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1、有限元法,工 程 有 限 單 元 法,有限元法,課程介紹,一、課程內(nèi)容: 1、有限元法理論基礎(chǔ); 2、有限元軟件ANSYS應(yīng)用。 二、學(xué)習(xí)方法: 理論與實(shí)踐相結(jié)合,即通過(guò)應(yīng)用有限元分析 實(shí)際問(wèn)題來(lái)掌握有限元理論。 三、學(xué)時(shí)數(shù):36學(xué)時(shí)(理論學(xué)時(shí)+上機(jī)學(xué)時(shí)) 四、考核方式:平時(shí)成績(jī)+報(bào)告成績(jī),工程有限單元法,有限元法,第一章 概述,1.1 有限元法概述 有限元法誕生于20世紀(jì)中葉,隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和計(jì)算方法的發(fā)展,已成為計(jì)算力學(xué)和計(jì)算工程科學(xué)領(lǐng)域里最為有效的方法,它幾乎適用于求解所有連續(xù)介質(zhì)和場(chǎng)的問(wèn)題。,工程有限單元法,有限元法,一、什么是有限元法?,有限元法是將連續(xù)體理想化為有限個(gè)單元集合而成,
2、這些單元僅在有限個(gè)節(jié)點(diǎn)上相連接,即用有限個(gè)單元的集合來(lái)代替原來(lái)具有無(wú)限個(gè)自由度的連續(xù)體。,工程有限單元法,有限元法,有限元方法是分析連續(xù)體的一種很有效的近似計(jì)算方法。是計(jì)算機(jī)問(wèn)世以后迅速發(fā)展起來(lái)的一種廣泛用于工程結(jié)構(gòu)建模與分析的方法。說(shuō)明工程實(shí)際問(wèn)題與計(jì)算方法息息相關(guān)。 自然現(xiàn)象的背后都對(duì)應(yīng)有相關(guān)的物理本質(zhì)與事物規(guī)律,用數(shù)學(xué)方法對(duì)物理本質(zhì)與事物規(guī)律進(jìn)行描述可以得到普適性定律和特定性定理,以及各種形式的(如代數(shù)、微分或積分)數(shù)學(xué)方程,即數(shù)學(xué)模型。,工程有限單元法,有限元法,對(duì)于一個(gè)實(shí)際的工程問(wèn)題,建立數(shù)學(xué)模型時(shí),不僅需要根據(jù)實(shí)際物理背景采用有效的數(shù)學(xué)方法,還要考慮求解的效率、結(jié)果的精度以及方法的
3、適用性等因素,即分析方法。 常用的分析方法有: 1. 對(duì)線性的、邊界規(guī)則的簡(jiǎn)單問(wèn)題,一般可以利用解析法,得到精確解。 2. 對(duì)于許多實(shí)際工程問(wèn)題,由于研究系統(tǒng)的龐大,使得微分方程、邊界和初始條件的復(fù)雜性大大增加,一般難以得到它的精確解。對(duì)非線性的、邊界不規(guī)則等問(wèn)題,一般不存在精確的解析解,只能利用數(shù)值法(如,有限差分法FDM、有限元方法FEM等)得到近似解。,工程有限單元法,有限元法,有限元方法的發(fā)展,首先,有限元方法在航空結(jié)構(gòu)分析中取得了明顯的成效 1941年,Hrenikoff 利用框架分析法(framework method)分析平面彈性體,將平面彈性體描述為桿和梁 的組合體; 1943
4、年, Courant 在采用三角形單元及最小勢(shì)能原理研 究扭轉(zhuǎn)問(wèn)題時(shí),利用分片連續(xù)函數(shù)在子域中近似描述未知函數(shù) 此后,有限元方法在固體力學(xué)、溫度場(chǎng)和溫升應(yīng)力、流體力學(xué)、流固耦合(水彈性)問(wèn)題,均有發(fā)展。,工程有限單元法,有限元法,現(xiàn)如今,有限元法廣泛應(yīng)用于航空航天、汽車工業(yè)、橋梁、建筑、電子產(chǎn)品、重型機(jī)械、微機(jī)電系統(tǒng)、生物醫(yī)學(xué)等設(shè)計(jì)過(guò)程中的結(jié)構(gòu)與力學(xué)分析。,實(shí)例1(EMA-火箭發(fā)動(dòng)機(jī),衛(wèi)星,雷達(dá)),工程有限單元法,有限元法,實(shí)例2 (汽車,工程機(jī)械),工程有限單元法,有限元法,工程有限單元法,有限元法,工程有限單元法,有限元法,二、有限元法的基本思想,有限元法的基本思想是:“分與合”。 “分”
5、是為了劃分單元,進(jìn)行單元分析; “合”則是為了集合單元,對(duì)整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行綜合分析。 結(jié)構(gòu)離散-單元分析-整體求解,工程有限單元法,有限元法,2.1有限元法的實(shí)現(xiàn)過(guò)程,工程有限單元法,有限元法,(1)對(duì)象離散化 當(dāng)研究對(duì)象為連續(xù)介質(zhì)問(wèn)題時(shí),首先需要將所研究的對(duì)象進(jìn)行合理的離散化分割,即根據(jù)精度預(yù)期或經(jīng)驗(yàn)將連續(xù)問(wèn)題進(jìn)行有限元分割。 (2)單元分析 有限元方法的核心工作是單元分析,通過(guò)分析各單元的結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系和邊界條件,以便建立單元?jiǎng)偠染仃嚒?(3)構(gòu)造總體方程 將單元?jiǎng)偠染仃嚱M成總體方程剛度矩陣,且總體方程應(yīng)滿足相鄰單元在公共結(jié)點(diǎn)上的位移協(xié)調(diào)條件,即整個(gè)結(jié)構(gòu)的所有結(jié)點(diǎn)載荷與結(jié)點(diǎn)位移之間
6、應(yīng)存在相互的變量關(guān)系。,工程有限單元法,有限元法,4.解總體方程 在求解有限元模型時(shí),應(yīng)考慮總體剛度方程中引入的邊界條件,以便得到符合實(shí)際情況的唯一解。 5.輸出結(jié)果 有限元模型求解結(jié)束后,可通過(guò)數(shù)值解序列或由其構(gòu)成的圖形顯示研究對(duì)象的物理結(jié)構(gòu)變形情況以及各種物理量間的變化關(guān)系,如通過(guò)列表顯示各種數(shù)據(jù)信息,用等值線分布圖顯示等受力點(diǎn),或動(dòng)畫(huà)顯示各種量的變化過(guò)程。,工程有限單元法,有限元法,1) 直接方法 直接方法是指直接從結(jié)構(gòu)力學(xué)引伸得到。直接方法具有簡(jiǎn)單、物理意義明確、易于理解等特點(diǎn)。 2) 變分方法 變分方法是一種最常用的方法之一,主要用于線性問(wèn)題的模型建立。 3) 加權(quán)殘值法 對(duì)于線性自
7、共軛形式方程,加權(quán)殘值法可得到和變分法相同的結(jié)果,如得到一個(gè)對(duì)稱的剛度矩陣。對(duì)于那些“能量泛函”不存在的問(wèn)題(主要是一些非線性問(wèn)題和依賴于時(shí)間的問(wèn)題)加權(quán)殘值法是一種很有效的方法。,2.2 建立有限元方程的常用方法,工程有限單元法,有限元法,通常,實(shí)際工程問(wèn)題可分為線性問(wèn)題和非線性問(wèn)題、邊界規(guī)則與不規(guī)則問(wèn)題。有限元法其實(shí)是非線性問(wèn)題,如圖右所示。,2.3 有限元法與工程求解問(wèn)題的關(guān)系,工程有限單元法,有限元法,三、有限元法的基本步驟,無(wú)論對(duì)于什么樣的結(jié)構(gòu),有限元分析過(guò)程都是類似的。其基本步驟為: (1)研究分析結(jié)構(gòu)的特點(diǎn),包括結(jié)構(gòu)形狀與邊界、載荷工況等; (2)將連續(xù)體劃分成有限單元,形成計(jì)算
8、模型,包括確定單元類型與邊界條件、材料特性等;,工程有限單元法,有限元法,(3)以單元節(jié)點(diǎn)位移作為未知量,選擇適當(dāng)?shù)奈灰坪瘮?shù)來(lái)表示單元中的位移,再用位移函數(shù)求單元中的應(yīng)變,根據(jù)材料的物理關(guān)系,把單元中的應(yīng)力也用位移函數(shù)表示出來(lái),最后將作用在單元上的載荷轉(zhuǎn)化成作用在單元上的等效節(jié)點(diǎn)力,建立單元等效節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系。這一過(guò)程就是單元特性分析。,工程有限單元法,有限元法,(4)利用結(jié)構(gòu)力的平衡條件和邊界條件把各個(gè)單元按原來(lái)的結(jié)構(gòu)重新連接起來(lái),集合成整體的有限元方程,求解出節(jié)點(diǎn)位移。 重點(diǎn):對(duì)于不同的結(jié)構(gòu),要采用不同的單元,但各種單元的分析方法又是一致的。,工程有限單元法,有限元法,四、有限元法
9、的學(xué)習(xí)路線,從最簡(jiǎn)單的平面結(jié)構(gòu)入手,由淺入深,介紹有限元理論及其相關(guān)應(yīng)用。,工程有限單元法,有限元法,五、有限元法的發(fā)展與應(yīng)用,有限元法不僅能應(yīng)用于結(jié)構(gòu)分析,還能解決歸結(jié)為場(chǎng)問(wèn)題的工程問(wèn)題,從二十世紀(jì)六十年代中期以來(lái),有限元法得到了巨大的發(fā)展,為工程設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供了有力的工具。,工程有限單元法,有限元法,(一)算法與有限元軟件,從二十世紀(jì)60年代中期以來(lái),進(jìn)行了大量的理論研究,不但拓展了有限元法的應(yīng)用領(lǐng)域,還開(kāi)發(fā)了許多通用或?qū)S玫挠邢拊治鲕浖?理論研究的一個(gè)重要領(lǐng)域是計(jì)算方法的研究,主要有: 大型線性方程組的解法, 非線性問(wèn)題的解法。,工程有限單元法,有限元法,目前應(yīng)用較多的通用有限元軟件
10、如下表:,另外還有許多針對(duì)某類問(wèn)題的專用有限元軟件,例如金屬成形分析軟件Deform、Autoform,焊接與熱處理分析軟件SysWeld等。,工程有限單元法,有限元法,(二)應(yīng)用實(shí)例,有限元法已經(jīng)成功地應(yīng)用在以下一些領(lǐng)域: 固體力學(xué),包括強(qiáng)度、穩(wěn)定性、震動(dòng)和瞬態(tài)問(wèn)題的分析; 傳熱學(xué); 電磁場(chǎng); 流體力學(xué) 。,工程有限單元法,有限元法,轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)支架的強(qiáng)度分析(劉道勇,東風(fēng)汽車工程研究院動(dòng),用MSC/Nastran完成),工程有限單元法,有限元法,基于ANSYS的齒輪嚙合仿真,工程有限單元法,有限元法,第2章 彈性力學(xué)基本方程及平面問(wèn)題的有限元法,工程有限單元法,有限元法,2.1 彈性力學(xué)簡(jiǎn)介,
11、本課程中的有限單元法理論要用到彈性力學(xué)的某些基本概念和基本方程。將簡(jiǎn)單介紹這些概念和方程,作為彈性力學(xué)有限單元法的預(yù)備知識(shí)。,工程有限單元法,有限元法,彈性力學(xué) 區(qū)別與聯(lián)系 材料力學(xué),1、研究的內(nèi)容:基本上沒(méi)有什么區(qū)別。 彈性力學(xué)也是研究彈性體在外力作用下的平衡和運(yùn)動(dòng),以及由此產(chǎn)生的應(yīng)力和變形。 2、研究的對(duì)象:有相同也有區(qū)別。 材料力學(xué)基本上只研究桿、梁、柱、軸等桿狀構(gòu)件,即長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于寬度和厚度的構(gòu)件。彈性力學(xué)雖然也研究桿狀構(gòu)件,但還研究材料力學(xué)無(wú)法研究的板與殼及其它實(shí)體結(jié)構(gòu),即兩個(gè)尺寸遠(yuǎn)大于第三個(gè)尺寸,或三個(gè)尺寸相當(dāng)?shù)臉?gòu)件。,工程有限單元法,有限元法,彈性力學(xué) 區(qū)別與聯(lián)系 材料力學(xué),3、研
12、究的方法:有較大的區(qū)別。 雖然都從靜力學(xué)、幾何學(xué)與物理學(xué)三方面進(jìn)行研究,但是在建立這三方面條件時(shí),采用了不同的分析方法。材料力學(xué)是對(duì)構(gòu)件的整個(gè)截面來(lái)建立這些條件的,因而要常常引用一些截面的變形狀況或應(yīng)力情況的假設(shè)。這樣雖然大大簡(jiǎn)化了數(shù)學(xué)推演,但是得出的結(jié)果往往是近似的,而不是精確的。而彈性力學(xué)是對(duì)構(gòu)件的無(wú)限小單元體來(lái)建立這些條件的,因而無(wú)須引用那些假設(shè),分析的方法比較嚴(yán)密,得出的結(jié)論也比較精確。所以,我們可以用彈性力學(xué)的解答來(lái)估計(jì)材料力學(xué)解答的精確程度,并確定它們的適用范圍。,工程有限單元法,有限元法,彈性力學(xué) 區(qū)別與聯(lián)系 材料力學(xué),例如,材料力學(xué)在研究有孔的拉伸構(gòu)件通常就假定拉應(yīng)力在凈截?cái)嗝?/p>
13、均勻分布。,工程有限單元法,有限元法,彈性力學(xué) 區(qū)別與聯(lián)系 材料力學(xué),總之,彈性力學(xué)與材料力學(xué)既有聯(lián)系又有區(qū)別。它們都同屬于固體力學(xué)領(lǐng)域,但彈性力學(xué)比材料力學(xué),研究的對(duì)象更普遍,分析的方法更嚴(yán)密,研究的結(jié)果更精確,因而應(yīng)用的范圍更廣泛。 但是,彈性力學(xué)也有其固有的弱點(diǎn)。由于研究對(duì)象的變形狀態(tài)較復(fù)雜,處理的方法又較嚴(yán)謹(jǐn),因而解算問(wèn)題時(shí),往往需要冗長(zhǎng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算。但為了簡(jiǎn)化計(jì)算,便于數(shù)學(xué)處理,它仍然保留了材料力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的假定。,工程有限單元法,有限元法,彈性力學(xué)基本方程,一 、彈性力學(xué)中的幾個(gè)基本概念: 1、體力,是分布于物體體積內(nèi)的外力,如重力、磁力、慣性力等。單位體積內(nèi)的體力亦可分解為三
14、個(gè)成分,用記號(hào)X、Y、Z表示。 2、面力,是分布于物體表面的力,如靜水壓力,一物體與另一物體之間的接觸壓力等。單位面積上的表面力通常分解為平行于座標(biāo)軸的三個(gè)成分,用記號(hào) 來(lái)表示。,工程有限單元法,有限元法,3、 內(nèi)力、平均應(yīng)力和應(yīng)力 (1)內(nèi)力(Internal forces):是物體本身不同部分之間相互作用的力; (2)平均應(yīng)力( the average stress ):設(shè)作用在包含P點(diǎn)某一個(gè)截面mn上的單元面積( elementary area )A 上的力為F ,則F/A 稱為A 上的平均應(yīng)力; (3)應(yīng)力:如果假設(shè)內(nèi)力分布連續(xù),命 A無(wú) 限減小并趨向P點(diǎn), 則F/A 將趨向一個(gè)極限
15、p:這個(gè)極限P就叫做物體在截面mn上,在P點(diǎn)的應(yīng)力。,彈性體受外力以后,其內(nèi)部將產(chǎn)生應(yīng)力。,工程有限單元法,有限元法,內(nèi)力、平均應(yīng)力和應(yīng)力的概念,工程有限單元法,有限元法,4. 正應(yīng)力和切應(yīng)力的概念 正應(yīng)力:應(yīng)力在作用截面法線方向的分量;切應(yīng)力:應(yīng)力在作用截面切線方向的分量。 正平行六面體應(yīng)力:從物體中取出一個(gè)微小的正平行六面體,它的棱邊分別平行于三個(gè)坐標(biāo)軸,長(zhǎng)度分別為dx, dy, dz.正平行六面體應(yīng)力如圖所示.,工程有限單元法,有限元法,(1) 應(yīng)力的表示 正應(yīng)力用表示. 它的下標(biāo)表示作用方向.如x 表示正應(yīng)力沿著 x 方向;剪應(yīng)力用 表示, 它有兩個(gè)下標(biāo), 例如xy 表示剪應(yīng)力作用在垂
16、直 x軸的平面上, 但沿著 y方向. (2)應(yīng)力的符號(hào) 如果一個(gè)截面的外法線沿著坐標(biāo)軸的正方向,這個(gè)面就稱為正面,這個(gè)面上的應(yīng)力就以沿著坐標(biāo)軸的正方向?yàn)檎?;沿著坐?biāo)軸的負(fù)方向?yàn)樨?fù)。,工程有限單元法,有限元法,這個(gè)應(yīng)力符號(hào)的規(guī)定與材料力學(xué)的不同, 在材料力學(xué)中: 正應(yīng)力的符號(hào)為拉為正, 壓為負(fù); 而剪應(yīng)力為正面向下的為正; 負(fù)面向上為正. 或用右手法則確定:右手姆指沿面的外法線時(shí),其余四個(gè)手指反時(shí)針為正, 順時(shí)針為負(fù).,材料力學(xué)中正的剪應(yīng)力,彈性力學(xué)中正的剪應(yīng)力,工程有限單元法,有限元法,剪應(yīng)力互等定律 作用在兩個(gè)互相垂直的面上并且垂直于該兩面交線的剪應(yīng)力是互等的。(大小相等,正負(fù)號(hào)也相同)。因
17、此剪應(yīng)力記號(hào)的兩個(gè)角碼可以對(duì)調(diào)。,工程有限單元法,有限元法,可以證明:如果 這六個(gè)量在P點(diǎn)是已知的,就可以求得經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的任何面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力,因此,這六個(gè)量可以完全確定該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),它們就稱為在該點(diǎn)的應(yīng)力分量。 一般說(shuō)來(lái),彈性體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)都不相同,因此,描述彈性體內(nèi)應(yīng)力狀態(tài)的上述六個(gè)應(yīng)力分量并不是常量,而是坐標(biāo)x、y、z的函數(shù)。 六個(gè)應(yīng)力分量的總體,可以用一個(gè)列矩陣 來(lái)表示:,工程有限單元法,有限元法,5、形變和正應(yīng)變、剪應(yīng)變的概念 (1)形變: 形狀的改變,它包含長(zhǎng)度和角度的改變。 (2)正應(yīng)變: 各線段單位長(zhǎng)度的伸縮。以伸長(zhǎng)為正;縮短為負(fù)。 (3)剪應(yīng)變: 各線段之間的直角的改
18、變。,6、位移 是指位置的移動(dòng). 它在 x, y 和 z 軸上的投影用 u, v 和 w, 來(lái)表示。它的符號(hào)是沿坐標(biāo)軸正向?yàn)檎刈鴺?biāo)軸負(fù)向?yàn)樨?fù)。,工程有限單元法,有限元法,二、彈性力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的基本假定,(1) 連續(xù)性:假定物體是連續(xù). 即整個(gè)物體的體積都被組成這個(gè)物體的介質(zhì)所填滿, 不留任何空隙. 這樣,物體內(nèi)的物理量,例如應(yīng)力形變和應(yīng)變, 才可能是連續(xù)的, 才可以用連續(xù)函數(shù)來(lái)表示; (2) 完全彈性:假定物體是完全彈性的.所謂彈性, 是指物體在引起形變的外力被除去以后能恢復(fù)原形的性質(zhì). 而完全彈性是指物體能完全恢復(fù)原形而沒(méi)有任何剩余變形. (3) 均勻性:假定物體是均勻的, 整個(gè)物
19、體由同一材料組成. (4) 各向同性:假定物體是各向同性的, 即物體的彈性性質(zhì)在所有各個(gè)方向都相同. 符合以上四個(gè)假定的物體, 稱為理想彈性體.,工程有限單元法,有限元法,(5) 小變形假定:假定物體的位移和形變是微小的. 即物體的位移遠(yuǎn)小于物體原來(lái)的尺寸, 而且應(yīng)變和轉(zhuǎn)角都遠(yuǎn)小于1. 因此, 本課程所討論的問(wèn)題, 都是理想彈性體的小變形問(wèn)題.,工程有限單元法,有限元法,三、彈性力學(xué)的研究方法,在彈性體內(nèi)部, 考慮靜力學(xué), 幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件, 分別建立三套基本方程. 此外, 在彈性體的邊界上, 建立邊界條件.,位移邊界條件,邊界條件,應(yīng)力邊界條件,工程有限單元法,有限元法,彈性力學(xué)的基
20、本變量,工程有限單元法,有限元法,彈性力學(xué)的基本方程-平衡方程,由物體的受力平衡條件建立的方程:,工程有限單元法,有限元法,彈性力學(xué)的基本方程-幾何方程,由物體的受力變形后,各應(yīng)變分量和位移分量的 關(guān)系建立的方程:,工程有限單元法,有限元法,彈性力學(xué)的基本方程-物理方程,由物體材料本身的物理特性建立的方程, 其中E-彈性模量; -泊松比;G-剪切彈性模量。 且對(duì)各向同性材料,,工程有限單元法,有限元法,在限元法中,物理方程可表示為:,工程有限單元法,有限元法,彈性力學(xué)的基本方程-邊界條件,工程有限單元法,有限元法,四、彈性力學(xué)問(wèn)題的解法,空間彈性力學(xué)問(wèn)題共有15個(gè)方程,3個(gè)平衡方程,6個(gè)幾何方
21、程,6個(gè)物理方程。其中包括6個(gè)應(yīng)力分量 ,6個(gè)應(yīng)變分量 ,3個(gè)位移分量 ,共有15個(gè)未知函數(shù),在給定邊界條件時(shí),問(wèn)題是可解的。 彈性力學(xué)問(wèn)題的提法是,給定作用在物理全部邊界或內(nèi)部的作用,求解物理由此產(chǎn)生的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)。,工程有限單元法,有限元法,按照三種不同的邊界條件,彈性力學(xué)問(wèn)題可分為應(yīng)力邊界條件問(wèn)題、位移邊界問(wèn)題和混合邊界。 由于有限元模型是對(duì)實(shí)際結(jié)構(gòu)的反映,對(duì)有限元模型施加合適的載荷條件和邊界條件,是正確求解有限元解的關(guān)鍵。,工程有限單元法,有限元法,根據(jù)先求出的基本未知量的不同,彈性力學(xué)問(wèn)題有三種方法:,(1)應(yīng)力法:以應(yīng)力分量作為基本未知量,此時(shí)將一切未知量和基本方程都轉(zhuǎn)換為用應(yīng)力
22、表示。求得應(yīng)力分量后,由物理方程求應(yīng)變分量,再由幾何方程求出位移分量。 (2)位移法:以位移分量作為基本未知量,此時(shí)將一切未知量和基本方程都轉(zhuǎn)換為用位移表示。求得位移分量后,用幾何方程求應(yīng)變分量,再由物理方程求應(yīng)力分量。目前,有限元法中多采用位移法的思想。 (3)混合法:采用各點(diǎn)的一部分位移分量和一部分應(yīng)力分量作為基本未知量,混合求解。,工程有限單元法,有限元法,五、 虛功原理及虛功方程,圖1-8a示一平衡的杠桿,對(duì)C點(diǎn)寫(xiě)力矩平衡方程: 圖1-8b表示杠桿繞支點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的剛體位移圖: 綜合可得: 即: 上式是以功的形式表述的。表明:圖a的平衡力系在圖b的位移上作功時(shí),功的總和必須等于零。這就叫
23、做虛功原理。,有限元法,虛功原理,進(jìn)一步分析。當(dāng)杠桿處于平衡狀態(tài)時(shí), 和 這兩個(gè)位移是不存在的,但是如果某種原因,例如人為地振一下讓它傾斜,一定滿足上式的關(guān)系。 將這個(gè)客觀存在的關(guān)系抽象成一個(gè)普遍的原理,去指導(dǎo)分析和計(jì)算結(jié)構(gòu)。 對(duì)于在力的作用下處于平衡狀態(tài)的任何物體,不用考慮它是否真正發(fā)生了位移,而假想它發(fā)生了位移,(由于是假想,故稱為虛位移),那么,物體上所有的力在這個(gè)虛位移上的總功必定等于零。這就叫做虛位移原理,也稱虛功原理。在圖1-8a中的 和 所作的功就不是發(fā)生在它本身(狀態(tài)a)的位移上,(因?yàn)樗旧硎瞧胶獾模淮嬖谖灰?,而是在狀態(tài)(b)的位移上作的功。可見(jiàn),這個(gè)位移對(duì)于狀態(tài)(a)來(lái)
24、說(shuō)就是虛位移,亦即是狀態(tài)(a)假象的位移。,工程有限單元法,有限元法,虛功原理,必須指出,虛功原理的應(yīng)用范圍是有條件的,它所涉及到的兩個(gè)方面,力和位移并不是隨意的。對(duì)于力來(lái)講,它必須是在位移過(guò)程中處于平衡的力系;對(duì)于位移來(lái)講,雖然是虛位移,但并不是可以任意發(fā)生的。它必須是和約束條件相符合的微小的剛體位移。 還要注意,當(dāng)位移是在某個(gè)約束條件下發(fā)生時(shí),則在該約束力方向的位移應(yīng)為零,因而該約束力所作的虛功也應(yīng)為零。這時(shí)該約束力叫做被動(dòng)力。(如圖1-8中的反力 ,由于支點(diǎn)C沒(méi)有位移,故 所作的虛功對(duì)于零)。反之,如圖1-8中的 和 是在位移過(guò)程中作功的力,稱為主動(dòng)力。因此,在平衡力系中應(yīng)當(dāng)分清楚哪些是
25、主動(dòng)力,哪些是被動(dòng)力,而在寫(xiě)虛功方程時(shí),只有主動(dòng)力作虛功,而被動(dòng)力是不作虛功的。,工程有限單元法,有限元法,虛功原理與虛功方程,虛功原理表述如下: 在力的作用下處于平衡狀態(tài)的體系,當(dāng)發(fā)生與約束條件相符合的任意微小的剛體位移時(shí),體系上所有的主動(dòng)力在位移上所作的總功(各力所作的功的代數(shù)和)恒對(duì)于零。 虛功原理用公式表示為: 這就是虛功方程,其中P和 相應(yīng)的代表力和虛位移。,工程有限單元法,有限元法,虛功原理-用于彈性體的情況,虛功方程是按剛體的情況得出的,即假設(shè)圖1-8的杠桿是絕對(duì)剛性,沒(méi)有任何的變形,因而在方程中沒(méi)有內(nèi)功項(xiàng)出現(xiàn),而只有外功項(xiàng)。 將虛功原理用于彈性變形時(shí),總功W要包括外力功(T)和
26、內(nèi)力功(U)兩部分,即: W = T - U ;內(nèi)力功(-U)前面有一負(fù)號(hào),是由于彈性體在變形過(guò)程中,內(nèi)力是克服變形而產(chǎn)生的,所有內(nèi)力的方向總是與變形的方向相反,所以內(nèi)力功取負(fù)值。 根據(jù)虛功原理,總功等于零得: T - U = 0 外力虛功 T = 內(nèi)力虛功 U 彈性力學(xué)中的虛功原理可表達(dá)為:在外力作用下處于平衡狀態(tài)的彈性體,如果發(fā)生了虛位移,那么所有的外力在虛位移上的虛功(外力功)等于整個(gè)彈性體內(nèi)應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功(內(nèi)力功)。,工程有限單元法,有限元法,六、兩種平面問(wèn)題,彈性力學(xué)可分為空間問(wèn)題和平面問(wèn)題,嚴(yán)格地說(shuō),任何一個(gè)彈性體都是空間物體,一般的外力都是空間力系,因而任何實(shí)際問(wèn)題都是空間
27、問(wèn)題,都必須考慮所有的位移分量、應(yīng)變分量和應(yīng)力分量。但是,如果所考慮的彈性體具有特殊的形狀,并且承受的是特殊外力,就有可能把空間問(wèn)題簡(jiǎn)化為近似的平面問(wèn)題,只考慮部分的位移分量、應(yīng)變分量和應(yīng)力分量即可。 平面應(yīng)力問(wèn)題 平面應(yīng)變問(wèn)題,工程有限單元法,有限元法,平面應(yīng)力問(wèn)題,厚度為t的很薄的均勻木板。只在邊緣上受到平行于板面且不沿厚度變化的面力,同時(shí),體力也平行于板面且不沿厚度變化。 以薄板的中面為xy面,以垂直于中面的任一直線為Z軸。由于薄板兩表面上沒(méi)有垂直和平行于板面的外力,所以板面上各點(diǎn)均有: 另外由于平板很薄,外力又不沿厚度變化,可認(rèn)為在整個(gè)薄板內(nèi)各點(diǎn)均有: 于是,在六個(gè)應(yīng)力分量中,只需要研
28、究剩下的平行于XOY平面的三個(gè)應(yīng)力分量,即 ,所以稱為平面應(yīng)力問(wèn)題。,工程有限單元法,有限元法,平面應(yīng)力問(wèn)題,應(yīng)力矩陣(1-2),可以簡(jiǎn)化為:,工程有限單元法,有限元法,物理方程(1-10)中后兩式可見(jiàn),這時(shí)的剪應(yīng)變: 由物理方程(1-10)中的第三式可見(jiàn): 一般 , 并不一定等于零,但可由 及 求得,在分析問(wèn)題時(shí)不必考慮。于是只需要考慮 三個(gè)應(yīng)變分量即可,于是應(yīng)變矩陣(1-3-2)簡(jiǎn)化為:,工程有限單元法,有限元法,平面應(yīng)力問(wèn)題,物理方程(1-10)簡(jiǎn)化為: 轉(zhuǎn)化成應(yīng)力分量用應(yīng)變分量表示的形式:,工程有限單元法,有限元法,平面應(yīng)力問(wèn)題,將(1-21)式用矩陣方程表示: 它仍然可以簡(jiǎn)寫(xiě)為: 彈
29、性矩陣D則簡(jiǎn)化為:,工程有限單元法,有限元法,平面應(yīng)力問(wèn)題,只有 三個(gè)應(yīng)變分量需要考慮,所以幾何方程(1-3) 簡(jiǎn)化為:,工程有限單元法,有限元法,平面應(yīng)力問(wèn)題,彈性體的虛功方程(1-17) 簡(jiǎn)化為,工程有限單元法,有限元法,平面應(yīng)變問(wèn)題,一縱向(即Z向)很長(zhǎng),且沿橫截面不變的物體,受有平行于橫截面而且不沿長(zhǎng)度變化的面力和體力,如圖1-11所示。 由于物體的縱向很長(zhǎng)(在力學(xué)上可近似地作為無(wú)限長(zhǎng)考慮),截面尺寸與外力又不沿長(zhǎng)度變化;當(dāng)以任一橫截面為xy面,任一縱線為Z軸時(shí),則所有一切應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移分量都不沿Z方向變化,它們都只是x和y的函數(shù)。此外,在這一情況下,由于對(duì)稱(任一橫截面都可
30、以看作對(duì)稱面),所有各點(diǎn)都只會(huì)有x和y方向的位移而不會(huì)有Z方向的位移,即 w = 0 因此,這種問(wèn)題稱為平面位移問(wèn)題,但習(xí)慣上常稱為平面應(yīng)變問(wèn)題。,工程有限單元法,有限元法,平面應(yīng)變問(wèn)題,既然w = 0,而且u及v又只是x和y的函數(shù),由幾何方程(1-3-1) 可見(jiàn) 。于是只剩下三個(gè)應(yīng)變分量 , 幾何方程仍然簡(jiǎn)化為方程(1-24)。,工程有限單元法,有限元法,平面應(yīng)變問(wèn)題,因?yàn)?由物理方程(1-11)中后兩式可見(jiàn) 又由物理方程(1-11)中的第三式可見(jiàn): 在平面應(yīng)變問(wèn)題中,雖然 , 但 一般并不等于零,不過(guò)它可以由 及 求得,在分析問(wèn)題時(shí)不必考慮,于是也就只有三個(gè)應(yīng)力分量 需要考慮。,工程有限單
31、元法,有限元法,平面應(yīng)變問(wèn)題,物理方程(1-11)簡(jiǎn)化為:,工程有限單元法,有限元法,平面應(yīng)變問(wèn)題,將(1-25)式用矩陣方程表示: 它仍然可以簡(jiǎn)寫(xiě)為: 彈性矩陣D則為:,工程有限單元法,有限元法,平面應(yīng)變問(wèn)題,平面應(yīng)變問(wèn)題,由于在Z方向沒(méi)有外力,應(yīng)力和應(yīng)變也不沿Z方向變化,所以虛功方程(1-25)仍然適用,其中的t可以取為任意數(shù)值,但 必須是這個(gè)t范圍內(nèi)的外力。 需要說(shuō)明一下,工程中有許多問(wèn)題很接近于平面應(yīng)變問(wèn)題,如受內(nèi)壓力的圓管、滾柱軸承中的滾柱等等,但它們的沿Z向長(zhǎng)度都不是無(wú)限長(zhǎng)的。故在靠近兩端的部分,其應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)比較復(fù)雜,并不符合平面應(yīng)變問(wèn)題的條件;因此將這類問(wèn)題當(dāng)作平面應(yīng)變問(wèn)題來(lái)考
32、慮時(shí),對(duì)于離開(kāi)兩端有一定距離的地方,得出的結(jié)果還是相當(dāng)滿意的;但對(duì)靠近兩端的部位,卻有較大的出入,往往需要加以處理。,工程有限單元法,有限元法,平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題,對(duì)于兩種平面問(wèn)題,幾何方程都是(1-24),虛功方程都是(1-25),物理方程都是:,工程有限單元法,有限元法,平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題,對(duì)于平面應(yīng)力情況下的彈性矩陣,應(yīng)該采用(1-23)式, 而對(duì)于平面應(yīng)變則采用(1-28)式, 還可注意,在(1-23)式中,若將E改換為 ,將 改換為 , 就得出公式(1-28)。,工程有限單元法,有限元法,平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題,在兩種平面問(wèn)題中,如果 ,則和1-3中(1-4)式相
33、似, 由幾何方程的積分得出: 其中 及 分別代表彈性體沿x及y方向的剛體移動(dòng),而 代表彈性體繞Z軸的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。,工程有限單元法,有限元法,2.2 平面問(wèn)題的有限元法,工程有限單元法,有限元法,有限單元法的基本思路: (1) 把物體分成有限大小的單元,單元間用節(jié)點(diǎn)相連接。 (2) 把單元節(jié)點(diǎn)的位移作為基本未知量,在單元內(nèi)的位移,設(shè)成線性函數(shù)(或其它函數(shù)),保證在單元內(nèi)和單元間位移連接。 (3) 將節(jié)點(diǎn)的位移與節(jié)點(diǎn)的力聯(lián)系起來(lái)。 (4) 列出節(jié)點(diǎn)的平衡方程,得出以節(jié)點(diǎn)位移表達(dá)的平衡方程組。 (5) 求解代數(shù)方程組,得出各節(jié)點(diǎn)的位移,根據(jù)節(jié)點(diǎn)位移求出各單元中的應(yīng)力。 有限單元法的基本未知量是節(jié)點(diǎn)位移
34、,用節(jié)點(diǎn)的平衡方程來(lái)求解。,工程有限單元法,有限元法,彈性力學(xué)平面問(wèn)題的有限單元法包括三個(gè)主要步驟: 1、離散化 2、單元分析 3、單元綜合,1、離散化 有限單元法的基礎(chǔ)是用所謂有限個(gè)單元的集合體來(lái)代替原來(lái)的連續(xù)體,因而必須將連續(xù)體簡(jiǎn)化為由有限個(gè)單元組成的離散體。對(duì)于平面問(wèn)題,最簡(jiǎn)單,因而最常用的單元是三角形單元。這些單元在節(jié)點(diǎn)處用鉸相連,荷載也移置到節(jié)點(diǎn)上,成為節(jié)點(diǎn)荷載。在節(jié)點(diǎn)位移或其某一分量可以不計(jì)之處,就在節(jié)點(diǎn)上安置一個(gè)鉸支座或相應(yīng)的連桿支座。,工程有限單元法,有限元法,2、單元分析 對(duì)三角形單元,建立節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)力之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系.,節(jié)點(diǎn)位移,節(jié)點(diǎn)力,有限元法,2、單元分析-單元?jiǎng)偠染?/p>
35、陣 取節(jié)點(diǎn)位移作基本未知量。由節(jié)點(diǎn)位移求節(jié)點(diǎn)力: 其中,轉(zhuǎn)換矩陣稱為單元?jiǎng)偠染仃?。單元分析的主要目的就是要求出單元?jiǎng)偠染仃嚒?單元分析的步驟可表示如下:,工程有限單元法,有限元法,3、單元綜合 將離散化了的各個(gè)單元合成整體結(jié)構(gòu),利用節(jié)點(diǎn)平衡方程求出節(jié)點(diǎn)位移。 在位移法中,主要的任務(wù)是求出基本未知量-節(jié)點(diǎn)位移。為此需要建立節(jié)點(diǎn)的平衡方程。,工程有限單元法,有限元法,i點(diǎn)總的節(jié)點(diǎn)力應(yīng)為: 根據(jù)節(jié)點(diǎn)的平衡條件,得 單元e的節(jié)點(diǎn)力,可按式(2-2)用節(jié)點(diǎn)位移表示,代入得到用節(jié)點(diǎn)位移表示的平衡方程。 每個(gè)可動(dòng)節(jié)點(diǎn)有兩個(gè)未知位移,有兩個(gè)平衡方程,所以方程總數(shù)與未知位移總數(shù)相等,可以求出所有的節(jié)點(diǎn)位移。 單
36、元綜合的目的就是要求出節(jié)點(diǎn)位移。節(jié)點(diǎn)位移求出后,可進(jìn)一步求出各單元的應(yīng)力。,工程有限單元法,有限元法,2.2.1 平面問(wèn)題的離散化,對(duì)任何工程平面構(gòu)件進(jìn)行有限元分析,首先都是從簡(jiǎn)化其幾何形狀,繪出其平面簡(jiǎn)圖入手。連續(xù)體的離散化就是單元網(wǎng)格劃分。平面問(wèn)題中最常用的單元是三角形和矩形單元。 總之,通過(guò)單元?jiǎng)澐?,載荷移置以及約束簡(jiǎn)化,就形成了有限元模型。,工程有限單元法,有限元法,在劃分單元時(shí),應(yīng)注意以下幾點(diǎn): (1)單元類型的選擇,主要取決于結(jié)構(gòu)的幾何形狀、施加的載荷類型和要求的計(jì)算精度。 (2)單元的大?。淳W(wǎng)格的疏密),從有限元的理論上講,單元?jiǎng)澐衷郊?xì),節(jié)點(diǎn)布置越多,計(jì)算結(jié)果精度越高。但相應(yīng)要
37、求計(jì)算機(jī)容量也增大,計(jì)算時(shí)間也增加。 (3)單元有疏有密,對(duì)結(jié)構(gòu)的不同部位可采用不同大小的單元。 (4)不同厚度或不同材料處,應(yīng)取作為單元的邊界線,而且在該處附近的單元還應(yīng)劃分的小一些,以盡可能反映出邊線兩側(cè)應(yīng)力的突變情況。 (5)預(yù)留載荷位置,在分布載荷集度變化處和集中力作用處,應(yīng)布置節(jié)點(diǎn),以利加載,并且其附近的單元也應(yīng)劃分的小些,以反映此處的應(yīng)力變化。,工程有限單元法,有限元法,2.2.2 單元位移函數(shù),如果彈性體的位移分量是坐標(biāo)的已知函數(shù),則可用幾何方程求應(yīng)變分量,再?gòu)奈锢矸匠糖髴?yīng)力分量。但對(duì)一個(gè)連續(xù)體,內(nèi)部各點(diǎn)的位移變化情況很難用一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)來(lái)描繪。 有限單元法的基本原理是分塊近似,即
38、將彈性體劃分成若干細(xì)小網(wǎng)格,在每一個(gè)單元范圍內(nèi),內(nèi)部各點(diǎn)的位移變化情況可近似地用簡(jiǎn)單函數(shù)來(lái)描繪。對(duì)每個(gè)單元,可以假定一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù),用它近似表示該單元的位移。這個(gè)函數(shù)稱為位移函數(shù),或稱為位移模式、位移模型、位移場(chǎng)。 對(duì)于平面問(wèn)題,單元位移函數(shù)可以用多項(xiàng)式表示, 多項(xiàng)式中包含的項(xiàng)數(shù)越多,就越接近實(shí)際的位移分布,越精確。但選取多少項(xiàng)數(shù),要受單元型式的限制。,工程有限單元法,有限元法,三節(jié)點(diǎn)三角形單元,六個(gè)節(jié)點(diǎn)位移只能確定六個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù),所以平面問(wèn)題的3結(jié)點(diǎn)三角形單元的位移函數(shù)如下, 所選用的這個(gè)位移函數(shù),將單元內(nèi)部任一點(diǎn)的位移定為座標(biāo)的線性函數(shù),位移模式很簡(jiǎn)單。,位移函數(shù)寫(xiě)成矩陣形式為:,工程有限
39、單元法,有限元法,最終確定六個(gè)待定系數(shù),工程有限單元法,有限元法,令 (下標(biāo)i,j,m輪換) 簡(jiǎn)寫(xiě)為,I是單位矩陣, N稱為形態(tài)矩陣, Ni稱為位移的形態(tài)函數(shù),工程有限單元法,有限元法,選擇單元位移函數(shù)時(shí),應(yīng)當(dāng)保證有限元法解答的收斂性,即當(dāng)網(wǎng)格逐漸加密時(shí),有限元法的解答應(yīng)當(dāng)收斂于問(wèn)題的正確解答。因此,選用的位移模式應(yīng)當(dāng)滿足下列兩方面的條件: (1) 必須能反映單元的剛體位移和常量應(yīng)變。 6個(gè)參數(shù) 到 反映了三個(gè)剛體位移和三個(gè)常量應(yīng)變。 (2) 必須保證相鄰單元在公共邊界處的位移連續(xù)性。 (線性函數(shù)的特性),工程有限單元法,有限元法,例題:圖示等腰三角形單元,求其形態(tài)矩陣N。,工程有限單元法,有限元法,由三角形的面積,工程有限單元法,有限元法,本節(jié)利用幾何方程、物理方程,實(shí)現(xiàn)用結(jié)點(diǎn)位移表示單元的應(yīng)變和單元的應(yīng)力。 用結(jié)點(diǎn)位移表示單元的應(yīng)變的表達(dá)式為 ,B矩陣稱為幾何矩陣。,2.2.3 單元應(yīng)變和應(yīng)力,工程有限單元法,有限元法,對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題:,工程有限單元法,有限元法,2.2.4 單元?jiǎng)偠染仃?單元節(jié)點(diǎn)力與單元位移的關(guān)系式,稱為單元?jiǎng)偠确匠探M。,工程有限單元法,有限元法,單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì):,(1)單元?jiǎng)偠染仃囍忻總€(gè)元素有明確的物理意義; (2)剛度矩陣是對(duì)稱矩陣; (3)剛度矩陣是奇異矩陣;,另外,單元?jiǎng)偠染仃嚾Q于: (1)單元的位移函數(shù); (2)單元的幾何參數(shù); (3)單
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