向量的相關(guān)性.ppt

1、2.1 向量的線性相關(guān)性,一、向量的定義及運算,定義 由n個數(shù) 構(gòu)成的n元有序數(shù)組稱為 n元向量，記為（ ），其中 稱為該向量的 第 i個分量。,定義 設(shè) = (a1, a2, , as)， = (b1, b2, , bt)。 若 s=t 且 ai=bi ( i =1, 2, , s)，則稱向量與向量 相 等，記為 = 。,注： 行向量：（ ）,列向量： ，也可記為 。,把向量視為矩陣（行向量視為行矩陣，列向量視 為列矩陣），可引入向量的兩種線性運算：加法與數(shù) 乘。,定義 (1) 設(shè) = (a1, a2, , an)， = (b1, b2, , bn)，則 稱向量 （a1+b1, a2+b2,

2、 , an+bn） 是向量與向量 的和，記為 + 。,(2) 設(shè) = (a1, a2, , an) 是n元向量，k是數(shù)，則 稱向量 （ka1, ka2, , kan） 是向量 與數(shù) k的數(shù)量積，記為 k 。,例 設(shè) =（a1, a2, , an）是任一n元向量，則,0 =（0, 0, , 0）,( 1) =（ a1, a2, , an）,稱分量全為零的向量（0, 0, , 0）為零向量，記 為 ；稱向量（ a1, a2, , an）為向量 的負向量， 記為 。,例 在平面 上建立直角坐標系Oxy，設(shè) 是上 任一條有向線段。把 的起點平移到原點O，則其終 點坐標 (a1, a2) 唯一確定。這樣

3、，有向線段 唯一對應(yīng),一個2元向量 (a1, a2)。設(shè) 是上另一條有向線段，按 上述方法對應(yīng)2元向量（b1, b2）。則按平行四邊形法 則，有向線段 與 的和 + 對應(yīng)的2元向量恰為 (a1+b1, a2+b2),性質(zhì) 設(shè) 、 、 是任意三個n元向量，k 、l 是 任意兩個數(shù)，則有,（1） + = + ,（2）( + ) + = + ( + ),（3） + = ,（4） + ( ) = ,（5）1 = ,（6）( kl ) = k ( l ),（7）( k+l ) = k + l,（8）k( + ) = k + k ,二、向量的線性相關(guān)性,三個基本概念,定義 設(shè) 是m個n元向量，k1, k2

4、, km 是任意m個數(shù)，稱下列向量,是向量組 的一個線性組合。此時，也稱 向量 可由向量組 線性表出。,例 一個向量 的線性組合為_。,例 向量組 能否線性表出 ？,例 已知向量,問 能否由 線性表出？,解 設(shè),則有,由此得,（存在 使(1)成立 它們使(2) 成立。即可由 線性表出 線性方程組(2) 有解）,結(jié)論： 線性表出 非齊次方程組有解 表示法唯一 解唯一,定義 設(shè) 是m個n元向量。若存在m個 不全為零的數(shù) ，使,經(jīng)驗證，(2)有解，故 可由 線性表出。 ,則稱向量組 線性相關(guān)。不線性相關(guān)的 向量組稱為線性無關(guān)。,例 設(shè) 與 是兩個2元實向量，則 線性相 關(guān) 與 共線。,例 設(shè) 與 是

5、兩個n元向量，則 , 線性相關(guān) 與 對應(yīng)分量成比例。,例 一個向量 線性相關(guān) 。,例 驗證向量組,是否線性相關(guān)。,解 設(shè),則有,（存在不全為零的 使(1) 成立 它們也使(2)成立，即 線性相關(guān) 齊次線性方程組(2)有非零解）,因為方程組(2)有非零解，故 線性相關(guān)。 ,線性無關(guān)的等價條件：,(1) 不存在不全為零的數(shù) ，使,(2) 對任意不全為零的數(shù) ，均有,(3) 由 必可導(dǎo)出,結(jié)論：, 線性相關(guān) 齊次線性方程組有非零解；, 線性無關(guān) 齊次線性方程組沒有非零解。,例 指出向量組,的線性相關(guān)性。,解 令,則有,因方程的個數(shù)未知數(shù)的個數(shù)，故上述齊次線性方程 組有非零解。于是， 線性相關(guān)。 ,例

6、 已知向量組 線性無關(guān)。令,問 是否線性相關(guān)？,解 令,則有,因 線性無關(guān)，故,又上述方程組沒有非零解，故 。 由此得 線性無關(guān)。,例 在一個向量組中，如果有一個部分組（即由其中一個部分向量構(gòu)成的子向量組）線性相關(guān)，則整個向量組也線性相關(guān)。,例 包含零向量的向量組線性相關(guān)。,例 m個n元向量（m n）線性相關(guān)。,例 已知 是三個4維向量，,令,證明：若 線性無關(guān)，則 也線性 無關(guān)。,證明 令 ，則有,（1）,（2）,由 式(1)得，,（3）,已知 線性無關(guān)，故由式(3)得,所以， 線性無關(guān)。,問題：,(1) 由 線性相關(guān)是否可得出 也線性相關(guān)？,(2) 由 的線性相關(guān)性能對 的 線性相關(guān)性做出

7、那些判斷？,(3) 上述討論是否可在向量個數(shù)、向量維數(shù)等方面 一般化？,定理 向量組 線性相關(guān)的充分必要條 件是：其中至少存在一個向量 可由其余 向量 線性表出。,例 設(shè) 是 n個 n元 向量，稱之為n元基本向量組，則 線性無 關(guān)；對任一 n元向量 ，均有 線性相關(guān)， 且 可由 線性表出。,定理 已知向量組 線性無關(guān)，而 向量組 線性相關(guān)，則 可由 線性表出且表示法唯一。,證明,因為 線性相關(guān)，所以存在,不全為零的數(shù) ，使,若 ，則由,可得,且 不全為零。由此得 線性 相關(guān)，與假設(shè)矛盾，故 。,于是，,即 可由 線性表出。,設(shè),則,因 線性無關(guān)，故,即,所以，表示法唯一。,例 已知向量組 線性

8、無關(guān)，向量組 線性相關(guān)。問 能否由 線性表出？,證明（法一）因為向量組 線性無關(guān)， 故其部分組 也線性無關(guān)。又向量組 線性相關(guān)，所以 可 由線性表出。,（法二）因為向量組 線性相關(guān)，故存 在不全為零的三個數(shù) ，使,（1）,若 ，則 不全為零，并且,由此得 線性相關(guān)。這與已知條件“ 線性無關(guān)”相矛盾。所以， 。于是由（1）式得,即 可由 線性表出。,定義 設(shè) 與 是兩組n元 向量，若每個 均可由 線 性表出，則稱向量組 可由向量組 線性表出。,若向量組 與向量組 可相 可相互線性表出，則稱向量組 與向量組 等價，記為,例 討論下列向量之間的關(guān)系：,(1) 與,例 一個向量組可線性表出它的任一個部分組。,性質(zhì) 向量組的等價具有,(1)自反性： ；, ；,(2) 與,(2)對稱性：若 ，則,若存在另 一組n元向量 ，使,(3