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文檔簡介

1、,復變函數(shù)與積分變換,以復數(shù)作為自變量和因變量的函數(shù)就叫做復變函數(shù),而與之相關的理論就是復變函數(shù)論。解析函數(shù)是復變函數(shù)中一類具有解析性質的函數(shù),復變函數(shù)論主要就研究復數(shù)域上的解析函數(shù),因此通常也稱復變函數(shù)論為解析函數(shù)論。,研究對象,復變函數(shù)的起源,復數(shù)是十六世紀人們在解代數(shù)方程時引進的。為使負數(shù)開方有意義,需要再一次擴大數(shù)系,使實數(shù)域擴大到復數(shù)域。,復變函數(shù)的起源,1、16世紀意大利米蘭學者Cardan在1545年發(fā)表的重要的藝術一書中,公布了三次方程的一般解法,被后人稱之為“卡當公式”。他是第一個把負數(shù)的平方根寫到公式中的數(shù)學家。,復變函數(shù)的起源,2、給出“虛數(shù)”這一名稱的是法國數(shù)學家笛卡爾

2、,他在幾何學(1637年發(fā)表)中使“虛的數(shù)”與“實的數(shù)”相對應,從此,虛數(shù)才流傳開來。,復變函數(shù)的起源,2、給出“虛數(shù)”這一名稱的是法國數(shù)學家笛卡爾,他在幾何學(1637年發(fā)表)中使“虛的數(shù)”與“實的數(shù)”相對應,從此,虛數(shù)才流傳開來。,復變函數(shù)的起源,3、數(shù)系中發(fā)現(xiàn)一顆新星虛數(shù),于是引起了數(shù)學界的一片困惑,很多大數(shù)學家都不承認虛數(shù)。德國數(shù)學家萊布尼茨在1702年說:“虛數(shù)是神靈遁跡的精微而奇異的隱避所,它大概是存在和虛妄兩界中的兩棲物”。,復變函數(shù)的起源,4、瑞士數(shù)學大師歐拉(17071783)說;“一切形如,-1,-2的數(shù)學式子都是不可能有的,想象的數(shù),因為它們所表示的是負數(shù)的平方根。對于這

3、類數(shù),我們只能斷言,它們既不是什么都不是,也不比什么都不是多些什么,更不比什么都不是少些什么,它們純屬虛幻。”,復變函數(shù)的起源,5、法國數(shù)學家達朗貝爾在1747年指出,如果按照多項式的四則運算規(guī)則對虛數(shù)進行運算,那么它的結果總是a+ib的形式(a、b都是實數(shù)。 6、法國數(shù)學家棣莫佛(16671754)在1730年發(fā)現(xiàn)公式了,這就是著名的棣莫佛定理。,7、歐拉在1748年發(fā)現(xiàn)了有名的關系式,并且是他在微分公式(1777年)一文中第一次用i來表示-1的平方根,首創(chuàng)了用符號i作為虛數(shù)的單位。“虛數(shù)”實際上不是想象出來的,而它是確實存在的。,復變函數(shù)的起源,8、挪威的測量學家成塞爾在1779年試圖給于

4、這種虛數(shù)以直觀的幾何解釋,并首先發(fā)表其作法,然而沒有得到學術界的重視。,復變函數(shù)的起源,9、德國數(shù)學家阿甘得在1806年公布了虛數(shù)的圖象表示法,即所有實數(shù)能用一條數(shù)軸表示,同樣,虛數(shù)也能用一個平面上的點來表示。由各點都對應復數(shù)的平面叫做“復平面”,后來又稱“阿甘得平面”。,復變函數(shù)的起源,復變函數(shù)的起源,10、高斯在1831年,用實數(shù)組(a,b)代表復數(shù)a+bi,并建立了復數(shù)的某些運算,使得復數(shù)的某些運算也象實數(shù)一樣地“代數(shù)化”。他又在1832年第一次提出了“復數(shù)”這個名詞,還將表示平面上同一點的兩種不同方法直角坐標法和極坐標法加以綜合。,復變函數(shù)的起源,統(tǒng)一于表示同一復數(shù)的代數(shù)式和三角式兩種

5、形式中,并把數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應,擴展為平面上的點與復數(shù)一一對應。高斯不僅把復數(shù)看作平面上的點,而且還看作是一種向量,并利用復數(shù)與向量之間一一對應的關系,闡述了復數(shù)的幾何加法與乘法。至此,復數(shù)理論才比較完整和系統(tǒng)地建立起來了。,經過許多數(shù)學家長期不懈的努力,深刻探討并發(fā)展了復數(shù)理論,才使得在數(shù)學領域游蕩了200年的幽靈虛數(shù)揭去了神秘的面紗,顯現(xiàn)出它的本來面目,原來虛數(shù)不虛呵。虛數(shù)成為了數(shù)系大家庭中一員,從而實數(shù)集才擴充到了復數(shù)集。,復變函數(shù)的起源,隨著科學和技術的進步,復數(shù)理論已越來越顯出它的重要性,它不但對于數(shù)學本身的發(fā)展有著極其重要的意義,而且為證明機翼上升力的基本定理起到了重要作用,

6、并在解決堤壩滲水的問題中顯示了它的威力,也為建立巨大水電站提供了重要的理論依據。,復變函數(shù)的起源,復變函數(shù)的應用,1、系統(tǒng)分析、信號分析; 2、流體力學; 3、反常積分; 4、量子力學; 5、相對論; 6、應用數(shù)學。,第一章 復數(shù)與復變函數(shù),第一講 復數(shù)及復平面,學習要點,掌握復數(shù)的意義及代數(shù)運算,掌握復平面與復數(shù)的表示方法,掌握復數(shù)的乘冪與方根,1 復數(shù)及其代數(shù)運算,1. 復數(shù)的概念,復數(shù)z 的實部 Re(z) = x ; 虛部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part),一般, 任意兩個復數(shù)不能比較大小。,復數(shù)相等,2. 四則運算,z1=x1+iy1與

7、z2=x2+iy2的和、差、積和商為:,z1z2=(x1x2)+i(y1y2),z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2),復數(shù)的運算滿足加法交換律、結合律;乘法交換律、結合律和分配律。,共軛復數(shù)的性質,定義 若z=x + iy , 稱z=x - iy 為z 的共軛復數(shù).,(conjugate),3. 共軛復數(shù),解:,2 復數(shù)的幾何表示,1. 點的表示,橫坐標軸稱為實軸,縱坐標軸稱為虛軸;復平面一般稱為z-平面,w-平面等。,2. 向量表示法,z=0時,幅角無意義。,幅角無窮多:Arg z=0+2k, kZ,,當z落于一,四象限時,不變。,當z落于第二象限時,加p。,當z落于第三象限時,減p .,根據向量的運算及幾何知識,我們可以得到兩個重要的不等式,3. 三角表示法,可以用復數(shù)的模與輻角來表示非零復數(shù)z,4. 指數(shù)表示法,例1,例2,例3,例1,解:,例2,解:,例2,解:,例3,證明:,例3,證明:,3 復數(shù)的乘冪與方根,1. 復數(shù)的乘積與商,利用復數(shù)的三角表示,我們可以更簡單的表示復數(shù)的乘法與除法,定理:,對除法,有,將復數(shù)z1按逆時針方向旋轉一個角度Argz2,再將其伸縮到|z2|倍。,乘法的幾何意義,例1,解:,2. 復數(shù)的

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