復(fù)變函數(shù)與積分變換第1章.ppt

1、復(fù)變函數(shù)與積分變換,復(fù)變函數(shù)與積分變換及應(yīng)用背景,(古今數(shù)學(xué)思想(Mathematical Thought from Ancient to Modern Times)的作 者, 美國數(shù)學(xué)史家) 指出: 從技術(shù)觀點(diǎn)來看,十 九世紀(jì)最獨(dú)特的創(chuàng)造是單復(fù)變函數(shù)的理論.這個(gè) 新的數(shù)學(xué)分支統(tǒng)治了十九世紀(jì),幾乎象微積分的 直接擴(kuò)展統(tǒng)治了十八世紀(jì)那樣.這一豐饒的數(shù)學(xué) 分支,一直被稱為這個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)享受.它也被歡 呼為抽象科學(xué)中最和諧的理論之一.,的概念, 從而建立了復(fù)變函數(shù)理論.,為了建立代數(shù)方程的普遍理論，人們引入復(fù)數(shù),復(fù)變函數(shù)理論可以應(yīng)用于計(jì)算某些復(fù)雜的實(shí)函 數(shù)的積分.,說: 實(shí)域中兩個(gè)真理之間的,最短路

2、程是通過復(fù)域.,(3) 復(fù)變函數(shù)理論可以應(yīng)用于流體的平面平行流動 等問題的研究.,函數(shù)理論證明了,應(yīng)用復(fù)變,(4) 應(yīng)用于計(jì)算繞流問題中的壓力和力矩等.,(5) 應(yīng)用于計(jì)算滲流問題. 例如：大壩、鉆井的浸潤曲線.,(6) 應(yīng)用于平面熱傳導(dǎo)問題、電(磁)場強(qiáng)度. 例如：熱爐中溫度的計(jì)算.,最著名的例子是飛機(jī)機(jī)翼剖面壓力的計(jì)算, 從而研究機(jī)翼的造型問題.,變換應(yīng)用于頻譜分析和信號處理等.,(8) 復(fù)變函數(shù)理論也是積分變換的重要基礎(chǔ).,積分變換在許多領(lǐng)域被廣泛地應(yīng)用，如電力 工程、通信和控制領(lǐng)域以及信號分析、圖象處理 和其他許多數(shù)學(xué)、物理和工程技術(shù)領(lǐng)域,頻譜分析是對各次諧波的頻率、振幅、相位之 間的

3、關(guān)系進(jìn)行分析. 隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，語音、圖 象等作為信號，在頻域中的處理要方便得多.,(9),變換應(yīng)用于控制問題.,在控制問題中，傳遞函數(shù)是輸入量的Laplace 變換與輸出量的Laplace變換之比.,(11) Z變換應(yīng)用于離散控制系統(tǒng).,(12) 小波分析的應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛, 如信號分析和 圖象處理、語音識別與合成、醫(yī)學(xué)成像與診斷、 地質(zhì)勘探與地震預(yù)報(bào)等等.,(13) 復(fù)變函數(shù)與積分變換的計(jì)算可以使用為科學(xué)和 工程計(jì)算設(shè)計(jì)的軟件,(10),復(fù)變函數(shù)與積分變換的主要內(nèi)容,1 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù),3 復(fù)變函數(shù)積分,4 級數(shù),5 留數(shù),*6 共形映射,7 Fourier變換,8 Laplace變換,

4、*9 Z變換,*10 小波變換基礎(chǔ),2 解析函數(shù),第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù),本章首先引入復(fù)數(shù)的概念及其運(yùn)算、 平面點(diǎn)集的概念.然后討論復(fù)變函數(shù)的連 續(xù)性.,1.1 復(fù) 數(shù),1 復(fù)數(shù)的概念,2 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,3 復(fù)數(shù)的表示方法,4 乘冪與方根,1.1.1 復(fù)數(shù)的概念,由于解代數(shù)方程的需要, 人們引進(jìn)了復(fù)數(shù). 例如，簡單的代數(shù)方程,在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解. 為了建立代數(shù)方程的普遍 理論，引入等式,由該等式所定義的數(shù)稱為,當(dāng)復(fù)數(shù)的虛部為零、實(shí)部不為零(即 y=0, ) 時(shí)，復(fù)數(shù) x+iy 等于 x+i0 為實(shí)數(shù) x ,而虛部不為零(即 )的復(fù)數(shù)稱為虛數(shù). 在虛數(shù)中, 實(shí)部為零(即x=0, )的稱為純虛數(shù).

5、 例如, 3+0i=3是實(shí)數(shù), 4+5i, -3i都 是虛數(shù), 而-3i是純虛數(shù).,數(shù) x+iy (或 x+yi )的 , 并記做,稱形如 x+iy 或 x+yi 的表達(dá)式為復(fù)數(shù)，其中 x和y是任意兩個(gè)實(shí)數(shù). 把這里的x和y分別稱為復(fù),顯然, z=x+iy 是 x-yi 的共軛復(fù)數(shù), 即,共軛復(fù)數(shù),復(fù)數(shù) x-iy 稱為復(fù)數(shù) x+yi 的 (其中x, y 均為實(shí)數(shù)), 并記做 .,1.1.2 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,注意 復(fù)數(shù)不能比較大小.,設(shè)z1=x1+iy1, z2=x2+iy2是兩個(gè)復(fù)數(shù), 如果x1=x2, y1=y2, 則稱z1和z2相等, 記為z1=z2.,復(fù)數(shù)z1=x1+iy1和z2=x2+

6、iy2的加、減、乘、除 運(yùn)算定義如下：,(1) 復(fù)數(shù)的和與差,(2) 復(fù)數(shù)的積,(3) 復(fù)數(shù)的商,復(fù)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì),1. 交換律,2. 結(jié)合律,3. 分配律,解,例 1.2,例1.3設(shè)z1, z2是兩個(gè)復(fù)數(shù), 證明,證明因?yàn)?所以由運(yùn)算規(guī)律7，有,本例也可以用乘法和共軛復(fù)數(shù)的定義證明.,給定一復(fù)數(shù)z=x+yi, 在坐標(biāo)平面XOY上存 在惟一的點(diǎn)P(x,y)與z=x+yi對應(yīng). 反之, 對XOY 平面上的點(diǎn)P(x,y), 存在惟一的復(fù)數(shù)z=x+yi與它 對應(yīng). 根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算及向量的代數(shù)運(yùn)算 的定義知這種對應(yīng)構(gòu)成了同構(gòu)映射. 因此可以 用XOY平面上的點(diǎn)表示復(fù)數(shù)z.,這時(shí)把XOY平面平 面稱為

7、復(fù)平面. 有時(shí)簡 稱為z平面.,1.1.3 復(fù)平面與復(fù)數(shù)的表示法,顯然, 實(shí)數(shù)與x軸上的點(diǎn)一一對應(yīng), 而x軸以外的點(diǎn)都對應(yīng)一個(gè)虛數(shù), 純虛數(shù) 與y軸上的點(diǎn)(除原點(diǎn))對應(yīng). 因此, 稱x軸為實(shí)軸, y軸為虛軸.,今后把復(fù)平面上的點(diǎn)和復(fù)數(shù)z不加區(qū)別, 即 “點(diǎn)z”和“復(fù)數(shù)z”是同一個(gè)意思. 有時(shí)用C 表示全體復(fù)數(shù)或復(fù)平面.,復(fù)數(shù)z也可以用以原點(diǎn) 為起點(diǎn)而以點(diǎn)P為終點(diǎn)的向 量表示(如圖).,這時(shí)復(fù)數(shù)加、減法滿足向量加、減法中的平 行四邊形法則.,用 表示復(fù)數(shù)z時(shí), 這個(gè)向量在x軸和y軸上的投影分別為x和y.,把向量 的長度r 稱為復(fù)數(shù)z的 或稱為z 的絕對值, 并記做|z|.,顯然,如果點(diǎn)P不是原點(diǎn)

8、(即 ), 那么把軸的正向與向量 的夾角 q 稱為復(fù)數(shù) z 的輻角, 記做Argz.,對每個(gè) , 都有無窮多個(gè)輻角, 因?yàn)橛胵0表示復(fù)數(shù)z的一個(gè)輻角時(shí),就是z的輻角的一般表達(dá)式.,有時(shí), 在進(jìn)行說明后, 把主輻角定義為滿足,的方向角；但當(dāng)z=0時(shí), |z|=0.,滿足 的復(fù)數(shù)z的 稱為主輻角,(或稱輻角的主值), 記做argz, 則,的輻角, 這時(shí)上式仍然成立.,當(dāng)z=0時(shí), Argz沒有意義, 即零向量沒有確定,當(dāng) 時(shí), 有,利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間的關(guān)系,數(shù)z的三角表示式. 再利用Euler公式,復(fù)數(shù)z=x+yi 可表示為 稱為復(fù),復(fù)數(shù)z=x+yi 又可表示為 稱為復(fù)數(shù)的,指數(shù)表示式, 其

9、中r=|z|, q=Argz.,共軛復(fù)數(shù)的幾何性質(zhì),一對共軛復(fù)數(shù)z和 在復(fù)平面的位置是關(guān)于實(shí)軸對稱的.,復(fù)數(shù)和與差的模的性質(zhì),從幾何上看, 復(fù)數(shù) z2-z1所表示的向量, 與以 z1為起點(diǎn)、z2為終點(diǎn)的向量相等 (方向相同, 模 相等). 復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算對應(yīng)于復(fù)平面上相應(yīng) 向量的加、減運(yùn)算.,1.1.4 乘冪與方根,設(shè)復(fù)數(shù)z1和z2的三角表示式為,根據(jù)乘法定義和運(yùn)算法則及兩角和公式,于是,應(yīng)該注意的是 中的,加法是集合的加法運(yùn)算：即將兩個(gè)集合中所有的,兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積; 兩,個(gè)復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角的和.,元素相加構(gòu)成的集合,兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘的幾何意義,設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)對應(yīng)的向

10、量分別為,先將z1按逆時(shí)針方向,旋轉(zhuǎn)角度 ,再將模,變到原來的r2倍,于是,所得的向量z就表示乘積,利用數(shù)學(xué)歸納法可以證明：如果,特別地, 如果,那么,那么,如果寫成指數(shù)形式，即如果,那么,特別地，當(dāng)|z|=r=1時(shí),變?yōu)?稱為De Movie公式.,那么,De Movie公式仍然成立. 設(shè),如果定義負(fù)整數(shù)冪為,則,如果將z1和z2寫成指數(shù)形式,于是,兩個(gè)復(fù)數(shù)商的模等于它們模的商；兩個(gè)復(fù)數(shù),商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差.,方根, 記做 或 如果,于是,當(dāng) 時(shí),對給定的復(fù)數(shù)z, 方程wn=z的解w稱為z的n次,滿足以上三式的充分必要條件是,其中 表示算術(shù)根. 于是,當(dāng)取k=0,1,2,n-

11、1時(shí), 對一個(gè)取定的q, 可得 n個(gè)相異根如下,由三角函數(shù)的周期性,可見, 除w0,w1,wn-1外, 均是重復(fù)出現(xiàn)的, 故,當(dāng)z=0時(shí), w=0就是它的n次方根.,常取主輻角. 若用指數(shù)表示式, 則當(dāng)z=reiq時(shí),這n個(gè)復(fù)數(shù)就是所要求的n個(gè)根.,在上面的推導(dǎo)過程中, 可取q為一個(gè)定值, 通,例1.4 求方程 w4+16=0的四個(gè)根.,因?yàn)?16=24e(2k+1)pi , 所以w4=24e(2k+1)pi . 于是,w1, w2, w3, w4恰好是以原點(diǎn)為圓心、半徑為2的圓,|z|=2的內(nèi)接正方形的四個(gè)頂點(diǎn)(如圖).,復(fù)數(shù)可以用平面上的點(diǎn)表示，這是復(fù)數(shù)的幾 何表示法的一種，另外還可以用球

12、面上的點(diǎn)表示 復(fù)數(shù).,設(shè)S是與復(fù)平面C切于原點(diǎn)O的球面. 過原點(diǎn)O 做垂直于平面 C的直線, 與S的另一交點(diǎn)為N. 原 點(diǎn)O稱為S的南極(S極), 點(diǎn)N稱為S的北極(如圖).,1.1.5 復(fù)球面與無窮遠(yuǎn)點(diǎn),球面上的點(diǎn), 除去北極 N 外, 與復(fù)平面內(nèi) 的點(diǎn)之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系. 我們用球面 上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù).,球面上的北極N不能對應(yīng)復(fù)平面上的定點(diǎn), 當(dāng)球面上的點(diǎn)離北極 N 越近,它所表示的復(fù)數(shù) 的模越大.,規(guī)定: 復(fù)數(shù)中有一個(gè)唯 一的 “無窮大” 與復(fù)平面上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)相對應(yīng), 記作 .,球面上的北極N就是復(fù) 數(shù)無窮大的幾何表示.,不包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的復(fù)平面稱為有限復(fù)平面, 或簡稱復(fù)平面.包括無

13、窮遠(yuǎn)點(diǎn)的復(fù)平面稱為擴(kuò)充 復(fù)平面.,球面上的點(diǎn)與擴(kuò)充復(fù)平面的點(diǎn)構(gòu)成了一一 對應(yīng), 這樣的球面稱為復(fù)球面.,對于復(fù)數(shù)的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)而言, 它的實(shí)部、虛部, 輻角等概念均無意義, 規(guī)定它的模為正無窮大.,(1) 加法,(2) 減法,(3) 乘法,(4) 除法,1.2 平 面 點(diǎn) 集,1 區(qū)域,2 Jordan曲線、連通性,1.2.1 區(qū)域,1. 鄰域,z0是復(fù)平面內(nèi)的定點(diǎn), 滿足不等式|z-z0|0. z0的鄰域?qū)嶋H 上是以z0為中心, d為半徑的圓的內(nèi)部所有點(diǎn)組 成的點(diǎn)集, 簡記為B(z0,d).,由滿足不等式0|z-z0|d的一切點(diǎn)所組成的 集合稱為z0的去心鄰域 .,滿足不等式|z|R (R0)的

14、一切點(diǎn)(包括無窮 遠(yuǎn)點(diǎn))的集合稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域.,用R|z|+表示無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰域.,2. 內(nèi)點(diǎn),設(shè)E是復(fù)平面上的點(diǎn)集, z0是一個(gè)定點(diǎn), 若存 在z0的一個(gè)鄰域, 使得該鄰域內(nèi)的一切點(diǎn)均屬于 E, 則稱z0是E的內(nèi)點(diǎn). 即存在r 0, 滿足,3. 外點(diǎn),4. 邊界點(diǎn),設(shè)E是復(fù)平面上的點(diǎn)集, z0是一個(gè)定點(diǎn), 若存 在z0的一個(gè)鄰域, 使得在此鄰域內(nèi)的一切點(diǎn)均不 屬于E, 則稱z0是E的外點(diǎn). 即存在r 0, 滿足,設(shè)E是復(fù)平面上的點(diǎn)集, z0是一個(gè)定點(diǎn), 若z0 的任何鄰域內(nèi)都含有屬于E的點(diǎn)和不屬于E的 點(diǎn), 則稱z0是E的邊界點(diǎn) .,即對任意的r 0, 存在 z1, z2B(z0,r)

15、, 滿足,顯然, E的內(nèi)點(diǎn)屬于E, 而外點(diǎn)不屬于E, 但 邊界點(diǎn)既可能屬于E, 也可能不屬于E.,E的邊界點(diǎn)的全體所組成的集合稱為E的 邊界, 記做E.,5. 開集,設(shè)G是復(fù)平面上的點(diǎn)集, 如果G 內(nèi)每一點(diǎn)都 是它的內(nèi)點(diǎn),則稱G 為開集.,例1.5 設(shè)z0是定點(diǎn), r 0是常數(shù), 則z0為中心, 以r為半徑的圓的內(nèi)部點(diǎn), 即滿足不等式 |z-z0|r 的一切點(diǎn)z所組成的點(diǎn)集 (z0的r鄰域) 是開集.,當(dāng) 0rR (r 和 R 均是常數(shù)) 時(shí), 滿足不等式 r |z-z0|R的一切z所組成的點(diǎn)集也是開集.,但滿足不等式 r|z-z0|R的一切點(diǎn)所組成的 點(diǎn)集不是開集. 因?yàn)樵趫A周|z-z0|=

16、R上的點(diǎn)屬于 集合r|z-z0|R, 但這些點(diǎn)不是它的內(nèi)點(diǎn), 而是邊 界點(diǎn).,在圓周|z-z0|=r和圓周|z-z0|=R上的點(diǎn)都是點(diǎn) 集 r|z-z0|R和 r|z-z0|R 的邊界點(diǎn).,兩個(gè)圓周上的點(diǎn)都不屬于點(diǎn)集r|z-z0|R, 內(nèi) 圓周|z-z0|=r不屬于點(diǎn)集r|z-z0|R, 外圓周|z-z0|=R 屬于點(diǎn)集r|z-z0|R.,6. 區(qū)域,設(shè)D是復(fù)平面上的點(diǎn)集，如果滿足以下兩個(gè) 條件:,(1) D是開集；,(2) D內(nèi)的任何兩點(diǎn)z1和z2都可以用一條完全 在D內(nèi)的折線, 把z1和z2連接起來(具有這個(gè)性質(zhì) 的點(diǎn)集叫做連通的).,則稱D是復(fù)平面上的區(qū)域.,簡單地說, 連通開集稱為區(qū)域

17、.,基本概念的圖示,區(qū)域,鄰域,邊界點(diǎn),邊界,為閉區(qū)域, 記做,例如, 滿足不等式 |z-z0| r 和r |z-z0|R的一 切點(diǎn)所組成的點(diǎn)集都是有界的閉區(qū)域, 滿足不等 式 |z|R 的一切點(diǎn)所組成的點(diǎn)集是無界的閉區(qū)域.,如果一個(gè)平面點(diǎn)集完全包含在原點(diǎn)的某一 個(gè)鄰域內(nèi), 那么稱它是有界的. 不是有界集的點(diǎn) 集叫做無界集.,由區(qū)域D和它的邊界D所組成的點(diǎn)集，稱,(1) 圓環(huán)域:,例1.6 判斷下列區(qū)域是否有界?,(2) 上半平面:,(3) 角形域:,(4) 帶形域:,答案,(1)有界; (2) (3) (4)無界.,1.2.2 Jordan曲線、連通性,(1) 連續(xù)曲線、 Jordan曲線,

18、參數(shù)方程 x=x(t), y=y(t) (atb) 在XOY平面 上表示一條曲線C. 把XOY平面視為復(fù)平面時(shí), 曲 線C的參數(shù)方程可表示為,如果x=x(t), y=y(t) (atb)為連續(xù)函數(shù)時(shí), 則 稱曲線C為連續(xù)曲線.,曲線C 在復(fù)平面上的參數(shù)方程不僅確定了 曲線的形狀, 實(shí)際上還給出了曲線的方向, 也就 是說, 曲線是沿著t 增加的方向變化的.,復(fù)平面上對應(yīng)于z(a)=x(a)+iy(a)的點(diǎn)稱為曲 線C的起點(diǎn), 對應(yīng)于z(b)=x(b)+iy(b)的點(diǎn)稱為曲線 C 的終點(diǎn).,若曲線C的起點(diǎn)與終點(diǎn)重合, 即z(a)= z(b), 則稱C是閉曲線.,例如, z=z(t)=r(cost+

19、isint) (0t2p)是一條閉 曲線, 因?yàn)閦(0)=z(2p)=r.,對曲線C的參數(shù)方程,做變量代換可得,這兩個(gè)方程所確定的曲線形狀相同, 起點(diǎn)和終點(diǎn)互 易, 從而方向相反.,用C 表示與C形狀相同、方向相反的曲線.,如果t1t2, 有z(t1)=z(t2), 則稱 z(t1)=z(t2) 是曲線 z=z(t)的重點(diǎn).,如果曲線C: z=z(t) (atb) 除起點(diǎn)與終點(diǎn)外無 重點(diǎn),即除 t1=a, t2=b 之外, 如果t1t2, 有z(t1)z(t2), 則稱曲線C是簡單曲線.,連續(xù)的簡單閉曲線稱為Jordan曲線.,任何Jordan曲線C將 平面分為兩個(gè)區(qū)域, 即內(nèi) 部區(qū)域(有界)

20、與外部區(qū)域 (無界), C是它們的公共邊 界.,內(nèi)部,外部,邊界,下列曲線是否為簡單閉曲線?,答 案,簡單 閉,簡單 不閉,不簡單 閉,不簡單 不閉,關(guān)于曲線方向的說明:,設(shè)C 為平面上給定的一條連續(xù)曲線,如果選 定 C 的兩個(gè)可能方向中的一個(gè)作為正向, 則稱 C為有向曲線.,如果從A 到 B 作為曲線 C 的正向, 那么從 B 到 A 為 曲線 C 的負(fù)向, 就是C.,除特殊聲明外, 正向總是指從起點(diǎn)到終點(diǎn)的方向.,Jordan曲線C有兩個(gè)方向, 當(dāng)點(diǎn)z沿著C 的 一個(gè)給定方向變化時(shí), 若C的內(nèi)部出現(xiàn)在點(diǎn)z前 進(jìn)方向的左側(cè), 就規(guī)定這個(gè)方向是正的; 否則 就說是負(fù)的.,如果沒有特別 說明,

21、約定Jordan 曲線的正向?yàn)檫@條 曲線的方向.,對于圓周曲線可以簡單地說, 逆時(shí)針方向 為曲線的正向, 順時(shí)針方向?yàn)榍€的負(fù)向.,(2) 光滑曲線,如果曲線C參數(shù)方程中的x(t)和y(t)都在a,b 上存在連續(xù)的導(dǎo)函數(shù), 且對任何ta,b, 都有,稱C是一條光滑曲線.,由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線 稱為分段光滑曲線.,能求出長度的曲線稱為可求長曲線. 分段光 滑曲線是可求長曲線.,光滑曲線,分段光滑曲線,(3) 單連通區(qū)域與多連通區(qū)域,設(shè)D是復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域, 如果位于D內(nèi) 的任何Jordan曲線的內(nèi)部區(qū)域也都包含于D,則 稱D為單連通區(qū)域.若區(qū)域D不是單連通區(qū)域,則 稱它為多連通

22、區(qū)域.,單連通域,多連通域,練習(xí) 1 指出下列不等式所確定的點(diǎn)集, 是否有 界? 是否區(qū)域? 如果是區(qū)域, 單連通的還是多連通的?,無界的單連通區(qū)域(如圖).,解 (1) 當(dāng) 時(shí),是角形域, 無界的單連通域(如圖).,周外部, 無界多連通區(qū)域(如圖).,是以原點(diǎn)為中心, 半徑為 的圓,表示到1, 1兩點(diǎn)的距離之,表示該橢圓的內(nèi)部, 這是有界的單連通區(qū)域(如圖).,和為定值 4 的點(diǎn)的軌跡,因?yàn)?所以這是橢圓曲線.,內(nèi)部. 這是有界集, 但不是區(qū)域.,令,是雙葉玫瑰線(也稱雙紐線).,表示雙紐線的,練習(xí) 2 滿足下列條件的點(diǎn)集是否區(qū)域? 如果 是區(qū)域, 是單連通區(qū)域還是多連通區(qū)域?,這是一條平行

23、于實(shí)軸的直線,不是區(qū)域.,它是單連通區(qū)域.,這是以為 右邊界的半,平面, 不包括直線,它是多連通區(qū)域.,它不是區(qū)域.,這是以 為圓心, 以2為,半徑的去心圓盤.,這是以i為端點(diǎn), 斜率為1的半,射線, 不包括端點(diǎn)i.,1.3 復(fù)變函數(shù)極限與連續(xù),1 復(fù)變函數(shù)的定義,2 復(fù)變函數(shù)的極限,3 函數(shù)的連續(xù)性,1.3.1 復(fù)變函數(shù)的定義,定義1.1 設(shè)E是復(fù)平面上的點(diǎn)集, 若對任何 zE, 都存在惟一確定的復(fù)數(shù)w和z對應(yīng), 稱在 E 上確定了一個(gè)單值復(fù)變函數(shù)，用w=f (z)表示.,E 稱為該函數(shù)的定義域.,在上述對應(yīng)中, 當(dāng)zE所對應(yīng)的w不止一個(gè) 時(shí), 稱在E上確定了一個(gè)多值復(fù)變函數(shù).,數(shù), 而,例

24、如, w=|z|是以復(fù)平面C為定義域的單值函,是定義在C 0上的多值函數(shù).,以后不特別申明時(shí)，所指的復(fù)變函數(shù)都是單 值函數(shù).,因?yàn)閦=x+iy和w都是復(fù)數(shù), 若把w記為u+iv時(shí), u與v也是z的函數(shù), 因此也是 x 和 y 的函數(shù). 于是, 可以寫成,其中u(x,y)和v(x,y)都是實(shí)變量的二元函數(shù).,例如: w=z2 是一個(gè)復(fù)變函數(shù). 令,因?yàn)?于是函數(shù)w=z2對,應(yīng)于兩個(gè)二元實(shí)函數(shù),令 于是,反之, 如果,反函數(shù)的定義,設(shè)函數(shù)w=f(z)的定義域?yàn)閺?fù)平面上的點(diǎn)集D, 稱復(fù)平面上的點(diǎn)集,為函數(shù)w=f(z)的值域.,對于任意的wG, 必有D中一個(gè)或幾個(gè)復(fù)數(shù) 與之對應(yīng).,于是, 確定了G上一

25、個(gè)單值或多值函數(shù)z=j(w), 稱之為函數(shù)w=f(z)的反函數(shù).,定義1.2設(shè)復(fù)變函數(shù)w=f(z)在z0的某個(gè)去心 鄰域內(nèi)有定義, A是復(fù)常數(shù). 若對任意給定的e 0, 存在d 0, 使得對一切滿足0|z-z0|d 的z , 都有,成立, 則稱當(dāng)z趨于z0時(shí), f(z)以A為極限，并記做,或,注意: 定義中zz0的方式是任意的.,1.3.2 復(fù)變函數(shù)的極限,例1.7 當(dāng) z0 時(shí), 函數(shù),極限不存在.,事實(shí)上, 當(dāng)z沿直線y=kx趨于零時(shí),該極限值隨k值的變化而變化, 所以極限,不存在.,定義1.3設(shè) f (z)在z0的鄰域內(nèi)有定義, 且,則稱f(z)在z0處連續(xù).,若f(z)在區(qū)域D內(nèi)的每一

26、點(diǎn)都連續(xù)，則稱f(z) 在區(qū)域D上連續(xù).,關(guān)于函數(shù)f(z)在連續(xù)曲線C上的連續(xù)性和閉 區(qū)域 上的連續(xù)性, 只要把上述定義中的z限制 在C或 上即可.,1.3.3 函數(shù)的連續(xù)性,證明只須注意, 由等式,可得不等式,又有不等式,這個(gè)定理說明復(fù)變函數(shù),的連續(xù)性等價(jià)兩個(gè)二元實(shí)函數(shù),的連續(xù)性.,利用這些不等式及 ，結(jié)論易證.,例1.8設(shè)復(fù)變函數(shù) f (z)在點(diǎn) z0 連續(xù)，并且 f (z0)0, 則存在 z0的某個(gè)鄰域，使 f (z)在此鄰域 內(nèi)恒不為0.,證明 由于 f (z)在點(diǎn) z0 連續(xù),應(yīng)用 或仿證明實(shí)函數(shù)類似結(jié)論的方,法可以證明上述兩個(gè)定理.,由前面的結(jié)論可知, 多項(xiàng)式,在復(fù)平面內(nèi)處處連續(xù).

27、 有理分式,在復(fù)平面內(nèi)除分母為零的點(diǎn)之外, 處處連續(xù).,都是復(fù)常數(shù).,定理1.4設(shè)f (z)在有界閉區(qū)域 ( 或有限,長的連續(xù)曲線C )上連續(xù)，則 f (z)在 ( 或C )上,有界, 即存在M0, 當(dāng) 或 zC時(shí)，有,為了后面的需要, 給出下面一個(gè)關(guān)于函數(shù)有,界性的定理.,復(fù)數(shù),平面表示法,定義表示法,三角表示法,曲線與區(qū)域,球面表示法,復(fù)數(shù)表示法,指數(shù)表示法,復(fù)數(shù)的運(yùn)算,共軛運(yùn)算,代數(shù)運(yùn)算,乘冪與方根,本章主要內(nèi)容(一),向量表示法,復(fù)變函數(shù)連續(xù)性,1. 復(fù)數(shù)運(yùn)算和各種表示法,2. 復(fù)數(shù)方程表示曲線以及不等式表示區(qū)域,本章的重點(diǎn),第一章 完,Leonhard Euler,(1707.4.15-1783.9.18),偉大的瑞士數(shù)學(xué)家及自然科