下的樣子：,一個(gè)復(fù)數(shù)級(jí)數(shù)是兩個(gè)實(shí)數(shù)級(jí)數(shù)的有序組合。 由于這個(gè)原因，關(guān)于實(shí)數(shù)級(jí)數(shù)的收斂性的判別準(zhǔn)則完全可以推廣到復(fù)數(shù)級(jí)數(shù)中。 請(qǐng)大家回顧實(shí)數(shù)級(jí)數(shù)的收斂性的判別方法，或參考教科書相應(yīng)的內(nèi)容。,2020/8

2、/6,9,4,復(fù)數(shù)級(jí)數(shù)的收斂性,級(jí)數(shù)收斂的柯西充要條件：任意給定 ，存在正整數(shù)n,使對(duì)任意正整數(shù)p有,這實(shí)際上就是要求級(jí)數(shù)的通項(xiàng)趨于零。 這顯示在不改變求和次序的前提下，可以將收斂級(jí)數(shù)并項(xiàng)。,如果級(jí)數(shù) 收斂，則稱 絕對(duì)收斂。,前一個(gè)級(jí)數(shù)是正項(xiàng)實(shí)數(shù)級(jí)數(shù)，任何用于判別其收斂性的方法都可用于判別復(fù)數(shù)級(jí)數(shù)的收斂性。,2020/8/6,9,5,級(jí)數(shù)相乘,有時(shí)需要將兩個(gè)或多個(gè)無窮級(jí)數(shù)乘起來：,2020/8/6,9,6,函數(shù)級(jí)數(shù),如果復(fù)數(shù)級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)都是定義在區(qū)域 G中的復(fù)變函數(shù),所得到的級(jí)數(shù)叫做函數(shù)級(jí)數(shù)：,若函數(shù)級(jí)數(shù)在 G 內(nèi)的每一點(diǎn)都收斂，則它在 G內(nèi)收斂，是 G 內(nèi)的單值函數(shù)。,如果對(duì)任意給定的 ，存

3、在一個(gè)與 無關(guān)的整數(shù) ，使得當(dāng) 時(shí)，,則稱級(jí)數(shù)在G內(nèi)一致收斂。,2020/8/6,9,7,一致收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì),一致收斂級(jí)數(shù)具有如下重要性質(zhì)： 如果級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)都在區(qū)域 G內(nèi)連續(xù)，和函數(shù)也在G內(nèi)連續(xù)，因而求極限與求和可以交換次序：,如果級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)都在區(qū)域 G內(nèi)一條分段光滑的曲線上連續(xù)，則級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)求積分：,如果級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)都在區(qū)域 G內(nèi)單值解析，則和函數(shù)是G內(nèi)的解析函數(shù)，它的各階導(dǎo)數(shù)可以通過對(duì)級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)得到。,2020/8/6,9,8,冪級(jí)數(shù),如果一個(gè)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)是冪函數(shù)，就叫做冪級(jí)數(shù)：,根據(jù)達(dá)朗貝爾判別法，如果以下的極限存在，,絕對(duì)收斂,級(jí)數(shù)發(fā)散,這就確定了級(jí)數(shù)的收斂半徑。,2020/8/6,9,9,判別冪級(jí)數(shù)收斂的柯西公式,如果求收斂半徑的達(dá)朗貝爾公式所要求的極限不存在，就必須改用柯西公式。 根據(jù)柯西判別法，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂的條