高校(理工類)數(shù)學(xué)求積公式的誤差教學(xué)(課堂講義).ppt_第1頁
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文檔簡介

1、4.4求積公式的誤差,當(dāng)f(x)是一個(gè)不大于n的多項(xiàng)式時(shí),f(x)的插值多項(xiàng)式pn(x)就是它本身。此時(shí),如果不考慮舍入誤差,則公式(1)將被精確地建立,即,特別地,讓f(x)=1知道求積公式的誤差,如果積分值的舍入誤差極限為:并且當(dāng)求積系數(shù)k都是正數(shù)時(shí),上述誤差極限等于:可見,只要數(shù)據(jù)f(xk)具有足夠的有效數(shù)字,積分值I的舍入誤差可以被控制為足夠小。因此,舍入誤差對數(shù)值積分的影響不如數(shù)值微分的影響顯著。求積公式的截?cái)嗾`差、求積公式的截?cái)嗾`差分析。首先,檢查梯形規(guī)則。假設(shè)f(x)的二階導(dǎo)數(shù)在(a,b)上變化不大,也就是說,讓f(x)近似取一個(gè)固定值C2。f(x)在x=a時(shí)的泰勒展開如下:將上

2、述公式的兩端在(a,b)上積分,得到:(4.4.1),截?cái)嗾`差,另一方面,注意用梯形公式(2)代替已知的公式(4.4.1)和(4)根據(jù)公式(4.4.3),誤差近似取為C2h3/12,因此將其乘以n次,得到復(fù)合梯形公式(5)的剩余項(xiàng):(4.4.2),(4.4)。讓我們假設(shè)f(4)(x)在(a,b)上取一個(gè)C4值,在(a,b) c=(a,b)/2的中點(diǎn)展開f(x),然后在(a,b)上積分展開,注意第二項(xiàng)f (c)(xc)和第四項(xiàng)f。積分都是0,所以我們有辛普森公式的誤差。另一方面,通過在C點(diǎn)展開辛普森公式(3)的右端項(xiàng),我們可以通過代入公式(3)得到辛普森和柯特斯公式的誤差,所以我們使用公式(14

3、),如果在每個(gè)子區(qū)間(xk-1,xk) B)變化不大,并且近似取一個(gè)固定值C6,那么柯特斯公式(7)的余數(shù)是:(4.4.6),求積公式的誤差余數(shù)的證明,當(dāng)討論積分余數(shù)時(shí),我們假設(shè)f(x),f(4)(x)和對于梯形公式,假設(shè)f(x)在(a,b)處有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),f(x)在x=a處泰勒展開,其中T1(x)是一階泰勒多項(xiàng)式,R1(x)是泰勒余數(shù)。梯形公式的余數(shù)是求積公式誤差余數(shù)的證明。由于梯形公式對于線性多項(xiàng)式是精確的,并且考慮到R1(a)=0,求積公式的誤差余數(shù)的證明可以通過將上述公式中積分的階數(shù)與重復(fù)積分的階數(shù)互換來得到。因?yàn)?a,b)中的K(t)不是正的,所以使用廣義積分的平均值,求積公式的誤差余數(shù)的證明,辛普森公式的研究。設(shè)f(x)在(a,b)上有一個(gè)連續(xù)的四階導(dǎo)數(shù),在x=a時(shí)進(jìn)行f(x)泰勒展開,其中T3(x)是三階泰勒多項(xiàng)式,R3(x)是泰勒余數(shù)。因此,辛普森公式的余數(shù)在這里是c=(a b)/2。由于R3(a)=0,求積公式的誤差余數(shù)的證明可以通過交換上述公式中重復(fù)積分的積分階并定義函數(shù)來獲得。根據(jù)廣義積分中值定理,

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