高校(理工類)數學求積公式的誤差教學(課堂講義).ppt

1、4.4求積公式的誤差，當f(x)是一個不大于n的多項式時，f(x)的插值多項式pn(x)就是它本身。此時，如果不考慮舍入誤差，則公式(1)將被精確地建立，即，特別地，讓f(x)=1知道求積公式的誤差，如果積分值的舍入誤差極限為：并且當求積系數k都是正數時，上述誤差極限等于：可見，只要數據f(xk)具有足夠的有效數字，積分值I的舍入誤差可以被控制為足夠小。因此，舍入誤差對數值積分的影響不如數值微分的影響顯著。求積公式的截斷誤差、求積公式的截斷誤差分析。首先，檢查梯形規(guī)則。假設f(x)的二階導數在(a，b)上變化不大，也就是說，讓f(x)近似取一個固定值C2。f(x)在x=a時的泰勒展開如下：將上

2、述公式的兩端在(a，b)上積分，得到：(4.4.1)，截斷誤差，另一方面，注意用梯形公式(2)代替已知的公式(4.4.1)和(4)根據公式(4.4.3)，誤差近似取為C2h3/12，因此將其乘以n次，得到復合梯形公式(5)的剩余項：(4.4.2)，(4.4)。讓我們假設f(4)(x)在(a，b)上取一個C4值，在(a，b) c=(a，b)/2的中點展開f(x)，然后在(a，b)上積分展開，注意第二項f (c)(xc)和第四項f。積分都是0，所以我們有辛普森公式的誤差。另一方面，通過在C點展開辛普森公式(3)的右端項，我們可以通過代入公式(3)得到辛普森和柯特斯公式的誤差，所以我們使用公式(14

3、)，如果在每個子區(qū)間(xk-1，xk) B)變化不大，并且近似取一個固定值C6，那么柯特斯公式(7)的余數是：(4.4.6)，求積公式的誤差余數的證明，當討論積分余數時，我們假設f(x)，f(4)(x)和對于梯形公式，假設f(x)在(a，b)處有連續(xù)的二階導數，f(x)在x=a處泰勒展開，其中T1(x)是一階泰勒多項式，R1(x)是泰勒余數。梯形公式的余數是求積公式誤差余數的證明。由于梯形公式對于線性多項式是精確的，并且考慮到R1(a)=0，求積公式的誤差余數的證明可以通過將上述公式中積分的階數與重復積分的階數互換來得到。因為(a，b)中的K(t)不是正的，所以使用廣義積分的平均值，求積公式的誤差余數的證明，辛普森公式的研究。設f(x)在(a，b)上有一個連續(xù)的四階導數，在x=a時進行f(x)泰勒展開，其中T3(x)是三階泰勒多項式，R3(x)是泰勒余數。因此，辛普森公式的余數在這里是c=(a b)/2。由于R3(a)=0，求積公式的誤差余數的證明可以通過交換上述公式中重復積分的積分階并定義函數來獲得。根據廣義積分中值定理，