高等數(shù)學(xué)-第5章 5.4 定積分的應(yīng)用(一)

1、5.4 定積分的應(yīng)用 本節(jié)我們先介紹用定積分解決實(shí)際問題的基本思想和方法微元 法，然后介紹定積分在幾何學(xué)和物理學(xué)中的一些應(yīng)用.在學(xué)習(xí)過程中， 我們不僅要掌握計(jì)算某些實(shí)際問題的公式，更重要的還在于深刻領(lǐng)會(huì)微 元法的本質(zhì)，不斷積累和提高數(shù)學(xué)的應(yīng)用能力。 一、定積分的微元法 定積分的所有應(yīng)用問題，一般總可按“分割、近似代替、求和、取 極限”四個(gè)步驟把所求的量表示為定積分的形式。為了更好地說明這種 方法，我們先回顧一下本章第一節(jié)中求由曲線及直線所圍成的曲邊梯形 面積的方法與步驟： （1）分割 用個(gè)分點(diǎn)把分成長度為的個(gè)小區(qū)間，相應(yīng)地，把曲邊 梯形分成個(gè)小曲邊梯形，設(shè)第個(gè)小曲邊梯形的面積記為，則可表示為

2、. （2）近似代替 在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，以為底、為高的小矩形 的面積為，它近似等于第小曲邊梯形的面積，即 . （3）求和 把個(gè)小矩形的面積相加，得到曲邊梯形面積的近似值 為 . (4) 取極限 對(duì)小矩陣形面積之和取極限得到曲邊梯形的面積，即 通過取極限由近似值過渡到精確值 . 其中。 上述四個(gè)步驟中，關(guān)鍵是第（2）步，寫出微小面積的近似值。由 于分割的任意性以及取法的任意性，我們省掉下標(biāo),將記為，用表示a b內(nèi)任一小區(qū)間上的小曲邊梯形的面積，取的左端點(diǎn)小為，那么，以點(diǎn) 處的函數(shù)值為高、為底的小矩形面積就是的近似值（圖5.15），即 圖5.15 其中稱面積A的微元，記作，即 從而有。此致，我

3、們將曲邊梯形的面積表示為一個(gè)定積分。 從上面的討論中，我們抽象出將某一所求量表示為定積分的方法如 下： （1）確定積分變量及積分區(qū)間 根據(jù)具體問題，選取一個(gè)積分變 量，例如選取為積分變量，并確定它的變化區(qū)間； （2）求量的微元 在內(nèi)任取一個(gè)小區(qū)間，求出相應(yīng)于這個(gè)區(qū)間上 部分量的近似值，即求出所求量的微元 ， （3）用定積分表示量 根據(jù)寫出表示量的定積分 。 上述將一個(gè)量表示為定積分的方法稱為微元法. 應(yīng)用微元法解決實(shí)際問題時(shí)，應(yīng)注意如下兩點(diǎn)： （1）所求量關(guān)于區(qū)間應(yīng)具有可加性，即如果把區(qū)間分成許多部分區(qū) 間，則相應(yīng)地分成許多部分分量，而等于所有分量之和。 （2）求量的微元要合理，使用微元法的關(guān)

4、鍵在于正確給出部分量的 近似表達(dá)式，即使得 ， 在通常情況下，要檢驗(yàn)是否為的高階無窮小并非易事，因此，在實(shí)際應(yīng) 用中要注意的合理性。 二、定積分在幾何上的應(yīng)用 1. 平面圖形的面積 （1）由連續(xù)曲線，直線(ab)和x軸所圍成的曲邊梯形的面積. 由定積分的幾何意義我們知道： (0)， （5.2） 或 (0). （5.3） （2）由兩條連續(xù)曲線，()及兩條直線 ()所圍成的平面圖形(圖 5.13)的面積。 選取為積分變量，則積分區(qū)間為； 圖5.16 在內(nèi)任取一個(gè)小區(qū)間任取，對(duì)應(yīng)的部分面積近似等于以為高、為 底的矩形的面積（圖5.16），即面積微元為 ； 所求圖形的面積為 . （5.4） 例1 求橢

5、圓所圍成的圖形的面積. 解 如圖5.17所示,位于第一象限的圖形由曲線、直線及圍成，根據(jù) 公式（5.2）得，所以 圖5.17 。 注：的原函數(shù)參見第四章第二節(jié)例13；也可根據(jù)公式（5.4）得 。 例2 求曲線，直線、及軸圍成圖形的面積. 解 如圖5.18所示，圍成的圖形包括和兩個(gè)部分，根據(jù)公式（5.2） 和（5.3），所求圖形的面積為 。 圖5.19 圖5.18 例3 求直線與拋物線圍成圖形的面積. 解 公式法 直線與拋物線圍成的圖形如圖5.19所示,聯(lián)立方程 組，解得：，。 根據(jù)公式（5.4）得所求圖形的面積為。 微元法 選取為積分變量，積分區(qū)間為； 圖5.20 在內(nèi)任取一個(gè)小區(qū)間，對(duì)應(yīng)的部分圖形的面積近似等于以為高、 為底的小矩形的面積（圖5.20），得到面積微元為 ， 面積。 （3）由兩條連續(xù)曲線，及兩條直線 (cd)所圍成的平面圖形的面 積 選取為積分變量，則積分區(qū)間為； 在內(nèi)任取一個(gè)小區(qū)間任取，對(duì)應(yīng)的部分面積近似等于以為高、為 底的矩形的面積（圖5.21），即面積微元為 ； 所求圖形的面積為 。 (5.5) 圖5.22 圖5.21 例4 求由拋物線=及直線所圍成圖形的面積. 解 圍成的圖形如圖5.22所示,聯(lián)立方程組,解得，根據(jù)公式 (5.5)