2010-6水文統(tǒng)計-PIII型分布.ppt

1、1/41,水 文 統(tǒng) 計 梁 川 C. Liang 2010年911月,2/41,6 P-III型分布參數(shù)估計和經(jīng)驗頻率曲線（p.173-196） 6.1 估計理論 參數(shù)估計 X、Cv、Cs 非參數(shù)估計 當(dāng)沒有確切的數(shù)學(xué)分布時 點估計的思想：假設(shè)樣本X的分布函數(shù)為F(x; u0)，u0為未知參數(shù)，構(gòu)造估計量UU(X1,X2,Xn)，若將一個具體樣本(x1,x2, ,xn)帶入U，則可以得到u0的估計值為uu(x1,x2, ,xn)。 區(qū)間估計的思想：即估計參數(shù)所在的區(qū)間，或永一個區(qū)間區(qū)區(qū)估計未知參數(shù)。 常用的兩種方法：數(shù)理統(tǒng)計方法和水文適線方法。,3/41,數(shù)理統(tǒng)計方法： 矩法 格里汶科定理“

2、當(dāng)n 時，樣本的各階矩即為總體的各階矩” 帶抽樣誤差時，有偏估計量為( )。 連序樣本估計總體參數(shù)的公式 p.176 ：,4/41,極大似然法 “發(fā)生概率最大的事件可能發(fā)生” 對于似然函數(shù)： 使 L 達(dá)到極值時，有u0i的極大似然估計值和極大似然估計量如下： p.178 例6 *矩法和極大似然法的異同,5/41,權(quán)函數(shù)法 加權(quán)矩法” p.187 馬秀峰（1994），以常用參數(shù)、Cs和E(x)表示a0及，經(jīng)換算可得到 Cs-4B(x)/G(x) 式中，B(x)、G(x)分別為加權(quán)的一階和二階中心矩： 其中，(x) 是權(quán)函數(shù)，為正態(tài)分布的密度函數(shù)，即 并滿足非負(fù)且連續(xù)可微。,6/41,概率權(quán)重矩法

3、 “樣本概率權(quán)重矩與分布無關(guān)” 丁晶（1988），提出由樣本概率權(quán)重矩代替總體概率權(quán)重矩的估計量。樣本的各階矩為 式中，f(t)和f(x)均為P-III型分布的概率密度函數(shù)。,7/41,其中， 進一步推導(dǎo)，還有 這里的H和R都與Cs有關(guān)，可通過查表求出，再計算得到x、Cv和Cs。,8/41,水文適線方法： 目估適線法（配線法、圖解法） 以經(jīng)驗頻率點據(jù)為基礎(chǔ)，在一定的適線準(zhǔn)則下，求解與經(jīng)驗點據(jù)擬合最優(yōu)的頻率曲線參數(shù)，是集線型選配和參數(shù)估計“合二為一”的方法(p.179p.185) 。 基本步驟： 1）將實測水文系列從大到小排列，用經(jīng)驗頻率公式(期望公式)計算其頻率，并點繪于頻率格紙上，得到經(jīng)驗點

4、據(jù)；,9/41,2）選定理論頻率分布(P-III型)，用矩法估計一組X、Cv和Cs (CsnCv)參數(shù)，并查值表； 3）以xp值為縱座標(biāo)及相應(yīng)的p值為橫座標(biāo)，在頻率格紙上點繪理論頻率點據(jù)，然后光滑連接成為理論頻率曲線；,10/41,4）根據(jù)適線準(zhǔn)則，檢查經(jīng)驗點據(jù)與理論頻率曲線的擬合情況，進行X、Cv和Cs (CsnCv) 參數(shù)調(diào)整，重復(fù)24步，直到配線擬合滿意為止； 5）把確定的理論頻率分布曲線之參數(shù)作為總體分布的估計值，最后求出所需頻率的水文變量設(shè)計值。 示例：p.182,11/41,算例1：已知某樞紐有實測21年的年最大洪峰流量資料，試用矩法 初選參數(shù)并配線，并推求百年一遇的洪峰流量。,1

5、2/41,解： 1）用期望公式計算經(jīng)驗頻率p值（表4-3） 2）用矩法初估統(tǒng)計參數(shù)（X和Cv）,13/41,3）點繪經(jīng)驗頻率曲線（圖4-9）,14/41,4）選配理論頻率曲線（表4-4） 5）推求百年一遇的設(shè)計洪峰流量 由圖4-9，查 p1對應(yīng)的流量 Qp3730m3/s 或用式 直接計算，得到 Qp11246(13.330.6)3730m3/s,15/41,三點法 在經(jīng)驗頻率曲線上任取3個點(xp1,P)、(xp2,P)、(xp3,P)，代入P-III型方程聯(lián)解，可求得x、Cv和Cs三個參數(shù)值。即 消去均方差，則有,16/41,令 偏度系數(shù)，當(dāng)P1、P2和P3為已知時，則有SM(Cs)的函數(shù)

6、關(guān)系，可制成SCs關(guān)系附表3*備查。 這里，P2和一般取50，P1和P3已則取對稱值，P31P1，如P55095；P35097等。 另外， 其中，(P1,Cs)(P3,Cs)和50只與Cs有關(guān)，可制成附表4*。 于是，由Cs可確定(P1,Cs)(P3,Cs) 和50之值，進而求得x，便能計算Cv/x。 * 參見“水文水利計算”或“工程水文”教材。,17/41,例2：采用例1中的最大洪峰流量資料，按三點法初選參數(shù) 進行配線。具體步驟如下: 1）點繪經(jīng)驗頻率曲線，見圖中虛線所示,18/41,2）從經(jīng)驗頻率曲線上讀得 Q5 % 2600m3/s Q50%1100m3/s Q90%408m3/s 可以

7、求出 0.369 查附表3，當(dāng)S0.369時，Cs1.31； 再查附表4，當(dāng)Cs1.31時， 50-0.209 5953.146,19/41,由此計算 3）取Q1246m3/s、Cv0.55和Cs2.5Cv1.375 進行配線，得到最后成果，如前面圖中(實線)所示。 *與例1比較，可見基本上是一致的。,20/41,統(tǒng)計參數(shù)的變化對頻率曲線的影響： X對頻率曲線的影響 X值的增大意味什么？,21/41,Cv對頻率曲線的影響 當(dāng)k=1.0時(直線)，表明了什么？,22/41,Cs對頻率曲線的影響 當(dāng)Cs0.0時，為什么是直線？,23/41,6.2 適線準(zhǔn)則 p.186 優(yōu)化適線準(zhǔn)則：用任意一種經(jīng)驗

8、頻率公式配合“點線”的離差指標(biāo)，就可以構(gòu)成為一種優(yōu)化適線的方法。 常用的有三種適線方法： 離差絕對值之和最小準(zhǔn)則（ABS） 離差絕對值平方和最小準(zhǔn)則（OSL） 相對離差絕對值平方和最小準(zhǔn)則（WLS）,24/41,離差絕對值之和最小準(zhǔn)則（ABS） 使經(jīng)驗公式點據(jù)縱座標(biāo)xi與對應(yīng)的理論頻率曲線縱座標(biāo)xi0絕對值之和達(dá)到最小。 優(yōu)缺點：概念明確，方法簡單；頻率曲線右端較平直，左端大洪水點據(jù)高居上方(掛燈籠)，使得適線結(jié)果偏于不安全。,25/41,離差絕對值平方和最小準(zhǔn)則（OSL） 使經(jīng)驗公式點據(jù)縱座標(biāo)xi與對應(yīng)的理論頻率曲線縱座標(biāo)xi0之差的平方和達(dá)到最小。 優(yōu)缺點：即最 小二乘估計法，更加強調(diào)洪水

9、點據(jù)的作用；使得頻率曲線左端上翹，設(shè)計值將比真值偏大較多。,26/41,相對離差絕對值平方和最小準(zhǔn)則（WLS） 使經(jīng)驗公式點據(jù)縱座標(biāo)xi與對應(yīng)的理論頻率曲線縱座標(biāo)xi0相對離差的絕對值平方和達(dá)到最小。 優(yōu)缺點：能夠保持洪水點據(jù)的相對誤差不變，但可能出現(xiàn)系統(tǒng)性偏差。,27/41,對于P-III型分布曲線，理論上應(yīng)使目標(biāo)函數(shù)取得極小值，即 則有 式中，特征參數(shù)(X、Cv “縱標(biāo)適線” 和Cs)；為的最小二乘估 計值；f(pi,)頻率曲線縱座標(biāo)， 一般地，f(pi,)X(Cv1)。,28/41,6.3 評選標(biāo)準(zhǔn) p.189 抽樣誤差：若用均方誤差表示，則有 記 bE() ，并稱為估計量對的偏。 由此

10、可見，估計量的 抽樣誤差由兩部分組成：一 部分是估計量的抽樣方差2， 另一部分是估計量的數(shù)學(xué)期 望對其真值的偏差b。,29/41,“三性”原則： 無偏性 若對于一切n，有E()成立，則是的無偏估計量；而當(dāng)n時也成立，則為漸近無偏估計量。 特點：估計量的抽樣誤差越小越好，而且隨機變量的樣本平均值是總體平均值的無偏估計量和有效估計量。 P.190 例8,30/41,有效性 若對于一切n，有D(1) D(2)成立，則估計量1較2 有效，并且其方差等于De，則稱為有效估計量。 克拉美羅不等式： 式中，De為無偏估計量的方差下界。 特點：正態(tài)分布總體的樣本均值是有效估計量；而且同名參數(shù)的多個無偏估計量，

11、其方差越小的無偏估計量越好。 See P.192193,31/41,一致性 對于任意小的正數(shù)0，具有 成立，則是的一致性估計量。 特點：一個好的估計量應(yīng)隨著n的增大而越加精確；樣本的特征數(shù)字、k階原點矩都是與總體同名的一致性和無偏估計量。 常常把一個有偏估計量修改為無偏估計量的方法稱為糾偏。,32/41,連序樣本的無偏估計量：,33/41,不連序樣本的無偏估計量：,34/41,衡量估計好壞的評選標(biāo)準(zhǔn)： 水文頻率計算的最終目的是估計設(shè)計值而不是統(tǒng)計參數(shù)，因此，一般通過評價設(shè)計值估計的好壞來評價估計方法。具體的指標(biāo)是：期望損失和期望概率。 期望損失 令設(shè)計值的真值xp0，其分布參數(shù)的函數(shù)為 xp0

12、Hp(1,2,n)；用樣本估計參數(shù)時，設(shè)計值的估計值成為隨機變量，即xpHp(1,2,n)。當(dāng)估計的 xp與xp0不同時，在水利工程重就有可能導(dǎo)致經(jīng)濟損失。 xpxp0時，為超標(biāo)損失，造成投資浪費； xpxp0時，為低標(biāo)損失，因工程能力不足而引起破壞。,35/41,若用L(xp, xp0)表示xpxp0不同時引起的經(jīng)濟損失，稱為損失函數(shù)，那么，對每種估計方法都有一個確定的期望損失R，即 式中，g(xp)為xp的分布密度函數(shù)。 理論上，R越小的估計方法越好，這比無偏性和有效性更為合理。,36/41,但是，由于影響期望損失函數(shù)的因素十分復(fù)雜，目前在水文統(tǒng)計中仍用xp的無偏性和有效性作為評選標(biāo)準(zhǔn)，并

13、要求滿足以下兩式 式中， 為設(shè)計值xp的抽樣誤差。 另一方面，由于用樣本估計的設(shè)計值xp代替真值xp0總是存在誤差，所以還需要作一定的修正。,37/41,修正值一般取其均方差的 倍數(shù)，即 式中，B是與設(shè)計頻率p和Cs 有關(guān)的綜合系數(shù)，BpCs 關(guān)系被制成所謂的B值諾模圖， 以供計算時查用。 該圖適用于簡單隨機樣本 的P-III型總體分布，并采用期 望公式計算經(jīng)驗頻率和絕對準(zhǔn) 則適線的情況。 B值諾模圖,38/41,關(guān)于 P-III型分布各統(tǒng)計參數(shù)的均方誤差公式：,39/41,期望概率 一般地，樣本估計的設(shè)計值xp不等同于真值xp0。同理，實際的破壞概率p*也不等同于設(shè)計概率p，即 用p(x)和g(x)分別表示x和xp的概率密度，可以證明，在樣本各項相互獨立的條件下，x和xp也是相互獨立的。于是有 式中， ，為t的超過制概率分布函數(shù)。,40/41,當(dāng)設(shè)計概率pp*時，總體的破壞概率應(yīng)該等于樣本設(shè)計值的破壞概率的均值，此時p被稱為期望概率。 換句話說，如果未來任一年設(shè)計目標(biāo)的實際破壞概率等于設(shè)計概率，便是一種好的估計方法。 由于現(xiàn)行的估計方法大多數(shù)不滿足上述要求，尤其p50時，P(xxp)=pp*，平均而言，其設(shè)計值總是偏小，致使工程偏不安全。 * 橫標(biāo)適線,41/