高等數(shù)學(xué)數(shù)列極限.ppt

1、, 一元微積分學(xué),大 學(xué) 數(shù) 學(xué)（1）,第三講 數(shù)列的極限,授課教師：易學(xué)軍,歡迎觀看,第 二 章 極 限,本章學(xué)習(xí)要求： 了解數(shù)列極限、函數(shù)極限概念，知道運(yùn)用“”和 “X ” 語言描 述函數(shù)的極限。 理解極限與左右極限的關(guān)系。熟練掌握極限的四則運(yùn)算法則 以及運(yùn)用左右極限計(jì)算分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限。 理解無窮小量的定義。理解函數(shù)極限與無窮小量間的關(guān)系。 掌握無窮小量的比較，能熟練運(yùn)用等價無窮小量計(jì)算相應(yīng)的 函數(shù)極限。了解無窮大量的概念及其與無窮小量的關(guān)系。 理解極限存在準(zhǔn)則。能較好運(yùn)用極限存在準(zhǔn)則和兩個重要極 限求相應(yīng)的函數(shù)極限。,第 二 章 極 限,第一節(jié) 數(shù)列的極限,一、數(shù)列及其簡單性質(zhì)

2、,二、數(shù)列的極限,三、數(shù)列極限的性質(zhì),四、數(shù)列的收斂準(zhǔn)則,稱為一個數(shù)列, 記為 xn .,1. 定義,數(shù)列中的每一個數(shù)稱為數(shù)列的一項(xiàng),xn = f (n) 稱為數(shù)列的通項(xiàng)或一般項(xiàng),一、數(shù)列及其簡單性質(zhì),數(shù)列也稱為序列,2. 數(shù)列的表示法,介紹幾個數(shù)列,所有的奇數(shù)項(xiàng),所有的偶數(shù)項(xiàng),所有奇數(shù)項(xiàng),3. 數(shù)列的性質(zhì),單調(diào)性,有界性,(1) 數(shù)列的單調(diào)性,單調(diào)增加,不減少的,單調(diào)減少,不增加的,統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列,數(shù)列,(2) 數(shù)列的有界性,回想一下前面講過的 函數(shù)的有界性的情形,我學(xué)過嗎 ？,數(shù)列的有界性的定義,如何定義數(shù)列無界？,有界的數(shù)列在數(shù)軸上和在直角坐標(biāo)系 中的圖形會是什么樣子？,想想：,從數(shù)軸上

3、看, 有界數(shù)數(shù)列 xn 的全部點(diǎn),都落在某區(qū)間 (M*, M* ) 中.,觀察例1 中的幾個數(shù)列：,有些數(shù)列雖然無界, 但它或者是下方有 界的, 或者是上方有界的.,一個數(shù)列有界(有上界, 有下界), 則必有 無窮多個界(上界, 下界).,現(xiàn)在來討論如何定義數(shù)列的無界：,首先看有界性定義的關(guān)鍵所在,對所有的,證,分析,二、數(shù)列的極限,0,0,1,極限描述的是變量的變化趨勢.,x1,x3,x2n-1,x2n,x4,x2,x,0,(,(,(,),),),*,“ n 無限增大” 記為 n .,此時稱數(shù)列,當(dāng) n 時以零為,極限, 記為：,這就是該數(shù)列的變化趨勢,量化表示：n 時, xn a .,預(yù)先

4、任意給定一個正數(shù) 0, 不論它的值多么小,當(dāng) n 無限增大時, 數(shù)列 xn 總會從某一項(xiàng)開始,以后的所有項(xiàng),都落在 U(0, ) 中.,（在 U(0, ) 外面只有有限項(xiàng)）,一般地, 如果數(shù)列xn 當(dāng) n 時,列xn 當(dāng) n 時以 a 為極限, 記為,xn 可以無限地趨近某個常數(shù) a, 則稱數(shù),此時, 也稱數(shù)列是收斂的.,0,0,1,若 xn 當(dāng) n 時沒有極限, 則稱 xn 發(fā)散.,若,此時, 也稱數(shù)列 xn 是收斂的.,極限描述的是變量的變化趨勢,數(shù)列的項(xiàng)不一定取到它的極限值.,數(shù)列極限的定義：,1.唯一性定理,若數(shù)列 xn 收斂, 則其極限值必唯一.,想想, 如何證明它？,三、數(shù)列極限的

5、性質(zhì),設(shè)數(shù)列 xn 收斂, 但其極限不唯一, 不妨設(shè)有：,證,運(yùn)用反證法,任意性,常數(shù),由 的任意性, 上式矛盾, 故 a = b .,唯一性定理的推論,充分必要條件,子數(shù)列的概念,在數(shù)列 xn: x1 , x2 , , xn , 中, 保持各項(xiàng)原來的先后次序不變, 自左往右任意選取無窮多項(xiàng)所構(gòu)成的新的數(shù)列, 稱為原數(shù)列的一個子數(shù)列, 記為,唯一性定理的推論往往用來證明或判斷數(shù)列極限不存在,2.有界性定理,若數(shù)列 xn 收斂, 則 xn 必有界.,證,即有,則,由數(shù)列有界的定義得：數(shù)列 xn 收斂, 則必有界.,該定理的逆命題不真, 即有界數(shù)列不一定收斂. 例如, (1) n .,有界性定理的推論：,即 無界數(shù)列的極限不存在 .,無界數(shù)列必發(fā)散.,發(fā)散的數(shù)列不一定都無界 . 例如, (1) n .,收斂的數(shù)列必有界. 有界的數(shù)列不一定收斂. 無界的數(shù)列必發(fā)散 . 發(fā)散的數(shù)列不一定無界.,3.保號性定理,證,由絕對值不等式的知識, 立即得,a 0 的情形類似可證, 由學(xué)生自己完成 .,保號性定理的推論1：,這里為嚴(yán)格不等號時,此處仍是不嚴(yán)格不等號,由保號性定理, 運(yùn)用反證法證明,保號性定理的推