2019版高考數(shù)學大一輪復習第八章解析幾何第46講雙曲線優(yōu)選學案

1、第46講雙曲線考綱要求考情分析命題趨勢1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道它的簡單幾何性質(zhì)2了解圓錐曲線的簡單應用，了解雙曲線的實際背景3理解數(shù)形結合的思想.2017全國卷，52017北京卷，102017天津卷，52017山東卷，151.求解與雙曲線定義有關的問題；利用雙曲線的定義求軌跡方程；求雙曲線的標準方程；判斷雙曲線焦點的位置2求雙曲線的漸近線；求解與雙曲線的范圍、對稱性有關的問題；求解雙曲線的離心率.分值：5分1雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的！_距離之差的絕對值_#等于常數(shù)(小于)的點的軌跡叫做雙曲線這兩個定點叫做！_雙曲線的焦點_#，兩焦點間的距離叫做！_雙曲線的

2、焦距_#.集合PM2a，2c，其中a，c為常數(shù)，且a0，c0.(1)當！_ac_#時，點P的軌跡是雙曲線；(2)當！_ac_#時，點P的軌跡是兩條射線；(3)當！_ac_#時，點P不存在2雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì)標準方程1(a0，b0)1(a0，b0)圖形性質(zhì)范圍xa或xa，yRya或ya，xR對稱性對稱軸：！_坐標軸_#，對稱中心：！_原點_#頂點A1！_(a,0)_#，A2！_(a,0)_#A1！_(0，a)_#，A2！_(0，a)_#漸近線yxyx離心率e！_#，e(1，)a，b，c的關系c2！_a2b2_#實虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長！_2a_#；線段B1B2叫做雙曲線

3、的虛軸，它的長！_2b_#；a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長3常用結論(1)雙曲線的焦點到漸近線0(a0，b0)的距離為b.如右圖OFH是分別以邊a，b，c為邊長的直角三角形(2)如下圖：1(ab0)1(a0，b0)則有：P1，P2兩點坐標都為，即.1思維辨析(在括號內(nèi)打“”或“”)(1)平面內(nèi)到點F1 (0,4)，F(xiàn)2(0，4)距離之差等于6的點的軌跡是雙曲線()(2)平面內(nèi)到點F1(0,4)，F(xiàn)2(0，4)距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線()(3)方程1(mn0)表示焦點在x軸上的雙曲線()(4)雙曲線方程(m0，n0，0)的漸近線方程是0，即0.()解析(1)錯誤由

4、雙曲線的定義知，應為雙曲線的一支，而非雙曲線的全部(2)錯誤因為8，表示的軌跡為兩條射線(3)錯誤當m0，n0時表示焦點在x軸上的雙曲線，而m0，n0時則表示焦點在y軸上的雙曲線(4)正確因為1(a0，b0)的漸近線方程為yx，即0，所以當0時，1(m0，n0)的漸近線方程為0，即0，即0，同理當0時，仍成立，故結論正確2過雙曲線x2y28的左焦點F1有一條弦PQ在左支上，若7，F(xiàn)2是雙曲線的右焦點，則PF2Q的周長是(C)A28B148C148D8解析由雙曲線定義知4，4，()8.又7，78.PF2Q的周長為148.3雙曲線2x2y28的實軸長是(C)A2B2C4D4解析雙曲線2x2y28的

5、標準方程為1，所以實軸長2a4.故選C4設雙曲線1(a0)的漸近線方程為3x2y0，則a的值為(C)A4B3C2D1解析雙曲線1的漸近線方程為0，整理得3xay0，故a2.故選C5在平面直角坐標系xOy中，雙曲線中心在原點，焦點在y軸上，一條漸近線方程為x2y0，則它的離心率為(A)ABCD2解析設雙曲線方程為1(a0，b0)，其中一條漸近線方程為yx，即e214，e.一雙曲線的定義及其標準方程雙曲線的定義和標準方程中的注意點(1)在解決與雙曲線的焦點有關的距離問題時，通?？紤]利用雙曲線的定義(2)在運用雙曲線的定義解題時，應特別注意定義中的條件“差的絕對值”，弄清楚是指整條雙曲線還是雙曲線的

6、一支(3)求雙曲線方程時一是標準形式的判斷；二是注意a，b，c的關系易錯易混【例1】 (1)已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為F(3,0)，離心率等于，則C的方程是(B)A1B1C1D1(2)設F1，F(xiàn)2是雙曲線x21的兩個焦點，P是雙曲線上的一點，且34，則PF1F2的面積等于(C)A4B8C24D48解析(1)由曲線C的右焦點為F(3,0)，知c3，由離心率e，知，則a2，故b2c2a2945，所以雙曲線C的方程為1.(2)雙曲線的實軸長為2，焦距為2510.據(jù)題意和雙曲線的定義知2，6，8，222，PF1PF2.SPF1F26824.二雙曲線的幾何性質(zhì)及其應用雙曲線中一些幾何量的求解方法

7、(1)求雙曲線的離心率(或范圍)依據(jù)題設條件，將問題轉(zhuǎn)化為關于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得(2)求雙曲線的漸近線方程依據(jù)題設條件，求雙曲線中a，b的值或a與b的比值，進而得出雙曲線的漸近線方程(3)求雙曲線的方程依據(jù)題設條件求出a，b的值或依據(jù)雙曲線的定義求雙曲線的方程(4)求雙曲線的焦點(焦距)、實(虛)軸的長依題設條件及a，b，c之間的關系求解【例2】 (1)(2016山東卷)已知雙曲線E：1(a0，b0)，矩形ABCD的四個頂點在E上，AB，CD的中點為E的兩個焦點，且2|AB|3|BC|，則E的離心率是！_2_#.(2)(2017山東卷)在平面直角坐標系xOy中

8、，雙曲線1(a0，b0)的右支與焦點為F的拋物線x22py(p0)交于A，B兩點若|AF|BF|4|OF|，則該雙曲線的漸近線方程為！_yx_#.解析(1)由已知得|AB|CD|，|BC|AD|F1F2|2c.因為2|AB|3|BC|，所以6c,2b23ac，3e,2(e21)3e,2e23e20，解得e2或e(舍去)(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線的定義可知|AF|y1，|BF|y2，|OF|，由|AF|BF|y1y2y1y2p4|OF|2p，得y1y2p.聯(lián)立方程，得110.由根與系數(shù)的關系得y1y2b2p.pp，雙曲線的漸近線方程為yx.三直線與雙曲線的位置關系解有關

9、直線與雙曲線的位置關系的方法(1)解決此類問題的常用方法是設出直線方程或雙曲線方程，然后把直線方程和雙曲線方程組成方程組，消元后轉(zhuǎn)化成關于x(或y)的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系，整體代入(2)與中點有關的問題常用點差法(3)根據(jù)直線的斜率與漸近線的斜率的關系來判斷直線與雙曲線的位置關系【例3】 若雙曲線E：y21(a0)的離心率等于，直線ykx1與雙曲線E的右支交于A，B兩點(1)求k的取值范圍；(2)若6，點C是雙曲線上一點，且m()，求k，m的值解析(1)由得故雙曲線E的方程為x2y21.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(1k2)x22kx20.直線與雙曲線右支交于A，B兩

10、點，即即所以1k，即k的取值范圍是(1，)(2)由得x1x2，x1x2，26，整理得28k455k2250，k2或k2，又1k，k，x1x24，y1y2k(x1x2)28.設C(x3，y3)，由m()，得(x3，y3)m(x1x2，y1y2)(4m,8m)，點C是雙曲線上一點，80m264m21，得m，故k，m.1過雙曲線1(a0，b0)的右焦點與對稱軸垂直的直線與漸近線交于A，B兩點，若OAB的面積為，則雙曲線的離心率為(D)ABCD解析由題意可求得，所以SOABc，整理得，即e.故選D2已知點F是雙曲線C：x21的右焦點，點P是C上一點，且PF與x軸垂直，點A的坐標是(1,3)，則APF的

11、面積為(D)ABCD解析由題可知，雙曲線的右焦點為F(2,0)，當x2時，代入雙曲線C的方程，得41，解得y3，不妨取點P(2,3)，因為點A(1,3)，所以APx軸，又PFx軸，所以APPF，所以SAPF|PF|AP|31.故選D3已知雙曲線C：1(a0，b0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線上，若6a，且PF1F2最小內(nèi)角的大小為30，則雙曲線C的漸近線方程為(B)Axy0Bxy0Cx2y0D2xy0解析由題意不妨設2a，6a，4a，2a，2c2a，PF1F2最小內(nèi)角為PF1F230，在PF1F2中，由余弦定理得4a24c216a222c4acos 30，解得ca，ba，故雙曲線

12、的漸近線方程為yxx，即xy0.故選B4一條斜率為1的直線l與離心率為的雙曲線1(a0，b0)交于P，Q兩點，直線l與y軸交于點R，且3，3，求直線和雙曲線的方程解析e，b22a2，雙曲線方程可化為2x2y22a2.設直線l的方程為yxm，由得x22mxm22a20，4m24(m22a2)0，直線l一定與雙曲線相交設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1x22m，x1x2m22a2.3，xR0，x13x2，x2m，3xm22a2，消去x2，得m2a2.x1x2y1y2x1x2(x1m)(x2m)2x1x2m(x1x2)m2m24a23，m1，a21，b22.直線l的方程為yx1，雙曲線的方

13、程為x21.易錯點忽略定義的應用錯因分析：不能利用平面幾何知識和雙曲線的定義解題，使解題無從入手【例1】 已知ABC的頂點A(5,0)，B(5,0)，ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x3上，則頂點C的軌跡方程為！_#.解析如圖，8，2，.所以826.根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A，B為焦點，實軸長為6的雙曲線的右支，方程為1(x3)答案1(x3)【跟蹤訓練1】 中心在原點，焦點在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點F1，F(xiàn)2，且|F1F2|2，橢圓的長半軸與雙曲線實半軸之差為4，離心率之比為37.(1)求這兩曲線的方程；(2)若P為這兩曲線的一個交點，求cosF1PF2的值解析(1)由已知c，設橢圓長

14、半軸長、短半軸長分別為a，b，雙曲線實半軸長、虛半軸長分別為m，n，則解得a7，m3.b6，n2.橢圓方程為1，雙曲線方程為1.(2)不妨設F1，F(xiàn)2分別為左、右焦點，P是第一象限的一個交點，則|PF1|PF2|14，|PF1|PF2|6，|PF1|10，|PF2|4.又|F1F2|2，cosF1PF2.課時達標第46講解密考綱對雙曲線的定義、標準方程及幾何性質(zhì)的考查，通常與平面向量、解三角形或不等式綜合在一起，以選擇題或填空題形式出現(xiàn)一、選擇題1(2018湖南衡陽八中期中)如果方程1表示雙曲線，則實數(shù)k的取值范圍是(B)A(，1)B(1，)C(1，)D(，1)(1，)解析雙曲線的方程是1.根

15、據(jù)定義和條件知k10k1.故選B2已知實數(shù)1，m,9成等比數(shù)列，則圓錐曲線y21的離心率為(C)AB2C或2D或解析根據(jù)條件可知m29，m3.當m3時，e；當m3 時，e2.故選C3雙曲線2y21的漸近線與圓x2(ya)21相切，則正實數(shù)a的值為(C)ABCD解析雙曲線2y21的漸近線方程為yx，圓心為(0，a)，半徑為1，由漸近線和圓相切，得1，解得a.4若實數(shù)k滿足0k9，則曲線1與曲線1的(D)A離心率相等B虛半軸長相等C實半軸長相等D焦距相等解析因為0kb0，橢圓C1的方程為1，雙曲線C2的方程為1，C1與C2的離心率之積為，則C2的漸近線方程為(A)Axy0Bxy0Cx2y0D2xy

16、0解析由已知得，所以，C2的漸近線方程為yx，即xy0.二、填空題7(2017北京卷)若雙曲線x21的離心率為，則實數(shù)m！_2_#.解析由已知可得a1，c，所以e，解得m2.8已知雙曲線C：1(a0，b0)的一條漸近線與直線l：xy0垂直，雙曲線C的一個焦點到直線l的距離為1，則雙曲線C的方程為！_x21_#.解析雙曲線的一條漸近線與直線l：xy0垂直，雙曲線的漸近線的斜率為，即.由題意知雙曲線的焦點在x軸上，可設雙曲線的一個焦點坐標為(c,0)，根據(jù)點到直線的距離公式，得1，c2，即a2b24.聯(lián)立，解得a21，b23 ，雙曲線的標準方程為x21.9在平面直角坐標系xOy中，已知ABC的頂點

17、A(6,0)和C(6,0)，若頂點B在雙曲線1的左支上，則！_#.解析由條件可知|BC|BA|10，且|AC|12.又在ABC中，有2R(R為ABC外接圓的半徑)，從而.三、解答題10已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在坐標軸上，離心率為，且過點(4，)(1)求雙曲線的方程；(2)若點M(3，m)在雙曲線上，求證：點M在以F1F2為直徑的圓上解析(1)離心率e，雙曲線為等軸雙曲線，可設其方程為x2y2(0)，則由點(4，)在雙曲線上，可得42()26，雙曲線方程為x2y26.(2)證明：點M(3，m)在雙曲線上，32m26，m23.又雙曲線x2y26的焦點為F1(2，0)，F(xiàn)2(2，0)，

18、 (23，m)(23，m)(3)2(2)2m291230，MF1MF2，點M在以F1F2為直徑的圓上11設A，B分別為雙曲線1(a0，b0)的左、右頂點，雙曲線的實軸長為4，焦點到漸近線的距離為.(1)求雙曲線的方程；(2)已知直線yx2與雙曲線的右支交于M，N兩點，且在雙曲線的右支上存在點D，使t，求t的值及點D的坐標解析(1)由題意知a2，一條漸近線為yx，即bx2y0，.又c212b2，即b2(12b2)3b236，b23.雙曲線方程為1.(2)設M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，則x1x2tx0，y1y2ty0.將直線方程代入雙曲線方程得x216x840，則x1x216，y1y212.由t，得(16，12)(4t,3t)，t4，點D的坐標為(4，3)12已知雙曲線C：x2y21及直線l：ykx1