反證法（一）.ppt

1、第二章 推理與證明,-2.2.2 反證法,一、實(shí)例-引入：,（2） 的三個(gè)內(nèi)角 中，至少有一個(gè)不小于 ，你能證明嗎？,（1）將9個(gè)蘋(píng)果放入兩個(gè)抽屜，其中一個(gè)抽屜一定放了不少于5個(gè)蘋(píng)果，能證明你的結(jié)論嗎？,游戲：將3個(gè)蘋(píng)果放入兩個(gè)抽屜，其中一個(gè)抽屜一定放了不少于2個(gè)蘋(píng)果，你能說(shuō)明理由嗎？,2、分析：,（1）上述問(wèn)題直接推理難以入手，即使能直接推理，分類較繁（煩！）,（2 ）提示：逆向思考 ？,1、實(shí)例：,實(shí)例2：假設(shè) 都小于 ，你能推出什么？,2、分析：,實(shí)例1：假設(shè)同一抽屜的蘋(píng)果少于5個(gè)，你能推出什么？,假設(shè)同一抽屜的蘋(píng)果數(shù)少于5個(gè),蘋(píng)果的總數(shù)不多于8個(gè),與總蘋(píng)果數(shù)9矛盾,故：假設(shè)錯(cuò)誤，結(jié)論成

2、立！,與 矛盾,故：假設(shè)錯(cuò)誤，結(jié)論成立！,3、小結(jié)：,（1）上述實(shí)例從正面入手推理較困難；,（2）逆向思考能快簡(jiǎn)準(zhǔn)地解決問(wèn)題，具體過(guò)程如下：,假設(shè)命題的結(jié)論不成立； 由假設(shè)推理，得出矛盾； 假設(shè)錯(cuò)誤，原命題成立。,二、間接法反證法：,1、反證法：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立。,如：求證： 可表示為,2、反證法的思想實(shí)質(zhì)：否定結(jié)論，推理矛盾；否定假設(shè)，結(jié)論正確。 （1）否定結(jié)論：對(duì)結(jié)論的反面一一否定； 推理矛盾：在“假設(shè)”的前提下邏輯推理，得出矛盾。 （2）否定假設(shè)：產(chǎn)生“矛盾”的原因是假設(shè)錯(cuò)誤； 結(jié)論正確：由于假設(shè)錯(cuò)誤，所以原命題成

3、立。,3、反證法的證明數(shù)學(xué)命題的一般步驟：,（1）假設(shè)命題的結(jié)論不成立； （2）在“假設(shè)”的前提下推理（演繹），得出矛盾； （3）假設(shè)錯(cuò)誤，原命題成立。,三、反證法的應(yīng)用：,1、反證法證“唯一性”問(wèn)題,例1、已知 ，證明：關(guān)于 的方程 有且只有一個(gè)根。,（1）由于 ，所以方程 有根 ；-說(shuō)明方程存在根；,分析：,（2）證明方程 的根是唯一的-反證法,由于 ，所以方程 有根 ；,證明：,假設(shè)關(guān)于 的方程 的根不唯一，不妨設(shè) 是兩個(gè)不同的根（ ）,-， -,得： ，,則有 ，這與已知 矛盾,故：假設(shè)錯(cuò)誤，原命題成立。,解題反思：證“唯一性”問(wèn)題：（1）要先說(shuō)明“有”、“存在”；（2）“唯一性”用反

4、證法證明，假設(shè)“不唯一”，不妨由“兩個(gè)”去推理矛盾。（3）反證法的“步驟”,則有：,練習(xí)題：證明：方程 有且只有一個(gè)根。,2、反證法證“否定性”問(wèn)題,例2、如圖， 是圓的兩條相交弦，且不全為直徑。求證： 不能互相平分。,分析：從正面入手難以說(shuō)理！,證明：,假設(shè) 互相平分，則四邊形 為平行四邊形 ，,四邊形 為圓內(nèi)接四邊形，,均為圓的直徑，與已知矛盾,故：假設(shè)錯(cuò)誤，原命題成立。,解題反思：（1）正確假設(shè)所證結(jié)論錯(cuò)誤；（2）由假設(shè)正確推理，得出矛盾。,P101例5,練習(xí)P102 2,已知 ， ，設(shè)函數(shù) ，（其中 ）。 證明：過(guò)函數(shù) 圖象上任意兩個(gè)不同點(diǎn)的直線不平行于 軸。,考試報(bào)2月7日29期：,四、課堂小結(jié)：,1、反證法：思考過(guò)程和特點(diǎn)。,如：求證： 可表示為,2、反證法的思想實(shí)質(zhì)：否定結(jié)論，推理矛盾； 否定假設(shè)，結(jié)論正確。,3、反證法的證明數(shù)學(xué)命題的一般步驟：,（1）假設(shè)命題的結(jié)論不成立； （2）在“假設(shè)”的前提下推理（演繹），得出矛盾； （3）假設(shè)錯(cuò)誤，原命題成立。,4、適于反證法證明的常見(jiàn)問(wèn)題：