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文檔簡介
1、第46講雙曲線考綱要求考情分析命題趨勢1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程,知道它的簡單幾何性質(zhì)2了解圓錐曲線的簡單應用,了解雙曲線的實際背景3理解數(shù)形結合的思想.2017全國卷,52017北京卷,102017天津卷,52017山東卷,151.求解與雙曲線定義有關的問題;利用雙曲線的定義求軌跡方程;求雙曲線的標準方程;判斷雙曲線焦點的位置2求雙曲線的漸近線;求解與雙曲線的范圍、對稱性有關的問題;求解雙曲線的離心率.分值:5分1雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個定點F1,F(xiàn)2的!_距離之差的絕對值_#等于常數(shù)(小于)的點的軌跡叫做雙曲線這兩個定點叫做!_雙曲線的焦點_#,兩焦點間的距離叫做!_雙曲線的
2、焦距_#.集合PM2a,2c,其中a,c為常數(shù),且a0,c0.(1)當!_ac_#時,點P的軌跡是雙曲線;(2)當!_ac_#時,點P的軌跡是兩條射線;(3)當!_ac_#時,點P不存在2雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì)標準方程1(a0,b0)1(a0,b0)圖形性質(zhì)范圍xa或xa,yRya或ya,xR對稱性對稱軸:!_坐標軸_#,對稱中心:!_原點_#頂點A1!_(a,0)_#,A2!_(a,0)_#A1!_(0,a)_#,A2!_(0,a)_#漸近線yxyx離心率e!_#,e(1,)a,b,c的關系c2!_a2b2_#實虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實軸,它的長!_2a_#;線段B1B2叫做雙曲線
3、的虛軸,它的長!_2b_#;a叫做雙曲線的實半軸長,b叫做雙曲線的虛半軸長3常用結論(1)雙曲線的焦點到漸近線0(a0,b0)的距離為b.如右圖OFH是分別以邊a,b,c為邊長的直角三角形(2)如下圖:1(ab0)1(a0,b0)則有:P1,P2兩點坐標都為,即.1思維辨析(在括號內(nèi)打“”或“”)(1)平面內(nèi)到點F1 (0,4),F(xiàn)2(0,4)距離之差等于6的點的軌跡是雙曲線()(2)平面內(nèi)到點F1(0,4),F(xiàn)2(0,4)距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線()(3)方程1(mn0)表示焦點在x軸上的雙曲線()(4)雙曲線方程(m0,n0,0)的漸近線方程是0,即0.()解析(1)錯誤由
4、雙曲線的定義知,應為雙曲線的一支,而非雙曲線的全部(2)錯誤因為8,表示的軌跡為兩條射線(3)錯誤當m0,n0時表示焦點在x軸上的雙曲線,而m0,n0時則表示焦點在y軸上的雙曲線(4)正確因為1(a0,b0)的漸近線方程為yx,即0,所以當0時,1(m0,n0)的漸近線方程為0,即0,即0,同理當0時,仍成立,故結論正確2過雙曲線x2y28的左焦點F1有一條弦PQ在左支上,若7,F(xiàn)2是雙曲線的右焦點,則PF2Q的周長是(C)A28B148C148D8解析由雙曲線定義知4,4,()8.又7,78.PF2Q的周長為148.3雙曲線2x2y28的實軸長是(C)A2B2C4D4解析雙曲線2x2y28的
5、標準方程為1,所以實軸長2a4.故選C4設雙曲線1(a0)的漸近線方程為3x2y0,則a的值為(C)A4B3C2D1解析雙曲線1的漸近線方程為0,整理得3xay0,故a2.故選C5在平面直角坐標系xOy中,雙曲線中心在原點,焦點在y軸上,一條漸近線方程為x2y0,則它的離心率為(A)ABCD2解析設雙曲線方程為1(a0,b0),其中一條漸近線方程為yx,即e214,e.一雙曲線的定義及其標準方程雙曲線的定義和標準方程中的注意點(1)在解決與雙曲線的焦點有關的距離問題時,通??紤]利用雙曲線的定義(2)在運用雙曲線的定義解題時,應特別注意定義中的條件“差的絕對值”,弄清楚是指整條雙曲線還是雙曲線的
6、一支(3)求雙曲線方程時一是標準形式的判斷;二是注意a,b,c的關系易錯易混【例1】 (1)已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為F(3,0),離心率等于,則C的方程是(B)A1B1C1D1(2)設F1,F(xiàn)2是雙曲線x21的兩個焦點,P是雙曲線上的一點,且34,則PF1F2的面積等于(C)A4B8C24D48解析(1)由曲線C的右焦點為F(3,0),知c3,由離心率e,知,則a2,故b2c2a2945,所以雙曲線C的方程為1.(2)雙曲線的實軸長為2,焦距為2510.據(jù)題意和雙曲線的定義知2,6,8,222,PF1PF2.SPF1F26824.二雙曲線的幾何性質(zhì)及其應用雙曲線中一些幾何量的求解方法
7、(1)求雙曲線的離心率(或范圍)依據(jù)題設條件,將問題轉(zhuǎn)化為關于a,c的等式(或不等式),解方程(或不等式)即可求得(2)求雙曲線的漸近線方程依據(jù)題設條件,求雙曲線中a,b的值或a與b的比值,進而得出雙曲線的漸近線方程(3)求雙曲線的方程依據(jù)題設條件求出a,b的值或依據(jù)雙曲線的定義求雙曲線的方程(4)求雙曲線的焦點(焦距)、實(虛)軸的長依題設條件及a,b,c之間的關系求解【例2】 (1)(2016山東卷)已知雙曲線E:1(a0,b0),矩形ABCD的四個頂點在E上,AB,CD的中點為E的兩個焦點,且2|AB|3|BC|,則E的離心率是!_2_#.(2)(2017山東卷)在平面直角坐標系xOy中
8、,雙曲線1(a0,b0)的右支與焦點為F的拋物線x22py(p0)交于A,B兩點若|AF|BF|4|OF|,則該雙曲線的漸近線方程為!_yx_#.解析(1)由已知得|AB|CD|,|BC|AD|F1F2|2c.因為2|AB|3|BC|,所以6c,2b23ac,3e,2(e21)3e,2e23e20,解得e2或e(舍去)(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),由拋物線的定義可知|AF|y1,|BF|y2,|OF|,由|AF|BF|y1y2y1y2p4|OF|2p,得y1y2p.聯(lián)立方程,得110.由根與系數(shù)的關系得y1y2b2p.pp,雙曲線的漸近線方程為yx.三直線與雙曲線的位置關系解有關
9、直線與雙曲線的位置關系的方法(1)解決此類問題的常用方法是設出直線方程或雙曲線方程,然后把直線方程和雙曲線方程組成方程組,消元后轉(zhuǎn)化成關于x(或y)的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關系,整體代入(2)與中點有關的問題常用點差法(3)根據(jù)直線的斜率與漸近線的斜率的關系來判斷直線與雙曲線的位置關系【例3】 若雙曲線E:y21(a0)的離心率等于,直線ykx1與雙曲線E的右支交于A,B兩點(1)求k的取值范圍;(2)若6,點C是雙曲線上一點,且m(),求k,m的值解析(1)由得故雙曲線E的方程為x2y21.設A(x1,y1),B(x2,y2),由得(1k2)x22kx20.直線與雙曲線右支交于A,B兩
10、點,即即所以1k,即k的取值范圍是(1,)(2)由得x1x2,x1x2,26,整理得28k455k2250,k2或k2,又1k,k,x1x24,y1y2k(x1x2)28.設C(x3,y3),由m(),得(x3,y3)m(x1x2,y1y2)(4m,8m),點C是雙曲線上一點,80m264m21,得m,故k,m.1過雙曲線1(a0,b0)的右焦點與對稱軸垂直的直線與漸近線交于A,B兩點,若OAB的面積為,則雙曲線的離心率為(D)ABCD解析由題意可求得,所以SOABc,整理得,即e.故選D2已知點F是雙曲線C:x21的右焦點,點P是C上一點,且PF與x軸垂直,點A的坐標是(1,3),則APF的
11、面積為(D)ABCD解析由題可知,雙曲線的右焦點為F(2,0),當x2時,代入雙曲線C的方程,得41,解得y3,不妨取點P(2,3),因為點A(1,3),所以APx軸,又PFx軸,所以APPF,所以SAPF|PF|AP|31.故選D3已知雙曲線C:1(a0,b0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,點P在雙曲線上,若6a,且PF1F2最小內(nèi)角的大小為30,則雙曲線C的漸近線方程為(B)Axy0Bxy0Cx2y0D2xy0解析由題意不妨設2a,6a,4a,2a,2c2a,PF1F2最小內(nèi)角為PF1F230,在PF1F2中,由余弦定理得4a24c216a222c4acos 30,解得ca,ba,故雙曲線
12、的漸近線方程為yxx,即xy0.故選B4一條斜率為1的直線l與離心率為的雙曲線1(a0,b0)交于P,Q兩點,直線l與y軸交于點R,且3,3,求直線和雙曲線的方程解析e,b22a2,雙曲線方程可化為2x2y22a2.設直線l的方程為yxm,由得x22mxm22a20,4m24(m22a2)0,直線l一定與雙曲線相交設P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1x22m,x1x2m22a2.3,xR0,x13x2,x2m,3xm22a2,消去x2,得m2a2.x1x2y1y2x1x2(x1m)(x2m)2x1x2m(x1x2)m2m24a23,m1,a21,b22.直線l的方程為yx1,雙曲線的方
13、程為x21.易錯點忽略定義的應用錯因分析:不能利用平面幾何知識和雙曲線的定義解題,使解題無從入手【例1】 已知ABC的頂點A(5,0),B(5,0),ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x3上,則頂點C的軌跡方程為!_#.解析如圖,8,2,.所以826.根據(jù)雙曲線定義,所求軌跡是以A,B為焦點,實軸長為6的雙曲線的右支,方程為1(x3)答案1(x3)【跟蹤訓練1】 中心在原點,焦點在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點F1,F(xiàn)2,且|F1F2|2,橢圓的長半軸與雙曲線實半軸之差為4,離心率之比為37.(1)求這兩曲線的方程;(2)若P為這兩曲線的一個交點,求cosF1PF2的值解析(1)由已知c,設橢圓長
14、半軸長、短半軸長分別為a,b,雙曲線實半軸長、虛半軸長分別為m,n,則解得a7,m3.b6,n2.橢圓方程為1,雙曲線方程為1.(2)不妨設F1,F(xiàn)2分別為左、右焦點,P是第一象限的一個交點,則|PF1|PF2|14,|PF1|PF2|6,|PF1|10,|PF2|4.又|F1F2|2,cosF1PF2.課時達標第46講解密考綱對雙曲線的定義、標準方程及幾何性質(zhì)的考查,通常與平面向量、解三角形或不等式綜合在一起,以選擇題或填空題形式出現(xiàn)一、選擇題1(2018湖南衡陽八中期中)如果方程1表示雙曲線,則實數(shù)k的取值范圍是(B)A(,1)B(1,)C(1,)D(,1)(1,)解析雙曲線的方程是1.根
15、據(jù)定義和條件知k10k1.故選B2已知實數(shù)1,m,9成等比數(shù)列,則圓錐曲線y21的離心率為(C)AB2C或2D或解析根據(jù)條件可知m29,m3.當m3時,e;當m3 時,e2.故選C3雙曲線2y21的漸近線與圓x2(ya)21相切,則正實數(shù)a的值為(C)ABCD解析雙曲線2y21的漸近線方程為yx,圓心為(0,a),半徑為1,由漸近線和圓相切,得1,解得a.4若實數(shù)k滿足0k9,則曲線1與曲線1的(D)A離心率相等B虛半軸長相等C實半軸長相等D焦距相等解析因為0kb0,橢圓C1的方程為1,雙曲線C2的方程為1,C1與C2的離心率之積為,則C2的漸近線方程為(A)Axy0Bxy0Cx2y0D2xy
16、0解析由已知得,所以,C2的漸近線方程為yx,即xy0.二、填空題7(2017北京卷)若雙曲線x21的離心率為,則實數(shù)m!_2_#.解析由已知可得a1,c,所以e,解得m2.8已知雙曲線C:1(a0,b0)的一條漸近線與直線l:xy0垂直,雙曲線C的一個焦點到直線l的距離為1,則雙曲線C的方程為!_x21_#.解析雙曲線的一條漸近線與直線l:xy0垂直,雙曲線的漸近線的斜率為,即.由題意知雙曲線的焦點在x軸上,可設雙曲線的一個焦點坐標為(c,0),根據(jù)點到直線的距離公式,得1,c2,即a2b24.聯(lián)立,解得a21,b23 ,雙曲線的標準方程為x21.9在平面直角坐標系xOy中,已知ABC的頂點
17、A(6,0)和C(6,0),若頂點B在雙曲線1的左支上,則!_#.解析由條件可知|BC|BA|10,且|AC|12.又在ABC中,有2R(R為ABC外接圓的半徑),從而.三、解答題10已知雙曲線的中心在原點,焦點F1,F(xiàn)2在坐標軸上,離心率為,且過點(4,)(1)求雙曲線的方程;(2)若點M(3,m)在雙曲線上,求證:點M在以F1F2為直徑的圓上解析(1)離心率e,雙曲線為等軸雙曲線,可設其方程為x2y2(0),則由點(4,)在雙曲線上,可得42()26,雙曲線方程為x2y26.(2)證明:點M(3,m)在雙曲線上,32m26,m23.又雙曲線x2y26的焦點為F1(2,0),F(xiàn)2(2,0),
18、 (23,m)(23,m)(3)2(2)2m291230,MF1MF2,點M在以F1F2為直徑的圓上11設A,B分別為雙曲線1(a0,b0)的左、右頂點,雙曲線的實軸長為4,焦點到漸近線的距離為.(1)求雙曲線的方程;(2)已知直線yx2與雙曲線的右支交于M,N兩點,且在雙曲線的右支上存在點D,使t,求t的值及點D的坐標解析(1)由題意知a2,一條漸近線為yx,即bx2y0,.又c212b2,即b2(12b2)3b236,b23.雙曲線方程為1.(2)設M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),則x1x2tx0,y1y2ty0.將直線方程代入雙曲線方程得x216x840,則x1x216,y1y212.由t,得(16,12)(4t,3t),t4,點D的坐標為(4,3)12已知雙曲線C:x2y21及直線l:ykx1
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