2015年四川卷數(shù)學(xué)試題及答案(理)

1、2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（四川）數(shù)學(xué)（理科）第卷（共50分）一、選擇題：本大題共10個(gè)小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，集合，則（ ）A.x|-1x3 B.x|-1x1 C.x|1x2 D.x|2x32.設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù) =（ ）A.-i B.-3iC.i. D.3i3. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出S的值是（ ）A. B.C.- D.4. 下列函數(shù)中，最小正周期為且圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)是( )A. B. C. D. 5. 過雙曲線的右焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于A，B兩點(diǎn)，則（）（） （B）

2、（C）6 （D）6. 用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有（）（A）144個(gè) （B）120個(gè) （C）96個(gè) （D）72個(gè)7. 設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，.若點(diǎn)M，N滿足，則（）（A）20 （B）15 （C）9 （D）68.設(shè)a，b都是不等于1的正數(shù)，則“”是“”的 （A） 充要條件 （B）充分不必要條件（C）必要不充分條件 （D）既不充分也不必要條件9. 如果函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，則mn的最大值為（ ）（A）16 （B）18 （C）25 （D）10. 設(shè)直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，與圓相切于點(diǎn)M，且M為線段AB的中點(diǎn).若這樣的直線l恰有4條，

3、則r的取值范圍是（ ）（A） （B） （C） （D）第卷（共100分）二、填空題（每題5分，滿分25分，將答案填在答題紙上）11. 在的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是 （用數(shù)字作答）.12. 的值是 .13. 某食品的保鮮時(shí)間y（單位：小時(shí)）與儲(chǔ)存溫度x（單位：）滿足函數(shù)關(guān)系（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k、b為常數(shù)）。若該食品在0的保鮮時(shí)間設(shè)計(jì)192小時(shí)，在22的保鮮時(shí)間是48小時(shí)，則該食品在33的保鮮時(shí)間是 小時(shí).14. 如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)M在線段PQ上，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)。設(shè)異面直線EM與AF所成的角為，則的最大值為 .15.已知函數(shù)，（其中

4、）。對(duì)于不相等的實(shí)數(shù)，設(shè)，現(xiàn)有如下命題：（1）對(duì)于任意不相等的實(shí)數(shù)，都有；（2）對(duì)于任意的a及任意不相等的實(shí)數(shù)，都有；（3）對(duì)于任意的a，存在不相等的實(shí)數(shù)，使得；（4）對(duì)于任意的a，存在不相等的實(shí)數(shù)，使得。其中的真命題有 （寫出所有真命題的序號(hào)）。三、解答題（本大題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程演算步驟）16、（本題滿分12分）數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，且成等差數(shù)列（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（）記數(shù)列的前項(xiàng)和，求使得成立的最小值。17、（本題滿分12分）某市A、B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊(duì)參加辯論賽，A中學(xué)推薦了3名男生，2名女生，A中學(xué)推薦了3名男生，4名女生，兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn)，由于

5、集訓(xùn)后隊(duì)員水平相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人，從參加集訓(xùn)的女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì)（）求A中學(xué)至少有一名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率（）某場比賽前，從代表隊(duì)的6名中隨機(jī)抽取4名參賽，記X表示參賽的男生人數(shù)，求X的分布列于數(shù)學(xué)期望。18、（本題滿分12分）一個(gè)正方體的平面展開圖和直觀圖的示意圖如圖所示，在正方體中，設(shè)BC的中點(diǎn)為M,GH的中點(diǎn)為N（）請(qǐng)將字母F、G、H標(biāo)記在正方體的直觀意圖相應(yīng)的頂點(diǎn)處（不要求說明理由）（）證明：直線平面（）求二面角A-EG-M的余弦值19、（本題滿分12分）如圖A、B、C、D為平面四邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角（）證明：（）若A+C=,AB=6，BC=3，CD=4，

6、AD=5求：的值20、（本題滿分13分）如圖，橢圓E: 的離心率是，過點(diǎn)P(0，1)的動(dòng)直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)當(dāng)直線平行于x軸時(shí)，直線被橢圓E截的線段長為（）求橢圓E的方程（）在平面直角坐標(biāo)系中是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q,使得恒成立，若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由21、（本題滿分14分）已知函數(shù)，其中，（）設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性（）證明：存在使得在區(qū)間內(nèi)恒成立，且在區(qū)間內(nèi)有唯一解參考答案一、選擇題：1.A2.C3.D4.A5.D6.B7.C8.B9.B10.D二、填空題：11. -4012. 13. 2414. 15. 三、解答題：16.解：（）由已知，有，即從而又因?yàn)槌?/p>

7、等差數(shù)列，即所以，解得所以，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列故（）由（）得所以由，得，即因?yàn)?，所以于是，使成立的的最小值?017.本題主要考查隨機(jī)事件的概率、古典概型、隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識(shí)，考查運(yùn)用概率與統(tǒng)計(jì)的只是與方法分析和解決實(shí)際問題的能力。（）由題意，參加集訓(xùn)的男、女生各有6名參賽學(xué)生全從B中學(xué)抽?。ǖ葍r(jià)于A中學(xué)沒有學(xué)生入選代表隊(duì)）的概率為因此，A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率為（）根據(jù)題意，的可能取值為1,2,3，所以的分布列為123因此，的數(shù)學(xué)期望為18.本題主要考查簡單空間圖形的直觀圖、空間線面平行的判定與性質(zhì)、空間面面夾角的計(jì)算

8、等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力。（）點(diǎn)F，G，H的位置如圖所示（）連結(jié)BD，設(shè)O為BD的中點(diǎn)因?yàn)镸,N分別是BC,GH的中點(diǎn)，所以，且，且所以所以是平行四邊形，從而又平面平面，所以平面（）方法一：連接，過做于在正方體中，所以過作平面，從而所以是二面角的平面角設(shè)，則在中，在中，所以即二面角的余弦值為方法二：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以方向?yàn)檩S的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得取，得在正方體中，平面，則可取平面的一個(gè)法向量為，所以，故二面角的余弦值為19.本題主要考查二倍角公式、誘導(dǎo)公式、余弦定理、簡單的三角恒等變換等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解

9、能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想。（）（）由，得由（），有連接，在中，有，在中，有，所以則于是連接，同理可得，于是所以，20.本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、直線方程、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般、分類與整合等數(shù)學(xué)思想。（）由已知，點(diǎn)在橢圓上因此解得所以橢圓的方程為（）當(dāng)直線與軸平行時(shí)，設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，如果存在定點(diǎn)滿足條件，則有，即所以點(diǎn)在軸上，可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，則的坐標(biāo)分別為由，有，解得，或所以，若存在不同于點(diǎn)的定點(diǎn)滿足條件，則點(diǎn)坐標(biāo)只可能為下面證明：對(duì)任意直線，均有當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由上可知，結(jié)論成立。當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為的坐標(biāo)分別為聯(lián)立得其判別式，所以，因此易知，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為又，所以，即三點(diǎn)共線所以故存在與不同的定點(diǎn)，使得恒成立21.本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用、函數(shù)的零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識(shí)，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合、化歸