數(shù)學(xué)北師大版九年級(jí)上冊(cè)1.2 矩形的性質(zhì)與判定.2 矩形的性質(zhì)與判定.ppt

1、矩 形,1.2.1 矩形的性質(zhì) 電白區(qū)大衙中學(xué)許高聲,在小學(xué)，我們初步認(rèn)識(shí)了長(zhǎng)方形，觀察圖2-41 中的長(zhǎng)方形，它是什么平行四邊形嗎？它有什么特點(diǎn)呢？,圖2-41,這些四邊形的四個(gè)角都是直角.,我發(fā)現(xiàn)這些長(zhǎng)方形的對(duì)邊平行且相等，因此，它們是平行四邊形.,有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形，也稱為長(zhǎng)方形.,平行四邊形,矩形,矩形的四個(gè)角都是直角，對(duì)邊相等，對(duì)角線互相平分.,可以知道：,矩形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)角線的交點(diǎn)是它的對(duì)稱中心.,由于矩形是平行四邊形，因此,如圖2-42，四邊形ABCD為矩形，那么對(duì)角 線AC與DB相等嗎？,圖2-42,圖2-42,如圖，四邊形ABCD是矩形，,于是有 AB=

2、DC， CBA=BCD=90 ， BC=CB.,因此 CBABCD. (SAS),從而 AC=BD.,即矩形的對(duì)角線相等.,圖2-42,矩形的對(duì)角線相等.,由此得到矩形的性質(zhì)：,圖2-43,解 ABCD是矩形，,從而, AOB是等邊三角形., AB=OA=2cm.,又AOB = 60，, ABC = 90，, 在RtABC中，,圖2-43,解 ABCD是矩形，,從而,在紙上畫一個(gè)矩形ABCD(如圖2-44)，把它剪下來(lái)，怎樣折疊能使矩形在折痕兩旁的部分互相重合？滿足這個(gè)要求的折疊方法有幾種？由此猜測(cè)：矩形是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它有幾條對(duì)稱軸？你的猜測(cè)正確嗎？,圖2-44,如圖，矩形ABCD的

3、對(duì)角線相交于點(diǎn)O.,O,過(guò)點(diǎn)O作直線EFBC，且分別與邊BC ，AD相交于點(diǎn)E，F(xiàn).,由于 ，因此OBC是等腰三角形，從而直線EF是線段BC的垂直平分線.,由于ADBC，因此EFAD. 同理，直線EF是 線段AD的垂直平分線.,因此點(diǎn)B和點(diǎn)C關(guān)于直線EF對(duì)稱，點(diǎn)A和點(diǎn)D關(guān)于 直線EF對(duì)稱，從而在關(guān)于直線EF的軸反射下，矩形 ABCD的像與它自身重合，因此矩形ABCD是軸對(duì)稱 圖形，直線EF是矩形ABCD的一條對(duì)稱軸.,類似地，過(guò)點(diǎn)O作直線MNAB，且分別與邊AB，DC相交于點(diǎn)M，N，則點(diǎn)M，N分別是邊AB，DC的中點(diǎn)，直線MN是矩形ABCD的一條對(duì)稱軸.,矩形是軸對(duì)稱圖形，過(guò)每一組對(duì)邊中點(diǎn)的直

4、線都是矩形的對(duì)稱軸.,由此得到：,已知矩形的一條對(duì)角線的長(zhǎng)度為2cm，兩條對(duì)角線的 一個(gè)夾角為60，求矩形的各邊長(zhǎng).,1.,答：矩形的各邊長(zhǎng)分別為1cm和,2. 如圖，四邊形ABCD 為矩形，試?yán)镁匦蔚男再|(zhì) 說(shuō)明：直角三角形ABC斜邊AC上的中線BO等于 斜邊的一半.,例,如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，若AOB=60，AB=4cm，則AC的長(zhǎng)為 cm.,8,矩 形,1.2.2 矩形的判定,矩形的四個(gè)角是直角，那么，四個(gè)角是直角的四邊形是矩形嗎？三個(gè)角是直角呢？?jī)蓚€(gè)角是直角呢？,如圖2-46，四邊形ABCD 的四個(gè)角都是直角. 由于“同旁內(nèi)角互補(bǔ)， 兩直線平行”，因此AB

5、DC， ADBC，從而四邊形ABCD 是平行四邊形. 所以ABCD 是矩形. 由此得到四個(gè)角是直角的四邊形是矩形.,圖2-46,三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.,三個(gè)角是直角的四邊形，容易知道另一個(gè)角也 是直角，由此得到：,從“矩形的對(duì)角線相等且互相平分”這一性質(zhì)受到啟發(fā)，你能畫出對(duì)角線長(zhǎng)度為4cm的一個(gè)矩形嗎？這樣的矩形有多少個(gè)？,你能說(shuō)出這樣畫出的四邊形一定是矩形的道理嗎？,如圖2-47，由畫法可知，四邊形ABCD的兩條對(duì)角線互相平分，因此它是平行四邊形，又已知其對(duì)角線相等，上述問(wèn)題抽象出來(lái)就是：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形嗎？,我們來(lái)進(jìn)行證明.,在ABCD中，由于AB=DC，AC=DB，BC

6、=CB，,因此 ABCDCB. (SSS),從而 ABC=DCB.,又ABC+DCB =180，,于是 ABC=90.,所以 ABCD是矩形.,圖2-47,對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.,由此得到矩形的判定定理：,對(duì)角線相等的四邊形是矩形嗎？,圖2-48,舉 例,（2） OBC是等腰三角形，其中OB = OC，, AC與DB相等且互相平分., OBC是等腰三角形., AC = 2OC = 2OB = BD., ABCD是矩形.,圖2-48,例3 如圖：在 ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,EFAC, O 是垂足，EF分別交AB、CD于點(diǎn)E、F，且BE=OE=0.5AE 求證: ABCD是矩

7、形,1. 如圖，在四邊形ABCD中，A=B=C=D， 求證：四邊形ABCD是矩形.,證明：因?yàn)樗倪呅沃校珹=B=C=D ， 四邊形的內(nèi)角和為360， 所以A=B=C=D= 90 ， 所以四邊形ABCD是矩形. (三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.),2. 如圖，在ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O， AOB = 60，AB= 2，AC= 4，求ABCD的面積.,解： OA= =2，AB= 2，, OAB是等腰三角形., OAB是等邊三角形.,又AOB = 60，, OA=OB=2， AC=BD=4., ABCD是矩形. (對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.),作OEAD于點(diǎn)E.,E,在Rt OAE中，AO=2，OE= =1，,