高校(理工類)數(shù)學(xué)求積公式的誤差教學(xué)(課堂講義).ppt

1、4.4求積公式的誤差，當(dāng)f(x)是一個(gè)不大于n的多項(xiàng)式時(shí)，f(x)的插值多項(xiàng)式pn(x)就是它本身。此時(shí)，如果不考慮舍入誤差，則公式(1)將被精確地建立，即，特別地，讓f(x)=1知道求積公式的誤差，如果積分值的舍入誤差極限為：并且當(dāng)求積系數(shù)k都是正數(shù)時(shí)，上述誤差極限等于：可見，只要數(shù)據(jù)f(xk)具有足夠的有效數(shù)字，積分值I的舍入誤差可以被控制為足夠小。因此，舍入誤差對數(shù)值積分的影響不如數(shù)值微分的影響顯著。求積公式的截?cái)嗾`差、求積公式的截?cái)嗾`差分析。首先，檢查梯形規(guī)則。假設(shè)f(x)的二階導(dǎo)數(shù)在(a，b)上變化不大，也就是說，讓f(x)近似取一個(gè)固定值C2。f(x)在x=a時(shí)的泰勒展開如下：將上

2、述公式的兩端在(a，b)上積分，得到：(4.4.1)，截?cái)嗾`差，另一方面，注意用梯形公式(2)代替已知的公式(4.4.1)和(4)根據(jù)公式(4.4.3)，誤差近似取為C2h3/12，因此將其乘以n次，得到復(fù)合梯形公式(5)的剩余項(xiàng)：(4.4.2)，(4.4)。讓我們假設(shè)f(4)(x)在(a，b)上取一個(gè)C4值，在(a，b) c=(a，b)/2的中點(diǎn)展開f(x)，然后在(a，b)上積分展開，注意第二項(xiàng)f (c)(xc)和第四項(xiàng)f。積分都是0，所以我們有辛普森公式的誤差。另一方面，通過在C點(diǎn)展開辛普森公式(3)的右端項(xiàng)，我們可以通過代入公式(3)得到辛普森和柯特斯公式的誤差，所以我們使用公式(14

3、)，如果在每個(gè)子區(qū)間(xk-1，xk) B)變化不大，并且近似取一個(gè)固定值C6，那么柯特斯公式(7)的余數(shù)是：(4.4.6)，求積公式的誤差余數(shù)的證明，當(dāng)討論積分余數(shù)時(shí)，我們假設(shè)f(x)，f(4)(x)和對于梯形公式，假設(shè)f(x)在(a，b)處有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，f(x)在x=a處泰勒展開，其中T1(x)是一階泰勒多項(xiàng)式，R1(x)是泰勒余數(shù)。梯形公式的余數(shù)是求積公式誤差余數(shù)的證明。由于梯形公式對于線性多項(xiàng)式是精確的，并且考慮到R1(a)=0，求積公式的誤差余數(shù)的證明可以通過將上述公式中積分的階數(shù)與重復(fù)積分的階數(shù)互換來得到。因?yàn)?a，b)中的K(t)不是正的，所以使用廣義積分的平均值，求積公式的誤差余數(shù)的證明，辛普森公式的研究。設(shè)f(x)在(a，b)上有一個(gè)連續(xù)的四階導(dǎo)數(shù)，在x=a時(shí)進(jìn)行f(x)泰勒展開，其中T3(x)是三階泰勒多項(xiàng)式，R3(x)是泰勒余數(shù)。因此，辛普森公式的余數(shù)在這里是c=(a b)/2。由于R3(a)=0，求積公式的誤差余數(shù)的證明可以通過交換上述公式中重復(fù)積分的積分階并定義函數(shù)來獲得。根據(jù)廣義積分中值定理，