2.2.2橢圓的幾何性質(zhì) (3)

1、橢圓的幾何性質(zhì),趙巖,復(fù)習(xí)：,1.橢圓的定義:,到兩定點F1、F2的距離之和為常數(shù)（大于|F1F2 |）的動點的軌跡叫做橢圓。,2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：,3.橢圓中a,b,c的關(guān)系是:,a2=b2+c2,當(dāng)焦點在X軸上時,當(dāng)焦點在Y軸上時,-axa, -byb 知 橢圓落在x=a,y= b組成的矩形中,一、范圍：,觀察:橢圓,關(guān)于x軸對稱,關(guān)于y軸對稱,關(guān)于原點對稱,橢圓對稱性,二、橢圓的對稱性,把(X)換成(-X),方程不變,說明橢圓關(guān)于( )軸對稱； 把(Y)換成(-Y),方程不變,說明橢圓關(guān)于( )軸對稱； 把(X)換成(-X), (Y)換成(-Y),方程還是不變,說明橢圓關(guān)于( )對稱；

2、,中心：橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心。,所以，坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心。,Y,X,原點,練習(xí)2.,三、橢圓的頂點,令 x=0，得 y=？，說明橢圓與 y軸的交點（ ）， 令 y=0，得 x=？, 說明橢圓與 x軸的交點（ ）,*頂點：橢圓與它的對稱軸的四個交點，叫做橢圓的頂點。,0, b,a, 0,*長軸、短軸： 線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸。,a、b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。,練習(xí)3,問題2：圓的形狀都是相同的，而橢圓卻有些比較“扁”，有些比較“圓”，用什么樣的量來刻畫橢圓“扁”的程度呢？,四、橢圓的離心率,離心率：橢圓的焦距與長軸長的比：,叫做橢

3、圓的離心率。,1離心率的取值范圍：,2離心率對橢圓形狀的影響：,0e1,1）e 越接近 1，c 就越接近 a，從而 b就越小，橢圓就越扁 2）e 越接近 0，c 就越接近 0，從而 b就越大，橢圓就越圓,3e與a,b的關(guān)系:,基本元素,1基本量：a、b、c、e、（共四個量）,2基本點：頂點、焦點、中心（共七個點）,3基本線：對稱軸（共兩條線）,請考慮：基本量之間、基本點之間、基本線之間以及它們相互之間的關(guān)系（位置、數(shù)量之間的關(guān)系）,|x| a,|y| b,|x| b,|y| a,關(guān)于x軸、y軸成軸對稱；關(guān)于原點成中心對稱。,（ a ,0 ）,(0, b),（ b ,0 ）,(0, a),( c

4、, 0),(0, c),長半軸長為a,短半軸長為b.,焦距為2c;,a2=b2+c2,例1,求橢圓 16 x2 + 25y2 =400的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點坐標(biāo)。,解：把已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓的長軸長是:,離心率:,焦點坐標(biāo)是:,四個頂點坐標(biāo)是:,橢圓的短軸長是:,2a=10,2b=8,鞏固練習(xí)：,1. 若點P（x，y）在橢圓,上，則點P（x，y）橫坐標(biāo)x的取值范圍_,3. 中心在原點，焦點在x軸上，長軸、短軸的長分別為8和6 的橢圓方程為_,2.若點P（2，4）在橢圓 上，下列是橢圓上的點有_ （1）P（-2，4） （2）P（-4，2） （3） P（-2，-4） （4）P（

5、2，-4）,(1)(3)(4),例2 橢圓的一個頂點為 ,其長軸長是短軸長的2倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,分析：題目沒有指出焦點的位置，要考慮兩種位置,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： ；,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： ；,解：（1）當(dāng) 為長軸端點時， ， ，,（2）當(dāng) 為短軸端點時， , ，,綜上所述，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 或,已知橢圓 的離心率 ，求 的值,由 ，得：,解：當(dāng)橢圓的焦點在 軸上時， ， ，得 ,當(dāng)橢圓的焦點在 軸上時， ， ，得 ,由 ，得 ，即 ,滿足條件的 或 ,思考：,小結(jié)：,1.知識小結(jié)： （1） 學(xué)習(xí)了橢圓的范圍、對稱性、頂點坐標(biāo)、離心率等概念及其幾何意義。 （2） 研究了橢圓的幾個基本量a，b，c，e及頂點、焦點、對稱中心及其相互之間的關(guān)系 2