定積分(高二公開課教案).ppt

1、感謝各位百忙之中前來聽課，如有不足之處請多加指正!,課題：1.7 定積分及其簡單應用 班級：高二八班 高二數(shù)學 余金桃 2012-2_29,1.7 定積分及其簡單應用 要點梳理 1.用化歸法計算矩形面積和逼近的思想方法求出曲邊梯形的面積的具體步驟為 、 、 、 .,分割,近似代替,求和,取極限,基礎知識 自主學習,2.定積分的定義 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，用分點將區(qū)間a,b等分成n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上任取 一點i(i=1,2,n)，作和式 .當n時，上述和式無限接近于某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的定積分,記作 , 即 = ,其中f(x)稱為 , x稱為 ,f

2、(x)dx稱為 ， a,b為 ，a為 ，b為 .,被積函數(shù),積分變量,被積式,積分區(qū)間,積分下限,積分上限,3. 的實質(zhì) （1）當f(x)在區(qū)間a,b上大于0時， 表示 由 ，這也是定積分的幾何意義. （2）當f(x)在區(qū)間a,b上小于0時， 表示 . (3)當f(x)在區(qū)間a,b上有正有負時， 表 示介于x=a，x=b (ab)之間x軸之上、下相應的曲 邊梯形的面積的代數(shù)和.,直線x=a,x=b(ab),y=0和曲線y=f(x)所圍成,的曲邊梯形的面積,由直線x=a，x=b (ab),y=0和曲線y=f(x)所圍成的,曲邊梯形的面積的相反數(shù),4.定積分的運算性質(zhì) (1) = . (2) =

3、. (3) = . 5.微積分基本定理 一般地，如果f（x）是區(qū)間a，b上的連續(xù)函數(shù)，并且F(x)=f(x),那么 . 這個結(jié)論叫做微積分基本定理,又叫做牛頓萊布尼茲公式.可以把F（b）-F（a）記為F(x) .即,(a c b),6.利用牛頓萊布尼茲公式求定積分的關鍵是 ，可將基本初等函數(shù)的導數(shù)公式逆向使用. 7.定積分的簡單應用 （1）求曲邊梯形的面積 （2）勻變速運動的路程公式 做變速直線運動的物體所經(jīng)過的路程s，等于其速度函數(shù)v=v(t) (v(t)0)在時間區(qū)間a,b上的定積分，即s= .,求被,積函數(shù)的原函數(shù),(3)變力作功公式 一物體在變力F（x）（單位：N）的作用下做直線運動，

4、如果物體沿著與F相同的方向從x=a移動到x=b (ab)（單位：m),則力F所作的功為W= .,基礎自測 1. sin xdx等于（） A.0B.2C.D.2 解析 =-cos-(-cos 0)=1+1=2.,D,x2(x0) 2x(x0)，則 f(x)dx的值是（） A. x2dxB. 2xdx C. x2dx+ 2xdxD. 2xdx+ x2dx 解析 由分段函數(shù)的定義及積分運算的性質(zhì)知：,D,2.設f(x)=,3.如圖所示，函數(shù)y=-x2+2x+1與y=1相交形成一個閉合圖形（圖中的陰影部分），則該閉合圖形的面積是（） A.1B. C. D.2 y=-x2+2x+1 y=1， S= （-

5、x2+2x+1-1）dx= （-x2+2x）dx,B,由,解析,得x1=0,x2=2.,題型一 利用微積分基本定理求定積分 【例1】(1) (x2+2x+1) dx;(2) (sin x-cos x) dx; (3)（x-x2+ ）dx;(4) (cos x+ex) dx. 先由定積分的性質(zhì)將其分解成各個簡單函數(shù)的定積分,再利用微積分基本定理求解. 解 (1) (x2+2x+1) dx = x2dx+ 2xdx+ 1dx =,思維啟迪,題型分類 深度剖析,探究提高 計算一些簡單的定積分，解題的步驟是：（1）把被積函數(shù)變形為冪函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與常數(shù)的和或差；（2）把定積分用定積

6、分性質(zhì)變形為求被積函數(shù)為上述函數(shù)的定積分；（3）分別用求導公式找到一個相應的原函數(shù)；（4）利用牛頓萊布尼茲公式求出各個定積分的值；（5）計算原始定積分的值. 計算 f(x)dx的關鍵是找到滿足F(x)=f(x)的函數(shù)F（x）.其中F（x）可將基本初等函數(shù)的導數(shù)公式逆向使用得到.,知能遷移1 求下列函數(shù)的定積分. (1) (4x3+3x2-x)dx; (2) （e2x+ ）dx; (3) sin2 dx. 解（1） (4x3+3x2-x) dx = (4x3)dx+ (3x2) dx- xdx = =(24-0)+(23-0)- (22-0) =16+8-2=22.,題型二 求分段函數(shù)的定積分

7、【例2】計算下列定積分. （1） |sin x|dx; (2) |x2-1|dx. 對于第（1）小題，應對在區(qū)間0，2上的正、負進行分情況計算；而對于第（2）小題，在0 x2的條件下，對x2-1的正、負情況進行討論. 解 （1）（-cos x）=sin x， |sin x|dx= |sin x|dx+ |sin x|dx =-（cos -cos 0）+（cos 2-cos ）=4.,思維啟迪,x2-1(1x2) 1-x2(0 x1) |x2-1|dx= (1-x2)dx+ (x2-1)dx,（2）0 x2，于是|x2-1|=,當被積函數(shù)含有絕對值（或平方根）時，須按絕對值內(nèi)的正、負號將定積分區(qū)

8、間分段，然后按區(qū)間的可加性逐段積分；同樣，當被積函數(shù)為分段函數(shù)時，也須按函數(shù)的定義的分段情形相應的逐段積分.,探究提高,(1)求 |3-2x|dx; (2)求 （課后思考）,知能遷移2,(2)當x0, 時, =|sin x-cos x| -sin x+cos x （0 x ） sin x-cos x （ x ）,=,題型三 求曲邊梯形的面積 【例3】求由拋物線y=x2-1,直線x=2,y=0所圍成的圖形的面積. 畫出圖象求出拋物線與x軸交點 用定積分求面積. 解 作出直線x=2,曲線y=x2-1 的草圖,所求面積為圖中陰影 部分的面積. 由x2-1=0得拋物線與x軸的 交點坐標是(-1,0)和

9、(1,0), 因此所求圖形的面積為,思維啟迪,S= |x2-1|dx+ (x2-1)dx = (1-x2)dx+ (x2-1)dx,對于求平面圖形的面積問題,應首先畫出平面圖形的大概圖形,然后根據(jù)圖形特點,選擇相應的積分變量及被積函數(shù),并確定被積區(qū)間.,探究提高,知能遷移3 求拋物線y2=2x與直線y=4-x圍成的平面圖形的面積. y2=2x y=4-x （2，2）及(8,-4). 方法一 選x作為積分變量，由圖可看出S=A1+A2 在A1部分：由于拋物線的上半支方程為y= , 下半支方程為y= ，所以,解 由方程組,解出拋物線和直線的交點為,方法二 選y作積分變量， 將曲線方程寫為x= 及x

10、=4-y.,題型四 定積分在物理中的應用 【例4】(12分)一輛汽車的速度時間曲線如圖所示，求此汽車在這1 min內(nèi)所行駛的路程. 由題意知，在t0，10）和t40，60）物體作勻變速直線運動，t10，40）作勻速運動，v（t）應為分段函數(shù)，應分三段求積分.,思維啟迪,解 由速度時間曲線易知， 3t， t0，10） 30， t10，40） -1.5t+90， t40，60 4分 由變速直線運動的路程公式可得,v（t）=,8分,11分,答 此汽車在這1 min內(nèi)所行駛的路程是1 350 m.12分,探究提高 用定積分解決變速運動的位置與路程問題時，將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題是關鍵.變速直線運動的速

11、度函數(shù)往往是分段函數(shù)，故求積分時要利用積分的性質(zhì)將其分成幾段積分，然后求出積分的和，即可得到答案，由于函數(shù)是分段函數(shù)，所以運算過程可能稍微復雜些，因此在運算過程中一定要細心，不要出現(xiàn)計算上的錯誤.,知能遷移4 一物體在變力F（x）=5-x2（力單位：N，位移單 位：m）作用下，沿與F（x）成30方向作直線運 動，則由x=1運動到x=2時F（x）作的功為（） A. JB. JC. JD.2 J 解析 由于F（x）與位移方向成30角.如圖：F在 位移方向上的分力F=Fcos 30,C,方法與技巧 1.求定積分的方法 （1）利用定義求定積分（定義法），可操作性不強. （2）利用微積分基本定理求定積分

12、步驟如下： 求被積函數(shù)f（x）的一個原函數(shù)F（x）； 計算F（b）-F（a）. （3）利用定積分的幾何意義求定積分 當曲邊梯形面積易求時，可通過求曲邊梯形的面積求定積分. 如：定積分 dx的幾何意義是求單位圓面積的 ，所以,思想方法 感悟提高,2.求曲邊多邊形的面積 其步驟為： （1）畫出草圖，在直角坐標系中畫出曲線或直線的 大致圖象. （2）借助圖形確定被積函數(shù)，求出交點坐標，確定積分的上限、下限. （3）將曲邊梯形的面積表示為若干定積分之和. （4）計算定積分.,失誤與防范 1.被積函數(shù)若含有絕對值號，應去絕對值號，再分段積分. 2.若積分式子中有幾個不同的參數(shù)，則必須先分清誰是被積變量.

13、 3.定積分式子中隱含的條件是積分上限不小于積分下限. 4.定積分的幾何意義是曲邊梯形的面積，但要注意:面積非負，而定積分的結(jié)果可以為負. 5.將要求面積的圖形進行科學而準確的劃分，可使面積的求解變得簡捷.,一、選擇題 （sin x+cos x）dx的值是（） A.0B. C.2D.4,C,解析,定時檢測,2.若函數(shù)f(a)= （2+sin x)dx, 則f（f（ ）等 于 （） A.1B.0 C.2+3+cos 1D.1-cos 1 解析 f(a)= (2+sin x)dx =(2x-cos x)| =2a-cos a+1, f（ ）=+1, f（f（ ）=f(+1)=2(+1)-cos(+

14、1)+1 =2+cos 1+3.,C,3.若 (2x-3x2)dx=0,則k等于 （） A.0B.1 C.0或1D.以上均不對 解析 （2x-3x2）dx= 2xdx- 3x2dx =k2-k3=0，k=0或k=1.,C,x2， x0，1， 2-x，x（1，2，,4.設f（x）=,f（x）dx等于（） A. B. C. D.不存在 解析 本題應畫圖求解，更為清晰， f（x）dx= x2dx+ （2-x）dx,則,C,5.曲線y=cos x(0 x )與坐標軸圍成的面積是（） A.4B. C.3D.2 解析 先作出y=cos x（0 x ）的圖象，從圖象中可以看出,C,二、填空題 7. （1+c

15、os x）dx= . 解析 (x+sin x)=1+cos x, (1+cos x)dx=(x+sin x),+2,8. (2xk+1)dx=2,則k= . 解析 9.(2008山東理，14)設函數(shù)f(x)=ax2+c (a0),若 f(x)dx=f(x0),0 x01,則x0的值為 . 解析 (ax2+c)dx= a0, ,又0 x01,x0= .,1,三、解答題 10.計算下列定積分 （1） （2） （3） 解 （1）,(3),11.已知f(x)為二次函數(shù)，且f(-1)=2,f(0)=0, f(x)dx=-2. （1）求f(x)的解析式； （2）求f(x)在-1，1上的最大值與最小值. 解 （1）設f(x)=ax2+bx+