1.4.1曲邊梯形的面積與定積分.ppt

1、曲邊梯形的面積與定積分,微積分在幾何上有兩個基本問題,1.如何確定曲線上一點處切線的斜率；,2.如何求曲線下方“曲邊梯形”的面積。,直線,幾條線段連成的折線,曲線？,曲邊梯形的面積,曲邊梯形的面積,直線x0、x1、y0及曲線yx2所圍成的圖形（曲邊三角形）面積S是多少？,為了計算曲邊三角形的面積S，將它分割成許多小曲邊梯形,對任意一個小曲邊梯形，用“直邊”代替“曲邊” （即在很小范圍內以直代曲),演示,當分點非常多（n非常大）時，可以認為f(x)在小區(qū)間上幾乎沒有變化（或變化非常?。?，從而可以取小區(qū)間內任意一點xi對應的函數(shù)值f(xi)作為小矩形一邊的長，于是f(xi) x來近似表示小曲邊梯形

2、的面積,表示了曲邊梯形面積的近似值,演示,觀察以下演示，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系。,觀察以下演示，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系。,觀察以下演示，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系。,觀察以下演示，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系。,觀察以下演示，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系。,觀察以下演示，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系。,觀察以下演示，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系。,觀察以下演示，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系。,觀察以下演示，

3、注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系。,觀察以下演示，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系。,觀察以下演示，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系。,觀察以下演示，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系。,觀察以下演示，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系。,觀察以下演示，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系。,觀察以下演示，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系。,分割越細，面積的近似值就越精確。當分割無限變細時，這個近似值就無限逼近所求曲邊梯形的面積S。,下面方案“以直代曲”的具體操作過程,（1）分

4、割,把區(qū)間0，1等分成n個小區(qū)間：,過各區(qū)間端點作x軸的垂線，從而得到n個小曲邊梯形，他們的面積分別記作,（2） 近似代替,（3）求和,（4）取極限,分割,近似代替,求和,取極限,f(xi),f(x1),f(x2),f(xi)xi,在 a, b中任意插 入 n -1個分點,得n個小區(qū)間： xi1 , xi (i=1, 2 , , n),把曲邊梯形分成 n 個窄曲邊梯形,任取xi xi1，xi ，以f (x i) Dxi近似代替第i個窄曲邊梯形的面 積,區(qū)間xi1 , xi 的長 度Dxi xi xi1 ,曲邊梯形的面積近似為：A,分割,近似代換,求和,取極限,（類似方法求變力做功）,曲邊梯形的

5、面積近似為：,彈簧在拉伸的過程中，力與伸長量成正比，即力F(x)=kx（k是常數(shù)，x是伸長量），求彈簧從平衡位置拉長b所作的功。,解：將物體用常力F沿力的方向移動距離x,則所做的功W=Fx，本題F是克服彈簧拉力的變力，是移動距離x的函數(shù)，F(xiàn)(x)=kx，,將0，b n等分，記x= ，,分點依次為x0=0，x1= ，x2= ,，xn1= ，xn=b，,當n很大時，在分段xi，xi+1所用的力約為kxi，所做的功Wkxix=,則從0到b所做的總功W近似地等于,當n+時，上式右端趨近于,于是得到彈簧從平衡位置拉長b所做的功為,以上兩個實際問題，一個是求曲邊梯形的面積，一個是求變力所做的功，雖然實際意

6、義不同，但解決問題的方法和步驟是完全相同的，都歸結為求一個函數(shù)在某一閉區(qū)間上的和式的極限問題.,1. 曲邊三角形或梯形的面積 S=,2.克服彈簧拉力的變力所做的功 W=,類似地問題還很多，它們都可以歸結為求這種和式的極限，牛頓等數(shù)學家經(jīng)過苦心研究，得到了解決這類問題的一般方法。求函數(shù)的定積分。,定積分的概念,一般函數(shù)定積分的定義,設f(x)是定義在區(qū)間a，b上的一個函數(shù)，在閉區(qū)間a，b上任取n1個分點,把a，b分成 n個小閉區(qū)間，其長度依次為x=xi+1xi，i=0，1，2，n1，記為這些小區(qū)間長度的最大者，當趨近于0時，所有小區(qū)間的長度都趨近于0，在每個小區(qū)間內各取一點，,其中f(x)稱為被積函數(shù)，x稱為積分變量，a，b稱為積分區(qū)間，a, b分別稱為積分的上限和下限，f(x)dx叫做被積式，此時稱f(x)在區(qū)間a，b上可積。,于是例1的結果可以寫作,例2中克服彈簧拉力的變力所做的功,如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a，b上是一條連續(xù)的曲線，