2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第3章三角函數(shù)解三角形第4講函數(shù)y＝增分練sin(ωx＋φ)的圖象及應(yīng)用學(xué)案

1、第4講函數(shù)yAsin(x)的圖象及應(yīng)用板塊一知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí)必備知識(shí)考點(diǎn)1yAsin(x)的有關(guān)概念yAsin(x)(A0，0)，x0，)振幅周期頻率相位初相ATfx考點(diǎn)2用五點(diǎn)法畫(huà)yAsin(x)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí)，要找五個(gè)特征點(diǎn)如下表所示 xx02yAsin(x)0A0A0考點(diǎn)3函數(shù)ysinx的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)Asin(x)的圖象的步驟必會(huì)結(jié)論函數(shù)yAsin(x)(A0，0)的圖象的兩種作法：(1)五點(diǎn)法：用“五點(diǎn)法”作圖，關(guān)鍵是通過(guò)變量代換，設(shè)zx，由z取0，2來(lái)求出相應(yīng)的x，通過(guò)列表，描點(diǎn)得出圖象如果在限定的區(qū)間內(nèi)作圖象，還應(yīng)注意端點(diǎn)的確定(2)圖象變換法：由函數(shù)ysinx的圖象通過(guò)變

2、換得到y(tǒng)Asin(x)的圖象，有兩種主要途徑“先平移后伸縮”(即“先后”)與“先伸縮后平移”(即“先后”)考點(diǎn)自測(cè)1判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)將ysin2x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)sin的圖象()(2)函數(shù)f(x)Asin(x)(A0)的最大值為A，最小值為A.()(3)把ysinx的圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，得到y(tǒng)sinx的圖象，則的值為.()(4)利用圖象變換作圖時(shí)“先平移，后伸縮”與“先伸縮，后平移”中平移的長(zhǎng)度一致()(5)函數(shù)yAcos(x)的最小正周期為T(mén)，那么函數(shù)圖象的兩個(gè)相鄰對(duì)稱(chēng)中心之間的距離為.()答案(1)(2)(3)(4)(5)

3、2.2018柳州模擬若函數(shù)ysin(x)(0)的部分圖象如圖，則()A5 B4C3 D2答案B解析由圖象可知，x0x0，即T，故4.32016全國(guó)卷將函數(shù)y2sin的圖象向右平移個(gè)周期后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為()Ay2sin By2sinCy2sin Dy2sin答案D解析函數(shù)y2sin的周期為，所以將函數(shù)y2sin的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的解析式為y2sin2sin.故選D.42018西安模擬已知函數(shù)f(x)cos(0)的最小正周期為，則該函數(shù)的圖象()A關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) B關(guān)于直線x對(duì)稱(chēng)C關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D關(guān)于直線x對(duì)稱(chēng)答案D解析得2，函數(shù)f(x)的對(duì)稱(chēng)軸滿足2xk(kZ)，解得

4、x(kZ)，當(dāng)k1時(shí)，x.選D.5已知函數(shù)f(x)Asin(x)的部分圖象如圖所示，則f(x)的解析式是()A.f(x)2sinBf(x)2sinCf(x)2sinDf(x)2sin答案B解析由圖象知函數(shù)的最大值為2，即A2，函數(shù)的周期T42，解得1，即f(x)2sin(x)，由題圖知2k(kZ)，解得2k(kZ)，又因?yàn)?0)個(gè)單位長(zhǎng)度【變式訓(xùn)練1】將函數(shù)ycos的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再向左平移個(gè)單位，所得函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是()Ax Bx Cx Dx答案D解析ycosycosycos，即ycos.由余弦函數(shù)的性質(zhì)知，其對(duì)稱(chēng)軸一定經(jīng)過(guò)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，又當(dāng)

5、x時(shí)，ycos()1.故選D.考向求函數(shù)yAsin(x)的解析式例22016全國(guó)卷函數(shù)yAsin(x)的部分圖象如圖所示，則()A.y2sinBy2sinCy2sinDy2sin答案A解析由題圖知A2，則T，所以2，則y2sin(2x)，因?yàn)轭}圖經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以2sin2，2k，kZ，即2k，kZ.當(dāng)k0時(shí)，所以y2sin.故選A.觸類(lèi)旁通確定yAsin(x)b(A0，0)的解析式的步驟(1)求A，b，確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則A，b.(2)求，確定函數(shù)的周期T，則.(3)求，常用方法有：代入法：把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入(此時(shí)A，b已知)或代入圖象與直線yb的交點(diǎn)求解(此時(shí)要注意交點(diǎn)在上升區(qū)

6、間上還是在下降區(qū)間上)五點(diǎn)法：確定值時(shí)，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的特殊點(diǎn)作為突破口【變式訓(xùn)練2】已知函數(shù)f(x)Atan(x)，yf(x)的部分圖象如圖，則f_.答案解析由函數(shù)圖象，知，所以T，即，所以2.結(jié)合圖象可得2k，kZ，即k，kZ.因?yàn)閨，所以.又由圖象過(guò)點(diǎn)(0,1)，代入得Atan1，所以A1.所以函數(shù)的解析式為f(x)tan，所以ftan.考向函數(shù)yAsin(x)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用命題角度1函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用例32015全國(guó)卷函數(shù)f(x)cos(x)的部分圖象如圖所示，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為()A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ答案D解析由圖象可知2m，2m，m

7、Z，所以，2m，mZ，所以函數(shù)f(x)coscos的單調(diào)遞減區(qū)間為2kx2k，kZ，即2kx0，0)的性質(zhì)(1)奇偶性：當(dāng)k(kZ)時(shí)，函數(shù)yAsin(x)為奇函數(shù)；當(dāng)k(kZ)時(shí)，函數(shù)yAsin(x)為偶函數(shù)(2)周期性：yAsin(x)的最小正周期為T(mén).(3)單調(diào)性：根據(jù)ysint和tx(0)的單調(diào)性來(lái)研究，由2kx2k(kZ)得單調(diào)遞增區(qū)間；由2kx2k(kZ)得單調(diào)遞減區(qū)間(4)對(duì)稱(chēng)性：利用ysinx的對(duì)稱(chēng)中心為(k，0)(kZ)求解，令xk(kZ)求得對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)利用ysinx的對(duì)稱(chēng)軸為xk(kZ)求解，令xk(kZ)得其對(duì)稱(chēng)軸核心規(guī)律1.已知f(x)Asin(x)(A0，0)的

8、部分圖象求其解析式時(shí)，A比較容易看圖得出，由即可求出；確定時(shí)，若能求出離原點(diǎn)最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的“零點(diǎn)”橫坐標(biāo)x0，則令x00(或x0)，即可求出.2.由函數(shù)yAsin(x)的性質(zhì)求解析式時(shí)，若最大值與最小值對(duì)應(yīng)的自變量為x1，x2，則|x1x2|min.通過(guò)代入解析式點(diǎn)的坐標(biāo)解出和，若對(duì)A，的符號(hào)或?qū)Φ姆秶幸?，則可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求滿分策略1.在三角函數(shù)的平移變換中，無(wú)論是先平移再伸縮，還是先伸縮再平移，只要平移|個(gè)單位，都是相應(yīng)的解析式中的x變?yōu)閤|.2.函數(shù)f(x)Asin(x)的圖象關(guān)于直線xx0對(duì)稱(chēng)，則x0k(kZ)，即過(guò)函數(shù)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，且與x軸垂直的

9、直線為其對(duì)稱(chēng)軸3.函數(shù)f(x)Asin(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(x0,0)成中心對(duì)稱(chēng)，則x0k(kZ)，即函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)是其對(duì)稱(chēng)中心.板塊三啟智培優(yōu)破譯高考題型技法系列5異名三角函數(shù)的圖象變換技巧2017全國(guó)卷已知曲線C1：ycosx，C2：ysin，則下面結(jié)論正確的是()A把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2B把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2C把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2D把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的

10、倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2解題視點(diǎn)解決三角函數(shù)圖象變換題時(shí)，若兩函數(shù)異名，則通常利用公式sinxcos和cosxsin將異名三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為同名三角函數(shù)，然后分析變換過(guò)程解析首先利用誘導(dǎo)公式化異名為同名ysincoscoscos，由ycosx的圖象得到y(tǒng)cos2x的圖象，需將曲線C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變；由ycos2x的圖象得到y(tǒng)cos的圖象，需將ycos2x的圖象上的各點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度故選D.答案D答題啟示三角函數(shù)圖象變換(1)伸縮變換：將ysinx圖象上的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，可得到y(tǒng)sin的圖象；將ysinx圖象上各

11、點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍，橫坐標(biāo)不變，可得到y(tǒng)Asinx的圖象(2)平移變換：函數(shù)圖象的平移變換遵循“左加右減”的法則，但是要注意平移量是指自變量x的變化量跟蹤訓(xùn)練2018合肥二檢為了得到函數(shù)ycos的圖象，可將函數(shù)ysin2x的圖象()A向左平移單位長(zhǎng)度 B向右平移單位長(zhǎng)度C向左平移單位長(zhǎng)度 D向右平移單位長(zhǎng)度答案C解析由題意，得ycossinsin，則它是由ysin2x向左平移個(gè)單位得到的故選C.板塊四模擬演練提能增分A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1要得到函數(shù)ysinx的圖象，只需將函數(shù)ysin的圖象()A向左平移個(gè)單位 B向右平移個(gè)單位C向左平移個(gè)單位 D向右平移個(gè)單位答案C解析ysinsin，要得到y(tǒng)s

12、inx的圖象，只需將ysin的圖象向左平移個(gè)單位即可22018滄州模擬若0，函數(shù)ycos的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后與原圖象重合，則的最小值為()A. B. C3 D4答案C解析將ycos的圖象向右平移個(gè)單位后為ycoscos，所以有2k，即3k，kZ，又0，所以k1，故3k3.故選C.32018臨沂模擬已知函數(shù)f(x)Acos(x)的圖象如圖所示，f，則f()A B C. D.答案A解析由題干圖知，函數(shù)f(x)的周期T2，所以fff.4將函數(shù)ysin(2x)的圖象沿x軸向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，則的一個(gè)可能取值為()A. B. C. D答案B解析ysin(2x)ysinsin

13、，則由k(kZ)，根據(jù)選項(xiàng)檢驗(yàn)可知的一個(gè)可能取值為.故選B.5.2018廣東茂名一模如圖，函數(shù)f(x)Asin(2x)的圖象過(guò)點(diǎn)(0，)，則f(x)的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是()A. B.C. D.答案B解析由題中函數(shù)圖象可知：A2，由于函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)(0，)，所以2sin，即sin，由于|，所以，則有f(x)2sin.由2xk，kZ可解得x，kZ，故f(x)的圖象的對(duì)稱(chēng)中心是，kZ，則f(x)的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是.故選B.6某城市一年中12個(gè)月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)yaAcos(x1,2,3，12)來(lái)表示，已知6月份的月平均氣溫最高，為28 ，12月份的月平均氣溫最低，為18

14、，則10月份的平均氣溫值為_(kāi).答案20.5解析依題意知，a23，A5，y235cos，當(dāng)x10時(shí)，y235cos20.5.7.2018南寧模擬函數(shù)f(x)cos(x)(0,0)的圖象如圖，則f(x)_.答案cos解析由圖象得：T428，代入(1,1)，得cos1，2k，kZ，即2k，kZ，又0，.f(x)cos.82014重慶高考將函數(shù)f(x)sin(x)圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)sinx的圖象，則f_.答案解析把函數(shù)ysinx的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)sin的圖象，再把函數(shù)ysin圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)

15、f(x)sin的圖象，所以fsinsin.9.2018長(zhǎng)春調(diào)研函數(shù)f(x)Asin(x)的部分圖象如圖所示(1)求函數(shù)yf(x)的解析式；(2)當(dāng)x時(shí)，求f(x)的取值范圍解(1)由題中圖象得A1，所以T2，則1.將點(diǎn)代入得sin1，又，所以，因此函數(shù)f(x)sin.(2)由于x，x，所以1sin，所以f(x)的取值范圍是.10已知f(x)Asin(x)(A0，0)的最小正周期為2，且當(dāng)x時(shí)，f(x)的最大值為2.(1)求f(x)的解析式；(2)在閉區(qū)間上是否存在f(x)的對(duì)稱(chēng)軸？如果存在求出其對(duì)稱(chēng)軸若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)由T2知2得.又因?yàn)楫?dāng)x時(shí)f(x)max2，知A2.且2k(kZ)

16、，故2k(kZ)f(x)2sin2sin，故f(x)2sin.(2)存在令xk(kZ)，得xk(kZ)由k.得k，又kZ，知k5.故在上存在f(x)的對(duì)稱(chēng)軸，其方程為x.B級(jí)知能提升1為了得到函數(shù)ysin的圖象，可以將函數(shù)ycos2x的圖象()A向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度B向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度答案B解析ycos2xsin，由ysin得到y(tǒng)sin，只需向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度22018鄭州模擬將函數(shù)f(x)cos2x的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)g(x)的圖象，則g(x)具有性質(zhì)()A最大值為1，圖象關(guān)于直線x對(duì)稱(chēng)B在上單調(diào)遞減，為奇函數(shù)C在上單調(diào)遞增，為偶函數(shù)D周期為，

17、圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)答案B解析由題意得，g(x)cos2cossin2x.最大值為1，而g0，圖象不關(guān)于直線x對(duì)稱(chēng)，故A錯(cuò)誤；當(dāng)x時(shí)，2x，g(x)單調(diào)遞減，顯然g(x)是奇函數(shù)，故B正確；當(dāng)x時(shí)，2x，此時(shí)不滿足g(x)單調(diào)遞增，也不滿足g(x)是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；周期T，g，故圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)故選B.3將函數(shù)f(x)sin2x的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)g(x)的圖象若對(duì)滿足|f(x1)g(x2)|2的x1，x2，有|x1x2|min，則()A. B. C. D.答案D解析由已知得g(x)sin(2x2)，滿足|f(x1)g(x2)|2，不妨設(shè)此時(shí)yf(x)和yg(x)分別取得最大值與最小值，

18、又|x1x2|min，令2x1，2x22，此時(shí)|x1x2|，又0，故.選D.4已知函數(shù)f(x)sin(x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱(chēng)，且圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為.(1)求和的值；(2)當(dāng)x時(shí)，求函數(shù)yf(x)的最大值和最小值解(1)因?yàn)閒(x)的圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為，所以f(x)的最小正周期T，從而2.又因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱(chēng)，所以2k，kZ，由得k0，所以.綜上，2，.(2)由(1)知f(x)sin，當(dāng)x時(shí)，2x，當(dāng)2x，即x時(shí)，f(x)最大；當(dāng)2x，即x0時(shí)，f(x)最小.52015湖北高考某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)f(x)Asin(x)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：x