4 層次分析模型

1、第四講 離散模型,8.1 層次分析模型 8.2 循環(huán)比賽的名次,y,離散模型,離散模型：差分方程、整數(shù)規(guī)劃、圖論、對策論、網(wǎng)絡(luò)流、 ,分析社會經(jīng)濟系統(tǒng)的有力工具,只用到代數(shù)、集合及圖論（少許）的知識,8.1 層次分析模型,背景,日常工作、生活中的決策問題,涉及經(jīng)濟、社會等方面的因素,作比較判斷時人的主觀選擇起相當(dāng)大的作用，各因素的重要性難以量化,Saaty于1970年代提出層次分析法 AHP (Analytic Hierarchy Process),AHP一種定性與定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化、層次化的分析方法,目標(biāo)層,O(選擇旅游地),準(zhǔn)則層,方案層,一. 層次分析法的基本步驟,例. 選擇旅游地,如

2、何在3個目的地中按照景色、費用、居住條件等因素選擇.,“選擇旅游地”思維過程的歸納,將決策問題分為3個層次：目標(biāo)層O，準(zhǔn)則層C，方案層P；每層有若干元素， 各層元素間的關(guān)系用相連的直線表示。,通過相互比較確定各準(zhǔn)則對目標(biāo)的權(quán)重，及各方案對每一準(zhǔn)則的權(quán)重。,將上述兩組權(quán)重進行綜合，確定各方案對目標(biāo)的權(quán)重。,層次分析法將定性分析與定量分析結(jié)合起來完成以上步驟，給出決策問題的定量結(jié)果。,層次分析法的基本步驟,成對比較陣和權(quán)向量,元素之間兩兩對比，對比采用相對尺度,設(shè)要比較各準(zhǔn)則C1,C2, , Cn對目標(biāo)O的重要性,A成對比較陣,A是正互反陣,要由A確定C1, , Cn對O的權(quán)向量,選擇旅游地,成對

3、比較的不一致情況,允許不一致，但要確定不一致的允許范圍,考察完全一致的情況,成對比較陣和權(quán)向量,成對比較完全一致的情況,A的秩為1，A的唯一非零特征根為n,A的任一列向量是對應(yīng)于n 的特征向量,A的歸一化特征向量可作為權(quán)向量,對于不一致(但在允許范圍內(nèi))的成對比較陣A，建議用對應(yīng)于最大特征根的特征向量作為權(quán)向量w ，即,一致陣性質(zhì),成對比較陣和權(quán)向量,2 4 6 8,比較尺度aij,Saaty等人提出19尺度aij 取值1,2, , 9及其互反數(shù)1,1/2, , 1/9,心理學(xué)家認為成對比較的因素不宜超過9個,用13,15,117,1p9p (p=2,3,4,5), d+0.1d+0.9 (d

4、=1,2,3,4)等27種比較尺度對若干實例構(gòu)造成對比較陣，算出權(quán)向量，與實際對比發(fā)現(xiàn)， 19尺度較優(yōu)。,便于定性到定量的轉(zhuǎn)化：,成對比較陣和權(quán)向量,一致性檢驗,對A確定不一致的允許范圍,已知：n 階一致陣的唯一非零特征根為n,可證：n 階正互反陣最大特征根 n, 且 =n時為一致陣,定義一致性指標(biāo):,CI 越大，不一致越嚴(yán)重,為衡量CI 的大小，引入隨機一致性指標(biāo) RI隨機模擬得到aij , 形成A，計算CI 即得RI。,定義一致性比率 CR = CI/RI,當(dāng)CR0.1時，通過一致性檢驗,Saaty的結(jié)果如下,“選擇旅游地”中準(zhǔn)則層對目標(biāo)的權(quán)向量及一致性檢驗,準(zhǔn)則層對目標(biāo)的成對比較陣,最大

5、特征根=5.073,權(quán)向量(特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T,一致性指標(biāo),隨機一致性指標(biāo) RI=1.12 (查表),一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.1,通過一致性檢驗,組合權(quán)向量,記第2層（準(zhǔn)則）對第1層（目標(biāo)）的權(quán)向量為,同樣求第3層(方案)對第2層每一元素(準(zhǔn)則)的權(quán)向量,方案層對C1(景色)的成對比較陣,方案層對C2(費用)的成對比較陣,最大特征根 1 2 n,權(quán)向量 w1(3) w2(3) wn(3),組合權(quán)向量,RI=0.58 (n=3), CIk 均可通過一致性檢驗,w(2) 0.2630.4750.0550.09

6、00.110,方案P1對目標(biāo)的組合權(quán)重為0.5950.263+ =0.300,方案層對目標(biāo)的組合權(quán)向量為 (0.300, 0.246, 0.456)T,組合 權(quán)向量,第2層對第1層的權(quán)向量,第3層對第2層各元素的權(quán)向量,構(gòu)造矩陣,則第3層對第1層的組合權(quán)向量,第s層對第1層的組合權(quán)向量,其中W(p)是由第p層對第p-1層權(quán)向量組成的矩陣,層次分析法的基本步驟,1）建立層次分析結(jié)構(gòu)模型,深入分析實際問題，將有關(guān)因素自上而下分層（目標(biāo)準(zhǔn)則或指標(biāo)方案或?qū)ο螅蠈邮芟聦佑绊?，而層?nèi)各因素基本上相對獨立。,2）構(gòu)造成對比較陣,用成對比較法和19尺度，構(gòu)造各層對上一層每一因素的成對比較陣。,3）計算權(quán)向

7、量并作一致性檢驗,對每一成對比較陣計算最大特征根和特征向量，作一致性檢驗，若通過，則特征向量為權(quán)向量。,4）計算組合權(quán)向量（作組合一致性檢驗*）,組合權(quán)向量可作為決策的定量依據(jù)。,二. 層次分析法的廣泛應(yīng)用,應(yīng)用領(lǐng)域：經(jīng)濟計劃和管理，能源政策和分配，人才選拔和評價，生產(chǎn)決策，交通運輸，科研選題，產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，教育，醫(yī)療，環(huán)境，軍事等。,處理問題類型：決策、評價、分析、預(yù)測等。,建立層次分析結(jié)構(gòu)模型是關(guān)鍵一步，要有主要決策層參與。,構(gòu)造成對比較陣是數(shù)量依據(jù)，應(yīng)由經(jīng)驗豐富、判斷力強的專家給出。,例1 國家實力分析,例2 工作選擇,例3 橫渡江河、海峽方案的抉擇,例3 橫渡江河、海峽方案的抉擇,例4 科

8、技成果的綜合評價,三. 層次分析法的若干問題,正互反陣的最大特征根是否為正數(shù)？特征向量是否為正向量？一致性指標(biāo)能否反映正互反陣接近一致陣的程度？,怎樣簡化計算正互反陣的最大特征根和特征向量？,為什么用特征向量作為權(quán)向量？,當(dāng)層次結(jié)構(gòu)不完全或成對比較陣有空缺時怎樣用層次分析法？,1. 正互反陣的最大特征根和特征向量的性質(zhì),定理1 正矩陣A 的最大特征根是正單根，對應(yīng)正特征向量w，且,定理2 n階正互反陣A的最大特征根 n , = n是A為一致陣的充要條件。,2. 正互反陣最大特征根和特征向量的簡化計算,精確計算的復(fù)雜和不必要,簡化計算的思路一致陣的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反陣的列

9、向量都應(yīng)近似特征向量，可取其某種意義下的平均。,和法取列向量的算術(shù)平均,精確結(jié)果:w=(0.588,0.322,0.090)T, =3.010,根法取列向量的幾何平均,冪法迭代算法,1）任取初始向量w(0), k:=0，設(shè)置精度,2) 計算,3）歸一化,5) 計算,簡化計算,4）若 ，停止；否則，k:=k+1, 轉(zhuǎn)2,3. 特征向量作為權(quán)向量成對比較的多步累積效應(yīng),問題,一致陣A, 權(quán)向量w=(w1,wn)T, aij=wi/wj,A不一致, 應(yīng)選權(quán)向量w使wi/wj與 aij相差盡量小（對所有i,j)。,非線性 最小二乘,線性化 對數(shù)最小二乘,結(jié)果與根法相同,按不同準(zhǔn)則確定的權(quán)向量不同，特征

10、向量有什么優(yōu)點。,成對比較,Ci:Cj (直接比較）,aij 1步強度,aisasj Ci通過Cs 與Cj的比較,aij(2) 2步強度,更能反映Ci對Cj 的強度,多步累積效應(yīng),體現(xiàn)多步累積效應(yīng),定理1,特征向量體現(xiàn)多步累積效應(yīng),4.不完全層次結(jié)構(gòu)中組合權(quán)向量的計算,完全層次結(jié)構(gòu)：上層每一元素與下層所有元素相關(guān)聯(lián),不完全層次結(jié)構(gòu),設(shè)第2層對第1層權(quán)向量w(2)=(w1(2),w2(2)T已定,第3層對第2層權(quán)向量w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)T w2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T已得,討論由w(2),W(3)=(w1(3), w2(3)計算第3層

11、對第1層權(quán)向量w(3）的方法,例: 評價教師貢獻的層次結(jié)構(gòu),P1,P2只作教學(xué), P4只作科研, P3兼作教學(xué)、科研。,C1,C2支配元素的數(shù)目不等,層次分析法的優(yōu)點,系統(tǒng)性將對象視作系統(tǒng)，按照分解、比較、判斷、綜合的思維方式進行決策系統(tǒng)分析（與機理分析、測試分析并列）；,實用性定性與定量相結(jié)合，能處理傳統(tǒng)的優(yōu)化方法不能解決的問題；,簡潔性計算簡便，結(jié)果明確，便于決策者直接了解和掌握。,層次分析法的局限,囿舊只能從原方案中選優(yōu)，不能產(chǎn)生新方案；,粗略定性化為定量，結(jié)果粗糙；,主觀主觀因素作用大，結(jié)果可能難以服人。,8.2 循環(huán)比賽的名次,n支球隊循環(huán)賽，每場比賽只計勝負，沒有平局。,根據(jù)比賽結(jié)

12、果排出各隊名次,方法1：尋找按箭頭方向通過全部頂點的路徑。,312456,146325,方法2：計算得分：1隊勝4場，2, 3隊各勝3場，4, 5隊各勝2場， 6隊勝1場。,2, 3隊， 4, 5隊無法排名,6支球隊比賽結(jié)果,32，4 5,循環(huán)比賽的結(jié)果競賽圖 每對頂點間都有邊相連的有向圖,3個頂點的競賽圖,名次,1，2，3,(1,2,3)并列,1, 2, 3, 4,2,(1,3,4),(1,3,4), 2,4個頂點的競賽圖,名次,(1,2),(3,4),1, 2, 3, 4?,競賽圖的3種形式,具有唯一的完全路徑，如(1)；,雙向連通圖任一對頂點存在兩條有向路徑相互連通，如(4)；,其他，如(2)， (3) 。,競賽圖的性質(zhì),必存在完全路徑；,若存在唯一的完全路徑，