祖沖之與圓周率.ppt

1、祖沖之和圓周率，祖沖之(公元429-500年)是中國(guó)南北朝時(shí)期，河北省源縣人從小就讀許多天文、數(shù)學(xué)方面的書(shū)，勤奮學(xué)習(xí)、實(shí)踐，終于使他成為中國(guó)古代杰出的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，成為祖沖之?dāng)?shù)學(xué)上的杰出成就。 圓周率是圓徑一，星期三應(yīng)該有佟預(yù)算，但是到底有多少佟預(yù)算，意見(jiàn)不一，三國(guó)時(shí)代為止，劉徽提出了修正圓周率的科學(xué)方法圓截法，把圓周率用圓內(nèi)切多邊形的周長(zhǎng)近似，修正圓內(nèi)切96邊形，求出=3.14，指出求出在3.1415926和3.1415927之間得到的點(diǎn)數(shù)形式的近似值，作為約率，作為密率，其中取的小數(shù)為3.141929，它是分子分母在1000以內(nèi)最接近的值的點(diǎn)數(shù)，祖先用怎樣的方法得到這個(gè)結(jié)果，現(xiàn)在， 他

2、的治學(xué)毅力和聰穎令人佩服，不能想象劉徽的割圓術(shù)，他對(duì)圓周率的重大貢獻(xiàn)，他的圓周率是怎樣的呢，2020年8月9日，數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單歷史，7，圓周率的發(fā)展，圓周率定義為圓形的周長(zhǎng)與直徑之比。 也等于圓形的面積和半徑的平方的比。 是正確修正圓周長(zhǎng)、圓面積、球體積等幾何形狀的關(guān)鍵。 在分析學(xué)上，可以定義最小的x0，使得sin(x)=0。 2020年8月9日，數(shù)學(xué)簡(jiǎn)史，9，常用的近值包括稀疏率：22/7和密率： 355/113。 哪個(gè)都是祖先給的。 約等于(精確到小數(shù)點(diǎn)以下100位)，3.1415926535897932384623843832795028841971693710582097494592307

3、816406208986280348253421170680 2020年8 古希臘歐幾里得幾何學(xué)(公元前3世紀(jì)初左右)說(shuō)圓周率是定數(shù)，但中國(guó)古訂本的圓周率(公元前2世紀(jì)左右)有直徑一和星期三的記載，圓周率也是定數(shù)。 歷史上采用過(guò)圓周率的多個(gè)近似值，初期在古埃及紙草書(shū)(公元前1700年左右)中取=(4/3)43.1604這樣的實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)果很多。 2020年8月9日，數(shù)學(xué)簡(jiǎn)史，11，第一個(gè)用科學(xué)方法求圓周率數(shù)值的人是阿基米德，他在圓的測(cè)量(公元前3世紀(jì))中用圓內(nèi)接和外接正多邊形的周長(zhǎng)確定圓周的上下界，從正六邊形開(kāi)始依次乘以96邊形，得到(3)，2020年8月9日，數(shù)學(xué)簡(jiǎn)中國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽注釋九章算術(shù)

4、時(shí)(公元263年)只是圓內(nèi)接正多邊形求得的近似值，正確得到兩位小數(shù)的值，他的方法后來(lái)被稱為割圓術(shù)，其中有求極限的思想。 2020年8月9日，數(shù)學(xué)簡(jiǎn)史，13，南北朝時(shí)代的數(shù)學(xué)家祖沖之利用割圓術(shù)得到了小數(shù)點(diǎn)以下7位的精確值(公元466年)，給出了近似值3.1415926和過(guò)剩近似值3.1415927，又得到了兩個(gè)近似分?jǐn)?shù)值，得到了密率355/113的祖沖之是中國(guó)的2020年8月9日，數(shù)學(xué)簡(jiǎn)史，14，其中密切率在西方為1573，由德國(guó)人奧托獲得，1625年發(fā)表于荷蘭工程師安東尼斯的萩作，歐洲被稱為安東尼斯率。 阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家卡西爾在15世紀(jì)初求出圓周率17位的精確小數(shù)值，打破祖先的沖擊保持了近千年的記

5、錄。德國(guó)的數(shù)學(xué)家科倫坡在1596年把數(shù)值計(jì)算成20位的小數(shù)，用了一生的時(shí)間在1610年計(jì)算成小數(shù)的35位，這個(gè)數(shù)值叫做魯?shù)婪驍?shù)。 2020年8月9日，數(shù)學(xué)簡(jiǎn)史，15，加上數(shù)值修正，其性質(zhì)探討也吸引了很多數(shù)學(xué)家。 1761年瑞士數(shù)學(xué)家朗伯首先證明是無(wú)理數(shù)。 1794年法國(guó)數(shù)學(xué)家文藝復(fù)興又證明了兩個(gè)都是無(wú)理數(shù)。 到了1882年，德國(guó)數(shù)學(xué)家林德曼首次證明了超越數(shù)，否定了令人困惑的2000多年的日元化。 也有研究其特征以及與其他數(shù)字的聯(lián)系的人。 1929年蘇聯(lián)的數(shù)學(xué)家格爾福德證明了e是超越數(shù)等。 2020年8月9日，數(shù)學(xué)簡(jiǎn)史，16，歷史上許多數(shù)學(xué)家研究了圓周率，其中有名的有阿基米德、托勒密、張衡、祖沖

6、之等。 他們?cè)谧约簢?guó)家用不同的方法很費(fèi)力地訂正圓周率的值。 下面是關(guān)于世界各地圓周率的研究成果。 2020年8月9日，數(shù)學(xué)簡(jiǎn)史，17，研究圓周率歷史的幾個(gè)階段，接著2020年8月9日，數(shù)學(xué)簡(jiǎn)史，18，起，【起】是圓周率的起源，那到底是誰(shuí)先發(fā)現(xiàn)的，古巴的巴比倫人在訂算的周邊發(fā)現(xiàn)的： 57，36 (底數(shù)60，即=96/100=24/25 )乘以其外接圓的周界：六邊形周界=24/25從其外接圓周界=24/25直徑，繼被認(rèn)為是最古老的圓周的【承】安提豐和布萊森窮法發(fā)展的一段時(shí)期數(shù)學(xué)簡(jiǎn)史，20年，古希臘西納克斯的阿基米德(Archimedes of Syracuse，公元前287 - 212 )他采用了

7、安提豐和布賴森的窮法，但他的研究重點(diǎn)在于多邊形的周邊。 阿基米德在圓的度量中提出了三個(gè)關(guān)于圓的定理。 也就是說(shuō)，3.14084. 3.14285.2020年8月9日，數(shù)學(xué)簡(jiǎn)史，21，劉徽獨(dú)立地用多邊形面積接近圓面積的窮法開(kāi)辟了截圓術(shù)找到了圓周率值。 最后，劉徽進(jìn)一步求正的3072邊形的面積，=3927/1250=3.1416即值精確到小數(shù)的后三位，后代稱為徽率。 2020年8月9日，數(shù)學(xué)簡(jiǎn)史，22、祖沖之使用劉徽的割圓術(shù)和他無(wú)與倫比的抗性和毅力(當(dāng)時(shí)沒(méi)有算盤等校正工具，只能用笹竹校正，但他的實(shí)質(zhì)校正方法無(wú)法確定)，3360.1415926 . 祖率：圓周率值精確至小數(shù)的后7位，后稱為3.141

8、5926。 2020年8月9日，數(shù)學(xué)簡(jiǎn)史，23，轉(zhuǎn)，【轉(zhuǎn)】是求圓周率的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。 圓周率的修正計(jì)算有新的突破，用解析式表示和求出了圓周率的值。 2020年8月9日，數(shù)學(xué)簡(jiǎn)史，24，接著是上述發(fā)現(xiàn)的許多圓周率值的修正公式延伸的一個(gè)時(shí)期：隨著科學(xué)技術(shù)的飛躍，計(jì)算機(jī)的發(fā)明重新突破了圓周率的修正速度。 2020年8月9日，數(shù)學(xué)簡(jiǎn)史，25，圓周率的研究方法，古人修正圓周率，一般使用圓切法。 即，用圓的內(nèi)接或外接的正多邊形近似圓的周長(zhǎng)。 Archimedes是正96邊形，得到圓周率小數(shù)點(diǎn)以下3位的精度劉惠是正3072邊形，得到5位的精度Ludolph Van Ceulen是正262邊形，得到了35位精度。

9、基于該幾何學(xué)的算法修正量大、速度慢、骨折。 隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)家們?cè)谶M(jìn)行數(shù)學(xué)研究時(shí)發(fā)現(xiàn)了很多有意修正圓周率的公式。 選擇幾個(gè)典型的通式進(jìn)行介紹。除了這些古典式以外，還舉不出很多其他式子和從這些古典式子派生出來(lái)的式子。 2020年8月9日，數(shù)學(xué)簡(jiǎn)史，26，1，Machin公式：這個(gè)公式是英國(guó)天文學(xué)教授John Machin在1706年發(fā)現(xiàn)的。 他用這個(gè)公式訂正了第一百名的圓周率。 Machin公式每修正一項(xiàng)就能得到1.4比特的十進(jìn)制精度。 由于在其修正運(yùn)算過(guò)程中被乘數(shù)和被除數(shù)都是長(zhǎng)整數(shù)以下，所以可以在修正運(yùn)算機(jī)上容易地編程實(shí)現(xiàn)。 2020年8月9日，數(shù)學(xué)簡(jiǎn)史，27，2，Ramanujan公式：

10、 1914年，印度數(shù)學(xué)家Srinivasa Ramanujan在他的論文中發(fā)表了一系列修訂14條圓周率的修訂公式。 這是其中之一。 這個(gè)公式每修正一項(xiàng)就能得到8位的十進(jìn)制精度。 1985年Gosper用這個(gè)公式修正了圓周率的17，500，000位。 2020年8月9日，數(shù)學(xué)簡(jiǎn)史，28，3，AGM(Arithmetic-Geometric Mean )修正法： Gauss-Legendre公式：初始值：重新修正算法：最終修正算法，2020年8月9日，數(shù)學(xué)簡(jiǎn)史，30，5， Bailey-Borwein-Plouffe算法：此公式簡(jiǎn)稱為BBP公式，它打破了David Bailey、Peter Bor

11、wein和Simon Plouffe傳統(tǒng)的圓周率算法，而不是修正前面的n-1位這為圓周率方差修正計(jì)算提供了可行性。 1997年，F(xiàn)abrice Bellard發(fā)現(xiàn)了比BBP快40倍的公式： 2020年8月9日，數(shù)學(xué)簡(jiǎn)史，31，圓周率新記錄，圓周率最新修訂記錄是兩個(gè)日本人Daisuke Takahashi和Yasumasa Kanada他們是日本東京大學(xué)的IT中心用Gauss-Legendre算法編制程序，利用能夠執(zhí)行每秒1兆次浮點(diǎn)運(yùn)算的超級(jí)計(jì)算機(jī)，從日本時(shí)間1999年9月18日19:00:52修正了37小時(shí)21分04秒，得到了圓周率的206、110秒與1999年6月27日用Borwein反復(fù)式修正46小時(shí)的結(jié)果相比，最后的45位的小數(shù)出現(xiàn)差異，因此將小數(shù)點(diǎn)以