重慶市南開中學(xué)2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 文（含解析）（通用）

1、重慶市南開中學(xué)2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 文（含解析）一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）1.若拋物線的焦點(diǎn)為，則的值為（ ）A. B. C. 2D. 4【答案】C【解析】【分析】利用拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，即可求出的值.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的方程與簡單性質(zhì)，意在考查對基礎(chǔ)知識的掌握情況，屬于基礎(chǔ)題.2.若一個橢圓的短軸長和焦距相等，則該橢圓的離心率為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由，可得，再根據(jù)列式可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)闄E圓的短軸長和焦距相等，所以，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的離心率，屬于中檔題.離心

2、率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：直接求出，從而求出;構(gòu)造的齊次式，求出;采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解3.以下各點(diǎn)在圓 內(nèi)的是（ ）A. (0,1)B. (1,0)C. (3,1)D. (1,3)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合點(diǎn)與圓位置關(guān)系的判定方法，依次分析選項(xiàng)，綜合即可得答案【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)： 對于A，對于（0，1），有4，點(diǎn)在圓外，不符合題意；對于B，對于（1，0），有4，點(diǎn)在圓外，不符合題意；對于C，對于（3，1），有4，點(diǎn)在圓內(nèi)，符合題意；對于D，對于（1，3），有4，點(diǎn)在圓外，不符合題意；故選：C【點(diǎn)睛】本

3、題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是分析點(diǎn)與圓關(guān)系的判定，屬于基礎(chǔ)題4.已知點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，其焦點(diǎn)為，則直線的斜率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，求出拋物線方程,得到焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后求解直線的斜率即可.【詳解】點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，即，可得，所以拋物線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo),直線的斜率是 ，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的方程以及拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于簡單題. 拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為.5.以下命題正確的是（ ）A. 若直線，則直線a，b異面B. 空間內(nèi)任意三點(diǎn)可以確定一個平面C. 空間四點(diǎn)共面，則其中必有三點(diǎn)共線D. 直線，則直線a，b異面

4、【答案】D【解析】【分析】由兩平面內(nèi)的直線可平行、相交或異面，可判斷A是錯誤的；由公理3可判斷B是錯誤的；由四點(diǎn)共面可以其中三點(diǎn)不共線，可判斷C是錯誤的；運(yùn)用異面直線的判定定理即可判斷D是正確的【詳解】對于A，若直線a，b，=l，則直線a，b平行、相交或異面，故A錯；對于B，空間內(nèi)不共線三點(diǎn)可以確定一個平面，故B錯；對于C，空間四點(diǎn)共面，則其中三點(diǎn)可以不共線，故C錯；對于D，若直線a，Aa，由異面直線的判定定理可得直線a，b異面，故D對故選：D【點(diǎn)睛】本題考查空間線線的位置關(guān)系的判斷和平面的基本性質(zhì)，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題6.方程表示橢圓，則雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)（ ）A. B. ）C. D. 【

5、答案】A【解析】【分析】利用橢圓的方程求出的范圍，然后判斷雙曲線焦點(diǎn)位置，從而可求解雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎緳E圓，所以可得，可得，所以雙曲線的焦點(diǎn)在軸上， ，焦點(diǎn)坐標(biāo)，故選A .【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單性質(zhì)的應(yīng)用，意在考查綜合應(yīng)用所學(xué)知識解答問題的能力，屬于中檔題.7.已知圓：，則過點(diǎn)（1，2）作該圓的切線方程為（ ）A. x+4y-4=0B. 2x+y-5=0C. x=2D. x+y-3=0【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)圓：的圓心為M，且M（0，1），點(diǎn)N（1，2），分析可得點(diǎn)（1，2）在圓上，則過點(diǎn)N的切線有且只有1條；求出MN的斜率，

6、即可得切線的斜率，由直線的點(diǎn)斜式方程分析可得答案【詳解】根據(jù)題意，設(shè)圓：的圓心為M，且M（0，1），點(diǎn)N（1，2），有，則點(diǎn)N在圓上，則過點(diǎn)N的切線有且只有1條；則，則過點(diǎn)（1，2）作該圓的切線的斜率k=-1，切線的方程為y-2=-（x-1），變形可得x+y-3=0，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線方程，注意分析點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題8.過雙曲線右焦點(diǎn)F作一條漸近線的垂線，垂足為P，原點(diǎn)為O，則OPF的面積為（ ）A. 2B. 3C. 6D. 12【答案】C【解析】【分析】求出雙曲線的漸近線方程，右焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用已知條件轉(zhuǎn)化求解三角形的面積即可【詳解】雙曲線右焦點(diǎn)F（5，0），過雙曲線右

7、焦點(diǎn)F作一條漸近線的垂線，垂足為P，則PF=b=4，則OPF的面積為：故選：C【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是基本知識的考查9.拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于，則直線的斜率為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】試題分析：拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，所以的橫坐標(biāo)為，代入拋物線方程，得，即，所以.考點(diǎn)：拋物線【思路點(diǎn)晴】根據(jù)拋物線的定義，有“拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離”.解決有關(guān)圓錐曲線的問題，往往需要聯(lián)系圓錐曲線的定義.如橢圓的定義為“橢圓上的點(diǎn)，到兩個焦點(diǎn)的距離之和為常數(shù)”，雙曲線的定義為“橢圓上的點(diǎn)，到兩個焦點(diǎn)的距離之和為常數(shù)”.要求過兩點(diǎn)的直

8、線的斜率，先求出這兩個點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入斜率公式來求解.10.已知點(diǎn)為雙曲線 右支上一點(diǎn)，分別為左右焦點(diǎn)，若雙曲線的離心率為，的內(nèi)切圓圓心為，半徑為2，若，則的值是（ ）A. 2B. C. D. 6【答案】C【解析】【分析】利用的內(nèi)切圓圓心為，半徑為2 ，由，結(jié)合雙曲線的定義求出,通過離心率求出，然后求解即可.【詳解】點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn),分別為左右焦點(diǎn),的內(nèi)切圓圓心為,半徑為2 ,因?yàn)?，所以，可得，即，雙曲線的離心率為，可得,則，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的定義、雙曲線的離心率以及雙曲線的幾何性質(zhì)，屬于中檔題. 求解與雙曲線性質(zhì)有關(guān)的問題時要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，既使不畫出圖形，思考時也

9、要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、實(shí)軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.11.已知點(diǎn)A（2，0），O（0，0），若拋物線C：（p0）上存在兩個不同的點(diǎn)M，使得OMAM，則p的取值范圍（ ）A. (0,)B. (0,1)C. (0,2)D. (1,+)【答案】A【解析】【分析】求出以O(shè)A為直徑的圓的方程與拋物線聯(lián)立，利用判別式轉(zhuǎn)化求解即可【詳解】點(diǎn)A（2，0），O（0，0），若拋物線C：（p0）上存在兩個不同的點(diǎn)M，使得OMAM，可知以O(shè)A為直徑的圓的方程與拋物線有兩個交點(diǎn)可得：，所以，可得x=0或x=1-2p0，解得，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查拋物線

10、的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力12.直線過橢圓：（a0，b0）的左焦點(diǎn)F和上頂點(diǎn)A，與圓心在原點(diǎn)的圓交于P，Q兩點(diǎn)，若，POQ=120，則橢圓離心率為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)結(jié)合求出直線的斜率，再根據(jù)的坐標(biāo)得出直線的斜率，從而得出的關(guān)系，進(jìn)而求出橢圓的離心率.【詳解】橢圓的焦點(diǎn)在軸上，,，故直線的方程為，即，直線（即）的斜率為， 過作垂線，則為的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，直線的斜率，不妨令，則，橢圓的離心率，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的斜率、圓的性質(zhì)以及橢圓的離心率，屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有

11、以下幾種情況：直接求出，從而求出;構(gòu)造的齊次式，求出;采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解.二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知P是橢圓上一點(diǎn)，為橢圓的兩焦點(diǎn)，則P 的周長為_【答案】6【解析】分析】由橢圓方程確定橢圓中的，由橢圓的定義可知周長為，從而可得的周長.【詳解】橢圓中，橢圓的定義可知周長為周長為，故答案為6 .【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的方程與簡單性質(zhì)、橢圓的定義等基礎(chǔ)知識，屬于基礎(chǔ)題.解答與橢圓焦點(diǎn)有關(guān)的試題時往往用到橢圓的定義：.14.已知兩圓與，則它們的公共弦所在直線方程為_.【答案】 【解析】【分析】對兩圓的方程作差即可得出兩圓的公共弦所在的直線方程.【詳解

12、】因?yàn)榕c相交，兩圓的方程作差得，所以公共弦所在直線方程為，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系，兩圓公共弦所在直線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題. 若與相交，則兩圓公共弦所在直線方程為兩圓方程的差.15.已知點(diǎn)M（4，2），F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上移動，當(dāng)|PM|+|PF|最小時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為_【答案】（2，2）【解析】【分析】設(shè)直線l為拋物線的準(zhǔn)線，其方程為：x=-，過點(diǎn)P作PAl，垂足為A點(diǎn)，則|PA|=|PF|，當(dāng)三點(diǎn)A，P，M共線時，|PM|+|PF|取得最小值|AM|，進(jìn)而得解【詳解】如圖所示，設(shè)直線l為拋物線的準(zhǔn)線，其方程為：x=-，過點(diǎn)P作PAl，垂足為A點(diǎn)，則|PA|

13、=|PF|，當(dāng)三點(diǎn)A，P，M共線時，當(dāng)|PM|+|PF|取得最小值|AM|，|AM|=4-（-）=把y=2代入拋物線方程可得：，解得x=2P（2，2）故答案為：（2，2）【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題16.直線l過M（-1，0）交拋物線于A，B，拋物線焦點(diǎn)為F，|BF|=|BM|，則AB中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為_【答案】6【解析】【分析】由題意畫出圖形，結(jié)合已知求得直線的斜率，由直線方程與拋物線方程聯(lián)立可得AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則答案可求【詳解】如圖，由拋物線，得焦點(diǎn)F（1，0），直線方程為x=-1過B作準(zhǔn)線的垂線BG，|BF

14、|=|BM|，|BG|=|BM|，則BMF=30直線l的斜率為，可得直線l的方程為y=（x+1），聯(lián)立，可得設(shè)，則，即AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為5AB中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為5-（-1）=6故答案為：6【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題三、解答題（本大題共6小題，共70.0分）17.已知一個圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)（2，0），且圓心C在直線y=2x上（1）求圓C的方程；（2）過點(diǎn)P（-2，2）作圓C的切線PA和PB，求直線PA和PB的方程【答案】（1）（2）y-2=（x+2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)圓心C的坐標(biāo)為（m，2m），又由圓

15、經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)（2，0），則有，解可得m的值，進(jìn)而計算r的值，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式分析的答案；（2）根據(jù)題意，分析可得PA、PB的斜率都存在，設(shè)切線的方程為y-2=k（x+2），由直線與圓的位置關(guān)系分析可得，解可得k的值，代入直線的方程，分析可得答案【詳解】（1）根據(jù)題意，設(shè)圓心C的坐標(biāo)為（m，2m），又由圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)（2，0），則有，解可得：m=1，則圓心的坐標(biāo)為（1，2），半徑，則圓的方程為：；（2）由（1）的結(jié)論，圓C的方程為：；過點(diǎn)P（-2，2）作圓C的切線PA和PB，則PA、PB的斜率都存在，設(shè)切線的方程為y-2=k（x+2），即y-kx-2k-2=0，則有，解可得：，則直線

16、PA和PB方程為y-2=（x+2）【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出圓C的方程，屬于基礎(chǔ)題18.如圖，棱長為2的正方體中，已知點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)（1）求異面直線與所成角的大??；（2）求異面直線和所成角的余弦值【答案】(1) （2）【解析】分析】(1)連接，可得為異面直線與所成角，由為等邊三角形得結(jié)果；(2)連接，則為異面直線和所成角，由正方形的性質(zhì)求解的三邊長，再由余弦定理求解即可.【詳解】（1）連接，則，可得為異面直線與所成角， 連接，可知為等邊三角形，則，所以異面直線與所成角為.(2)連接，由三角形中位線定理可得，則為異面直線和所成角，由正方體的棱長為2，可得，異面直線和所成角

17、的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線所成的角，屬于中檔題.求異面直線所成的角先要利用三角形中位線定理以及平行四邊形找到異面直線所成的角，然后利用直角三角形的性質(zhì)及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因?yàn)楫惷嬷本€所成的角是直角或銳角，所以最后結(jié)果一定要取絕對值.19.已知直線與雙曲線（1）當(dāng)時，直線與雙曲線的一漸近線交于點(diǎn)，求點(diǎn)到另一漸近線的距離；（2）若直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若，求的值【答案】（1）； （2）或.【解析】【分析】（1）寫出雙曲線漸近線方程，漸近線方程與直線方程聯(lián)立可求得，利用點(diǎn)到直線距離公式即可得結(jié)果；（2）直接聯(lián)立直線與雙曲線方程，化為關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)

18、系求得兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積，由弦長公式列方程求解即可.【詳解】（1）雙曲線漸近線方程為由得則到的距離為；（2）聯(lián)立方程組，消去得直線與雙曲線有兩個交點(diǎn)，解得且，（且）.，解得，或，.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的漸近線方程、點(diǎn)到直線距離公式以及弦長公式的應(yīng)用，屬于中檔題.求曲線的弦長的方法：（1）利用弦長公式；（2）利用；（3）如果交點(diǎn)坐標(biāo)可以求出，利用兩點(diǎn)間距離公式求解即可.20.已知橢圓E：的右焦點(diǎn)為，離心率為，過作與x軸垂直的直線與橢圓交于P，Q點(diǎn)，若|PQ|=（1）求橢圓E的方程；（2）設(shè)過的直線l的斜率存在且不為0，直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓過橢圓左焦點(diǎn)，求直線l的

19、方程【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，又，解得即可.（2）設(shè)A，B，直線l的方程為x=my+2，代入橢圓方程可得，根據(jù)韋達(dá)定理和向量的運(yùn)算即可求出m的值，可得直線方程.【詳解】（1）由，過作與x軸垂直的直線與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，|PQ|=又，由解得，c=2，橢圓方程為（2）設(shè)A，B，直線l的方程為x=my+2，代入橢圓方程可得，F(xiàn)（-2，0），以AB為直徑的圓過橢圓左焦點(diǎn)，解得=23，即故直線l的方程為【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的方程，以及橢圓的簡單性質(zhì)和韋達(dá)定理和向量的數(shù)量積，考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題21.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，對于橢圓上任一點(diǎn)，若的取值范圍是（1）求橢圓的方程；（2）對于動點(diǎn)，過點(diǎn)垂直于的直線與橢圓交于，求的最小值【答案】（1） ； （2）.【解析】【分析】（1）由橢圓中的取值范圍是，結(jié)合的取值范圍是可得，利用，即可求出橢圓的方程；（2）可設(shè)垂直于的直線的方程為，聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系以及弦長公式可得，又，可得 ，換元后利用基本不等式即可求得最小值.【詳解】(1)橢圓中的取值范圍是，的取值范圍是，橢圓的方程為：.（2）垂直于的直線的方程為：，聯(lián)立，可得.又，.即當(dāng)，時，的最小值為.【點(diǎn)睛】求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法一般為待定系數(shù)法,根據(jù)條件確定關(guān)于的方程組，